ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
0 ! = 1. Calcul de la factorielle d'un entier naturel (avec une structure Le début de la suite (infinie) des nombres premiers est : 2 3
Factorielle et binôme de Newton Cours
(formule du triangle de Pascal). Pour calculer. (n k. ) pour de petites valeurs de k et n on peut utiliser le triangle de. Pascal : aaak n. 0 1 2. 3. 4. 5.
Le nombre de 0 de factorielle n Analyse mathématique Table des
Jul 12 2020 ˆ Factorielle 5 s'écrit 1 × 2 × 3 × 4 × 5 et est égale à 120. On remarque qu'il y a un 0 à la fin de Factorielle 5.
Le nombre de 0 de factorielle n Ouverture mathématique
Jul 12 2020 ˆ Factorielle 5 s'écrit 1 × 2 × 3 × 4 × 5 et est égale à 120. On remarque qu'il y a un 0 à la fin de Factorielle 5.
Le nombre de 0 de factorielle n Analyse didactique Table des matières
Jul 12 2020 ˆ Factorielle 5 s'écrit 1 × 2 × 3 × 4 × 5 et est égale à 120. On remarque qu'il y a un 0 à la fin de Factorielle 5.
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
if (x >= 0.) return x; else return -x;. } Exercice 1. Fonction factorielle et coefficients du binôme de Newton. La fonction pour calculer la factorielle
Par combien de zéros se termine N!
N! se lit “factorielle N”. factorielle par 5 puis de prendre la troncature ... 7 2 0. 7 != 5 0 4 0. 8 != 4 0 3 2 0. 9 != 3 6 2 8 8 0. 1 0 !
Écologie factorielle et attributs géographiques
1 RACINE J. B. (1972)
ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un algorithme qui
Ecrire un algorithme qui demande un nombre de départ et qui calcule sa factorielle. NB : la factorielle de 8
Factorielle et binôme de Newton
CoursDéfinition 1.- On note pour toutn?N?,
n! = 1×2×3× ··· ×(n-1)×n(" factoriellen») et l"on pose0! = 1. On peut définirn!par récurrence selon(n+ 1)! =n!×(n+ 1). Rappel.- Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles (par exemple succès et échec). Un schéma de Bernoulli est une répétition d"épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Supposons que l"on répètenépreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Notonspla probabilité de succès à chaque épreuve. On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de
paramètresnetpque l"on peut représenter par un arbre. Définition 2.- Pour toutk? {0,1,...,n}, le nombre de chemins fournissantksuc- cès sur lesnrépétitions est?n k? ("kparmin»).On peut démontrer que
?n k? =n!k!(n-k)!=n(n-1)...(n-k+ 1)k!.On peut aussi montrer que
?n k? représente le nombre de sous-ensembles dekéléments d"un ensemble ayantnéléments, ou encore le nombre de façons de choisirkéléments dans un ensemble ayantnéléments. On peut établir par récurrence que pour toutn?Net pour tousx,y?R(formule du binôme de Newton),(x+y)n=?n 0? x n+?n 1? x n-1y+···+?n n-1? xy n-1+?n n? y n=n? k=0? n k? x n-kyk ?n 0? y n+?n 1? xy n-1+···+?n n-1? x n-1y+?n n? x n=n? k=0? n k? x kyn-k.Les nombres ?n k? sont encore appelés " coefficients binomiaux ». Ils vérifient les pro- priétés suivantes : a) pour tousk,n?Ntels quek6n,?n n-k? =?n k? b) ?n 0? =?n n? = 1,?n 1? =?n n-1? =n,?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2 c) pour tousk,n?Ntels quek6n-1,?n k? +?n k+ 1? =?n+ 1 k+ 1? (formule du triangle de Pascal).Pour calculer ?n k? pour de petites valeurs deketn, on peut utiliser le triangle dePascal :a
aakn0 1 2 3 4 5 6 7 8 01 11 121 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1
71 7 21 35 35 21 7 1
81 8 28 56 70 56 28 8 1
Notation.- Soitp,q?Ntels quep6qetup,up+1,...,uq-1,uqdes nombres. On note q? i=pu i=up×up+1× ··· ×uq-1×uq.Par exemple,n! =n?
i=1i,eΣn i=1ui=n? i=1e uiet siu1,...,un>0,ln? n? i=1u i? =n? i=1lnui. Application 1 : linéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule d"Euler, pour tout entiern>2, on peut transformercosn(x)etsinn(x)en sommes de termes de la formecos(kx)etsin(kx),k?N?. Exemple :par la formule d"Euler,sin3(x)=?eix-e-ix2i 3 . Donc, grâce au binôme, sin3(x) =1-8i?(eix)3+ 3(eix)2(-e-ix) + 3(eix)(-e-ix)2+ (-e-ix)3?
=-18i ?e3ix-3eix+ 3e-ix-e-3ix?=-18i ?2isin(3x)-3×2isin(x)? =-14 sin(3x) +34 sin(x). Application 2 : antilinéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule de De Moivre, pour tout entiern>2, on peut transformercos(nx)etsin(nx) en sommes de termes de la formecosk(x)sinl(x),k,l?N. Exemple :on acos(3x) =?e?ei(3x)?etsin(3x) =?m?ei(3x)?. Or, par la formule deDe Moivre et le binôme de Newton,
e3ix=?eix?3= (cosx+ isinx)3= cos3x+ 3cos2x(isinx) + 3cosx(isinx)2+ (isinx)3
?cos3x-3cosxsin2x?+ i?3cos2xsinx-sin3x?. D"où, en prenant partie réelle et partie imaginaire, cos(3x) = cos3x-3cosxsin2x= cos3x-3cosx(1-cos2x) = 4cos3x-3cosx,
sin(3x) = 3cos2xsinx-sin3x= 3(1-sin2x)sinx-sin3x = 3sinx-4sin3x.Factorielle et binôme de Newton
Exercices
Exercice 1 (Factorielle)
1. Donner la valeur den!pourn? {0,1,2,...,7}.
2. Calculer
50!46!
3. Simplifier
(2n+ 3)!(2n+ 1)!,(n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!,(n-1)!n!-n!(n+ 1)!.4. Montrer que
(2n)!n!est un entier pour toutn?Net le calculer pourn? {1,2,3,4}.5. Montrer que pour toutn?N?,n?
k=1(2k) = 2nn!etn? k=0(2k+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!.6. Montrer que pourn>10,n!>9!×10n-9. En déduire la limite den!9
nlorsque n→+∞.7. Montrer, à l"aide dek!>2k-1valable pour toutk?N?, que pour toutn?N?,n?
k=11k!6n? k=112 k-1<2.8. Trouver le nombre de façons d"ordonnernobjets distincts, c"est-à-dire trouver le
nombre de permutations denéléments.9. Trouver le nombre de façons de choisir des suites ordonnées dekobjets distincts
choisis parminobjets distincts.Exercice 2 (Formule du binôme de Newton)1. Calculer
?5 2? ,?50 2? ,?50 49?2. Développer(a+b)6,(2x-1)5.
3. SoitPla fonction définie surRparP(x) =x4+ 2x3-1. CalculerP(x+ 1).
4. Déterminer les coefficients dea4b2c3eta4b3c3dans le développement de(a-b+2c)9.
5. Utiliser la formule du binôme de Newton pour montrer que1.0110≈1.105. Trouver
de même une valeur approchée de0.998à10-3près.6. Linéarisercos6x. En déduire une primitive dex?→cos6x.
7. Écrirecos(5x)sous la formeP(cosx)oùPest une fonction polynomiale à détermi-
ner.8. En considérant la fonctionf:x?→(1+x)n(n?N), calculer les sommes suivantes :
S 1=n? k=0? n k? ,S2=n? k=0(-1)k?n k? ,S3=n? k=0k?n k?quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] factorielle calculatrice casio fx 92
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