[PDF] Produit vectoriel 23 nov. 2010 1 Aire

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Produit vectoriel

L1 { PMI

23 novembre 2010

1 Aire algebrique d'un parallelogramme dans le plan

Dans un plan (ane euclidien), on choisit un repere orthonorme(O;u;v). On oriente le plan en decretant que cette base est directe.

1.1 Aire geometrique

Considerons un parallelogrammeABCDnon aplati dans ce plan. Notons0une mesure de l'angle geometrique \BAD: c'est un reel strictement compris entre 0 et. NotonsHle projete orthogonal deBsur la droite (AB) (faire un dessin!). Alors on a :DK=ADsin0. Si on considere le segment [AB] comme la \base" du parallelogramme, la \hauteur" correspondante est [AK] donc l'aire du parallelogramme est :

A=ABAK=ABADsin0:

D'autre part, on retrouve l'expression du produit scalaire !AB!AD: !AB!AD= (!AH+!HD)!AB=!AH!AB=AHAB:

En utilisant la relationAH=ADcos0, on obtient :

!AB!AD=ABADcos0: Passons en coordonnees. Notons (x1;y1) les coordonnees de!ABet (x2;y2) celles de!AD. Soitz1=x1iy1etz2=x2+iy2. DansC, le module d'un produit est le produit des modules, ce qui donne : AB

2AD2=jz1j2 jz2j2=jz1z2j2= (x1x2+y1y2)2+ (x1y2x2y1)2:

On reconna^t dans le premier terme l'expression analytique du produit scalaire : x

1x2+y1y2=!AB!AD=ABADcos0:

On en deduit :

jx1y2x2y1j=pAB

2AD2(x1x2+y1y2)2=pAB

2AD2(1cos20);

si bien que l'on a :

A=ABADsin0=jx1y2x2y1j:

On va maintenant \enlever" la valeur absolue.

1

1.2 Aire algebrique

On denit le determinant de deux vecteursuetvdans la base orthonormee (i;j) par : det(u;v)notation=x 1x2 y 1y2 def:=x1y2x2y1;ouux1 y 1 etvx2 y 2 On vient de montrer que l'aire du parallelogrammeABCDest la valeur absolue du deter- minant det(!AB;!AD). Il est clair que le determinant de deux vecteurs est nul SSI l'aire du parallelogramme correspondant est nulle SSI les vecteurs sont colineaires. On peut demontrer que le determinant ne change pas si on remplace la base (i;j) par une autre base orthonormee qui a la m^eme orientation. Par denition, l'aire algebriqueAalgd'un parallelogrammeABCDest le determinant des vecteurs !ABet!ADcalcule dans une base orthonormee. C'est donc l'aire habituelle munie d'un signe. Le signe est positif si la base (!AB;!AD) est directe, ce qui signie moralement quepour aller de!ABa!AD, il faut tourner dans le m^eme sens que pour aller deuav.Le signe est negatif si la base est indirecte. Siest une mesure de l'angle oriente de vecteurs (\!AB;!AD) {on a alors 0[2]{ alors (verier!) : A alg=x1y2y1x2=ABADsin:

2 Produit vectoriel dans l'espace

Dans l'espace (euclidien oriente), on choisit un repere orthonorme direct (O;i;j;k) (les trois vecteurs sont deux a deux orthogonaux et de norme 1).

2.1 Bases directes et indirectes

J'extrais le texte ci-dessous de Wikipedia. On verra a la n de l'annee des denitions plus formelles. On dit que deux bases denissent la m^eme orientation si, par rotation autour d'un axe, on peut les superposer. De nouveau, deux types d'orientation sont possibles. Une base ( !i;!j;!k) etant donnee, changer un vecteur en son oppose ou permuter deux vecteurs modie l'orientation du plan. Operer une permutation circulaire des trois vecteurs ne change pas l'orientation : !i;!j;!k) et (!k;!i;!j) denissent la m^eme orientation. La culture, ici aussi, a privilegie un sens appele direct : celui correspondant au vissage d'une vis ou d'un tire-bouchon. La base ( !i;!j;!k) est dite directe si, en tournant de!ivers!j, la vis ou le tire-bouchon s'enfonce dans la direction!k. C'est ainsi que l'orientation (haut, droite, devant) est directe et permet accessoirement de distinguer la droite et la gauche. C'est la m^eme orientation directe que l'on trouve avec laregle des trois doigts de la main droite: le triplet (pouce, index, majeur) denit une orientation directe. On voit donc que le choix d'une orientation est liee a la notion de droite et de gauche.

2.2 Denition geometrique

Etant donne deux vecteursuetvde l'espace, on denit leur produit vectoriel comme le vecteuru^vayant les proprietes suivantes : 2 {si uetvsont colineaires,u^vest le vecteur nul; sinon, on c hoisitun p ointA, on construit deux pointsBetDtels que!AB=uet!AD=v, on construit un pointCtel queABCDsoit un parallelogramme; alors, {u^vest orthogonal a!ABet!AD, la norme de u^vest l'aire (geometrique) du parallelogrammeABCD, le sens de u^vest choisi de sorte que la base (u;v;u^v) soit directe. Faites un dessin! On cherche un pointMtel que!AM=u^v. La premiere condition xe une droite a laquelle appartientM(perpendiculaire commune aux deux droites (AB) et (AD)), la deuxieme determine deux points sur cette droite (par la donnee de la distanceAM), la troisieme permet de choisir entre ces deux points.

2.3 Denition analytique

Dans la base (i;j;k) de reference, on ecrit les coordonnees des vecteursu=!ABetv=!AD: AB0 @x 1 y 1 z 11 A ;!AD0 @x 2 y 2 z 21
A Alors les coordonnees de leur produit vectoriel sont :

AB^!AD0

@y

1z2z1y2

x1z2+z1x2 x

1y2y1x21

A On ne va verier cette formule que dans le cas particulier ouz1=z2= 0. On verra un jour en cours la preuve en general. Dans le cas particulier, la formule est presque evidente. Notons wle vecteur de coordonnees (0;0;x1y2y1x2) : les deux pr emieresco ordonneesdu v ecteurwsont nulles donc le vecteur est orthogonal a!ABet!AD, la norme du v ecteure stjx1y2y1x2j, qui est bien l'aire du parallelogramme, en d istinguantdeux cas selon le signe, on se con vaincque la base ( !AB;!AD;w) est directe. Pour en deduire la formule en general, on pourrait utiliser le fait qu'elle est la m^emedans toute base orthonormee directe (de m^eme que, dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs s'exprime parx1x2+y1y2dans toute base orthonormee) et constater qu'il existe une base orthonormee directe dans laquelle les coordonneeszdes deux vecteurs sont nulles. Moyen mnemotechnique.On recrit les deux premieres lignes sous les vecteurs :0 @x 1 y 1 z 11 A ^0 @x 2 y 2 z 21
A =0 @y

1z2z1y2

x1z2+z1x2 x

1y2y1x21

A x 1 y 1x 2 y 2

2.4 Proprietes formelles et utiles

On a les proprietes suivantes, pour tous vecteursu,vetw: 1. le v ecteuru^vest nul SSIuetvsont colineaires,

2.u^v=v^u,

3

3.u^(v+w) = (u^v) + (u^w) et (u+v)^w= (u^w) + (v^w),

4.u^(v^w) = (u^v)^w+v^(u^w),

5. le pro duitscalaire ( u^v)west le volume du parallelepipede \engendre" par (u;v;w) (au m^eme sens qu'un couple de vecteurs dans un plan \engendre" un parallelogramme, voir ci-dessus). La propriete 1 resulte de la denition geometrique. Les proprietes 2 a 4 se demontrent facilement en ecrivant les coordonnees de tous les vecteurs. Demontrons la propriete 5. Faire un dessin s'impose! Le volume du parallelepipede est le produit de l'aire de la baseengendree paruetvpar lahauteurcorrespondant aw. L'aire du parallelogramme engendre paruetvest la norme du produit vectorielu^v. D'autre part, notonsl'angle forme par le vecteurwet le plan engendre paruetv. Lahauteurest donc jjwjjsin, oujjwjjdesigne la norme dew. C'est donc aussijjwjjcos(=2). Mais l'angle=2 est l'angle des vecteurswetu^v, si bien que le volume cherche estjjwjjjju^vjjcos(=2) : c'est bien la valeur absolue du produit scalairew(u^v). Notons une application du produit vectoriel. Dans un repere orthonorme xe (O;i;j;k) du plan, on cherche la droite d'intersection des plans d'equations : ax+by+cz=d a

0x+b0y+c0z=d;

ou (a;b;c) et (a0;b0;c0) sont des triplets non nuls de reels etd;d0sont d'autres reels. Soituet u

0les vecteurs de coordonnees (a;b;c) et (a0;b0;c0). On suppose qu'ils ne sont pas colineaires.

Le premier plan est parallele au plan d'equationax+by+cz= 0, equation qui signie que!OMest orthogonal au(carax+by+czest le produit scalaire de!OMetu). Un vecteur directeur de doit donc ^etre orthogonal auetu0: le produit vectorielu^u0en est un! 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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