[PDF] PROBABILITÉS CONDITIONNELLES Certains sont traités avec





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.1 - Utilisation des tableaux de probabilités

Dans un tableau n'apparaissent pas les probabilités conditionnelles. On les calculera alors avec la formule : PB(A) = P(A ? B). P(B).



Calcul élémentaire des probabilités

16 Feb 2006 Formule de Bayes : P[A



Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles. Probabilité de A sachant B. Soient A et B deux événements l'événement B étant de probabilité non nulle.



PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Certains sont traités avec le médicament A d'autres avec le médicament B. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A



Chapitre 1 - Quest-ce quune probabilité

La formule de Bayes permet de calculer les probabilités a postériori d'un événement en fonction des probabilités a priori de cet événement i.e. connaitre IPA(B) 



Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

Definition. Deux événements A et B sont dits indépendants si. P(A ? B) = P(A).P(B). Attention : Ne pas confondre indépendants et disjoints! (A.



Sans titre

L'intersection de deux évènements A et B est la partie commune aux deux ensembles (c'est P(AnB) : Probabilité de l'événement A et B (à la fois A et B) ...



PROBABILITES

= P(A) + P(B) ? P(A ? B). Méthode : Calcul de probabilité en utilisant la formule de probabilité d'une réunion. Vidéo https://youtu.be/ 



Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS

La probabilité P(X6= F) est égale par définition à P(B) c'est-à-dire à la proportion de clientes dans la population totale. 2.3 Loi de probabilité d'une v.a. 



Probabilités sur les ensembles finis

Et pour l'intersection A ? B de deux événements ? il n'y a pas de formule pour ca sauf dans un cas particulier : l'indépendance des événe-.



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Un étudiant estime à 65 ses chances de réussir son cours de statistiques à 80 ses chances de réussir son cours de finance et à 50 se chances de réussir les 



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Exercice 5 — Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(n p) et B(n p) Quelle est la loi de la somme X + Y ? Exercice 6 — 



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Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements (En effet B est égal à la réunion 



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Calculer la probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B Correction 1) a) La probabilité qu'un patient soit traité avec le 



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Le but de ce cours est d'introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse



[PDF] Vocabulaire et propriétés 2 - Utilisation des tableaux de probabilités

Probabilités conditionnelles : PB(A) = "Probabilité de A sachant B" C'est la probabilité que l'événement A se réalise sachant que l'événement B est 



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On cherche `a calculer P(A ? B) • On sait que A et B sont indépendants pour la probabilité P Utiliser la formule : P(A ? B) = P 



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Calcule la probabilité a) d'obtenir 5 et 6 dans cet ordre; b) d'obtenir 5 et 6 si l'ordre ne joue pas de rôle c) d'obtenir exactement une fois 6; d) d'obtenir 



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Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d'une «expérience type» puis d'analyser cette expérience en détail 

  • Comment calculer proba de A et B ?

    Etant donnés deux évènements A et B de probabilités non nulles alors PA(B)=P(A?B)P(A). Personnellement, je retiens cette formule en remarquant que les A sont "en bas" des deux côtés de l'égalité. Cette formule s'écrit aussi : P(A?B)=P(A)×PA(B).

  • Comment calculer à ? B ?

    P[A ? B] = P[A] × P[B]. Dans ce cas P[AB] = P[A] et P[BA] = P[B].

  • Comment calculer la probabilité de à ?

    Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N. Vous devez donc connaître le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
  • Lorsque 2 évènements sont compatibles, la probabilité que l'évènement A ou l'évènement B se produise est P(A?B)=P(A)+P(B)?P(A?B).
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I. Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : " Le patient a pris le médicament A. » G : " Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à PA

455
800
≈0,57=57% . La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à PG 674
800
≈0,84=84%

. La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

383
800
≈0,48=48%

. La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

72
800
=0,09=9%

. 2) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note P

G A et est égale à P G A 383
674
≈0,57=57% . La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note P B G et est égale à P B G 291
345
≈0,84=84%

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note :

P A (B)

II. Arbre pondéré Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo 1) Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont : - 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit

R∩G

est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :

P(R)= 20 50
2 5 =0,4

Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1. À partir du noeud "On tire une boule", on a :

0,4+P(R)=1

Donc

P(R)=1-0,4=0,6

. b) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G)= 15 20 =0,75

. Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin. On considère le chemin menant à

R∩G

. On a :

P(R∩G)=0,4×0,75=0,3

c) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : P R (G)= 9 30
=0,3 . Et donc

P(R∩G)=0,6×0,3=0,18

d) L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux chemins menant à

R∩G

et

R∩G

. Donc

. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. 2) Utilisation d'un arbre pondéré Méthode : Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - sachant qu'un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - sachant qu'un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On note les événements :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4M : " Être porteur de la maladie » T : " Avoir un test positif ». 1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 2) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010 1) 2) La probabilité que le test soit positif est associée aux événements :

M∩T

et

M∩T

PM∩T

=0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2)

PM∩T

=0,98 x 0,05 = 0,049

P(T)=P(M∩T)+P(M∩T)

(règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 3) Propriété :

P A (B)=

P(A∩B)

P(A) T M

PT∩M

PT

0,02×0,85

0,066 ≈0,26

. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%. Le test n'est pas fiable ! Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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