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Transformations géométriques

Thomas Budzinski

Table des matières

1 Symétries centrales et axiales, translations

2

2 Homothéties4

2.1 Définitions et propriétés de base :

4

2.2 Quelques applications classiques :

6

2.3 Homothéties et cercles :

8

2.4 Chasse aux tangentes

10

2.5 Conseils pour les exercices

12

2.6 Exercices

12

3 Rotations14

3.1 Cours

14

3.2 Conseils pour les exercices

16

3.3 Exercices

16

4 Similitudes directes

17

4.1 Définitions et propriétés de base

17

4.2 Centre d"une similitude

19

4.3 Deux similitudes pour le prix d"une

21

4.4 Similitudes indirectes

22

4.5 Conseils pour les exercices :

22

4.6 Exercices

23

5 Indications pour les exercices

25

6 Solutions des exercices

26

Introduction

Une transformation géométrique est unebijectiondu plan dans lui-même, c"est-à-dire une

manière d"associer à chaque point un autre point, de telle manière que tout point soit l"image

1 d"un autre point, et que deux points différents aient des images différentes. Les transforma-

tions auxquelles on va s"intéresser conservent la plupart des propriétés géométriques inté-

ressantes. Par exemple, toutes envoient une droite sur une droite, un cercle sur un cercle, un angle de42sur un angle de42, un carré sur un carré et ainsi de suite...

Le fait de s"intéresser aux transformations qui préservent certaines propriétés est un élé-

ment essentiel de la géométrie "moderne" (c"est-à-dire celle pratiquée depuis leXIXesiècle)

que vous rencontrerez si vous continuez des études en mathématiques. Cependant, les trans-

formations du plan sont aussi très utiles dans la résolution de problèmes de géométrie plus

élémentaires. Le but de ce document est de vous présenter les transformations usuelles du

plan et la manière de les utiliser pour résoudre des problèmes de géométrie de type olym-

pique. Il est possible de sauter les preuves en première lecture, la plupart des résultats étant

de toute façon assez intuitifs. Les exercices de ce cours sont de difficultés variables mais rarement très faciles. Si vous bloquez sur un exercice, vous pouvez d"abord consulter les indications qui se trouvent avant

les solutions. Il est conseillé d"avoir déjà lu un cours de géométrie de type olympique de

niveau débutant avant d"aborder celui-ci.

Ce polycopié se suffit en principe à lui-même, mais le lecteur intéressé pourra également

lire les livres "Geometric Transformations" de Yaglom (en anglais... ou en russe!). Les deux premiers tomes couvrent le contenu de ce cours et le troisième aborde un sujet plus avancé : les transformations projectives. 1

Symétries centrales et axiales, translations

Vous connaissez déjà certaines transformations du plan : la symétrie centrale, la symétrie

axiale et, si vous êtes au moins en Seconde, la translation. Rappelons tout de même leurs définitions : Définition 1.1.Soit(d)une droite. Lasymétrie axialed"axe(d)est la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que(d)soit la médiatrice de[MM0]. Définition 1.2.SoitOun point. Lasymétrie centralede centreOest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel queOsoit le milieu de[MM0].

Définition 1.3.Unvecteur, noté!v, est un objet géométrique caractérisé par une direction, un

sens et une longueur. On dessine un vecteur avec une flèche. Le vecteur partant du pointAet allant jusqu"au pointBest noté!AB. Exemple 1.4.Sur la figure1 , on a!AB=!vcar!ABet!vont la même direction (20avec l"horizontale), le même sens (vers la droite) et la même longueur. Définition 1.5.Soit!vun vecteur. Latranslationde vecteur!vest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que!MM0=!v.

Etant donnée une transformation géométrique, il est toujours intéressant de savoir quelles

propriétés elle conserve : Proposition 1.6.a)Les symétries centrales et axiales et les translations conservent les droites, les cercles, les angles, les longueurs. 2 AB AB! vFIGURE1 - Deux vecteurs égaux.(d)O! vFIGURE2 - Une figure et ses images par la symétrie centrale (en bleu), la symétrie axiale (en vert), et une translation (en rouge). Notons que l"image par la symétrie axiale lève le bras droit, car la symétrie axiale est la seule transformation qui inverse les angles orientés. 3 b)Les symétries centrales et les translations conservent les angles orientés : si A,BetC ont pour imageA0,B0etC0, alors(!A0B0;!A0C0) = (!AB;!AC). c) Les symétries axiales inversent les angles orientés : si A,BetCont pour imageA0,B0 etC0, alors(!A0B0;!A0C0) =(!AB;!AC).

Bien que très simples, ces transformations permettent déjà de résoudre certains exercices,

notamment des problèmes de construction :

de cette rivière. On veut construire un pont perpendiculaire à la rivière. Où le construire pour

que le trajet deAàBsoit le moins long possible? Exercice 2Etant donnés deux pointsAetCet un cercle, construire deux pointsBetDsur tels queABCDsoit un parallélogramme. Exercice 3On se donne un cerclede rayonr, une droite(d)et une longueura2r. Construire une droite parallèle à(d)qui coupeenXetYtelle queXY=a. 2

Homothéties

2.1

Définitions et propriétés de base :

Nous allons maintenant étudier une classe de transformations plus large et plus utile que

celles que nous connaissons déjà : les homothéties. Les homothéties sont des "agrandisse-

ments" ou des "réductions". Avant de les définir, commençons par un complément sur les vecteurs : Définition 2.1.Soientkun nombre réel et!vun vecteur : Si k0, on notek!vle vecteur de même direction et de même sens que!vet dont la longueur estkfois celle de!v. Si k0, on notek!vle vecteur de même direction que!v, de sens opposé à celui de!v et dont la longueur estkfois celle de!v.! u! v=2!uFIGURE3 - Exemple de multiplication d"un vecteur par2. Définition 2.2.SoientOun point du plan etkun nombre réel. L"homothétiede centreOet de rapportkest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que!OM0=k!OM. Exemple 2.3.Les symétries centrales sont des homothéties de rapport1. Les homothéties conservent aussi de nombreuses propriétés : 4 O FIGURE4 - Une figure et son image par les homothéties de centreOet de rapport2(en bleu) et12 (en rouge). Proposition 2.4.a)Les homothéties conserv entles dr oites,les cer cles,les angles orientés. b) L "imaged"une dr oite(d)par une homothétie est parallèle à(d). c) Une homothétie de rapport kmultiplie toutes les longueurs parjkj. Elle conserve donc les rapports de longueurs. Démonstration.b)Soient AetBdeux points etA0etB0leurs images : on aOA0OA =jkj=OB0OB donc d"après le théorème de Thalès(A0B0)==(AB). c) D"après b) et le théorème de Thalès, on a

A0B0AB

=OA0OA =jkj. a) Soit Cun troisième point etC0son image :(A0B0)==(AB)et(B0C0)==(BC)donc on a \A0B0C0=[ABCdonc l"homothétie conserve les angles, donc elle conserve toutes les propriétés qui peuvent s"exprimer avec des angles, comme l"alignement ou la cocycli-

cité.Un intérêt important des transformations géométriques est la possibilité de les composer :

Définition 2.5.Soientt1ett2deux transformations : on notet2t1la transformation qui à tout pointMassociet2(t1(M)). Cela revient à appliquert1puist 2. Théorème 2.6.Soienth1eth2deux homothéties de centresO1etO2et de rapportsk1etk2: a) Si k1k26= 1, alorsh2h1est une homothétie de rapportk1k2dont le centre est sur(O1O2). 5 b)Si k1k2= 1, alorsh2h1est une translation de vecteur parallèle à(O1O2). Démonstration.a)On admet que la composée est une homothétie, cela peut se pr ouver soit avec du calcul vectoriel, soit comme cas particulier des résultats sur la composée de deux similitudes qu"on verra plus loin dans le cours. Commeh1multiplie les longueurs (algébriques) park1eth2park2, la composée les multiplie park1k2donc son rapport est k

1k2. De plus, le centre deh2h1est aligné avecO1eth2h1(O1) =h2(O1). Ce dernier

point doit être sur(O1O2)donc le centre deh2h1aussi. b) On admet que la composée est une translation et on note O3=h2h1(O1) =h2(O1): O

3est aligné avecO1etO2donc!O1O3est parallèle à(O1O2), mais c"est justement le

vecteur de notre translation.Il est également utile de savoir quand on peut introduire une homothétie qui envoie un

certain objet sur un autre : Proposition 2.7.a)Soient A,B,A0etB0quatre points : il existe une homothétie ou trans- lation qui envoieAsurA0etBsurB0si et seulement si(AB)==(A0B0). De plus, dans ce cas, une telle transformation est unique. b) Soient O,AetA0alignés : il existe une unique homothétie de centreOqui envoieAsur A 0. Démonstration.a)Si (AB)et(A0B0)ne sont pas parallèles, une telle homothétie ne peut pas exister. Si elles le sont, le centre doit être sur(AA0)et sur(BB0): soit ces droites sont parallèles, et alorsAA0B0Best un parallélogramme et notre transformation est la translation de vecteur!AA0=!BB0, soit elles se coupent enXavecXA0XA =XB0XB par Thalès, donc notre homothétie est celle de centreXet de rapportXA0XA b) Il s"agit de l" homothétiede centr eOet de rapportOA0OA (en longueurs algébriques).2.2Quelques applications classiques : Commençons par ce résultat que vous connaissez certainement déjà : Théorème 2.8.Les trois médianes d"un triangle sont concourantes. De plus, le point d"inter- section se trouve aux deux tiers des médianes.

Démonstration.A

BCB 0C 0G 6 On noteA0,B0etC0les milieux de[BC],[CA]et[AB]. On sait que(B0C0)==(BC), donc il existe une homothétiehqui envoieBsurB0etCsurC0. De plus, le centre dehest(BB0)\ (CC0). On le noteG. Ce pointGest sur le segment[BB0]donchest de rapport négatif, et B

0C0=12

BCdonchest de rapport12

, doncGB0=12

GBdoncBG=23

BB0, et de même

CG=23 CC0. Le point aux deux tiers de[BB0]est donc le même que le point aux deux tiers de[CC0]. En faisant le même raisonnement surAetB, on montre que ce point est aussi aux deux tiers de [AA0]. Remarquons que l"homothétie de centreGet de rapport12 envoie donc chaque sommet

deABCsur le mileu du côté opposé.Passons à la droite et au cercle d"Euler, deux autres applications classiques des homothé-

ties :

Théorème 2.9.(Droite et cercle d"Euler)

SoientABCun triangle,Ole centre de son cercle circonscrit,Gson centre de gravité (i.e le point d"intersection de ses médianes) etHson orthocentre (i.e le point d"intersection de ses hauteurs). On noteA0,B0etC0les milieux de[BC],[CA]et[AB]etD,E,Fles pieds des hauteurs issues deA,BetC. Alors : a)O,GetHsont alignés. b)

Les points A0,B0,C0,D,EetFsont cocycliques.

7 A BCO A 0B 0C 0H DE F G Démonstration.a)Soit hl"homothétie de centreGet de rapport12 : on ah(ABC) = A

0B0C0, donchenvoieHsur l"orthocentre deA0B0C0. Or,Oest l"orthocentre deA0B0C0.

En effet,(OA0)est perpendiculaire à(BC), donc à(B0C0)par le théorème de la droite des milieux, donc c"est la hauteur issue deA0dansA0B0C0. O,GetHsont donc alignés et, plus précisément,!GO=12 !GH. b) Soit le centre du cercle circonscrit àA0B0C0: on sait que =h(O)doncG =12 GO doncO =32 OG=12

OH, donc

est donc le milieu de[OH].

Le point

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