Cours de Mécanique des fluides PDF

Equations générales de la dynamique des fluides parfaits. 3.2. Ecoulement permanent. 3.3. Equation de continuité. 3.4. Débit massique débit volumique.

Cours de Mécanique des fluides

Rappelons que pour un fluide incompressible la masse volumique est constante. Cela concerne donc les liquides ainsi que les écoulements gazeux dont la vitesse

MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés

dynamique des fluides incompressibles parfaits en particulier

FORMULAIRE DE MECANIQUE DES FLUIDES

p atm – p asp = ? g h asp ? : masse volumique du liquide en kg /m3 p asp = p atm - ? g h asp eau : h asp maxi th = 10.33m h : HG ( hauteur géométrique ) en m p

Mécanique des fluides et transferts

Il présente les bases de la mécanique des fluides et des transferts. Bonne lecture. Olivier Bonnefoy. Nota Bene : ce document est en cours d'élaboration.

Support de cours Mécanique des fluides L2 S1 Département Génie

- Le volume ne change pas ? ? = cte : cas des liquides (eau huile) ? fluide incompressible. - Le volume change ? ? varie : cas des gaz (air) ? fluide

Cours de mécanique des fluides

La fameuse formule de Bernoulli y est présentée ainsi que Mécanique des Fluides de Toulouse)

MECANIQUE DES FLUIDES

- "Mécanique Des Fluides Incompressibles" J.-S. Darrozes

MÉCANIQUE DES FLUIDES

P pression en Pa. F force en N. S surface en m2 r masse volumique du fluide g accél t de la pesanteur (981 m.s-2) h hauteur de la colonne du fluide.

CoursdeMécaniquedesfluides

J.ROUSSEL

www.almohandiss.com 2 c

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Tabledesmatières

1Cinématiquedesfluides5

2DynamiquedesfluidesNewtoniens15

3Fluidesenéquilibre25

5Écoulementsvisqueux43

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4Tabledesmatières

6Phénomènesdetensiondesurface49

AFormulairemathématique57

DDiagrammedeMoody69

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Chapitre1

Cinématiquedes¯uides

sablesdecetécoulement.

1.1L'état¯uide

1.1.1Propriétésd'un¯uide

Approximation:constante

T=1 V@V@P T=1 @@P T0Pa1 =1 V@V@T P=1 @@T P0K1 passeparunetransitiondephase).

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6Chapitre1.Cinématiquedesfluides

uncoefficientdedilatationtrèsfaible(1 parfait,ona:

Approximationdugazparfait:T=1P

c'estlecasdescristauxliquidesparexemple. desliquides.

1.1.2Lemodèlecontinu

parled'échellemésoscopique.

LamassevolumiquelocaleenM:(M;t)=m

dans,àl'instantt. dansàl'instantt. c

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1.2.Descriptiond'unfluide7

l l

Échelle microscopique

Monde fluctuant et aléatoireN molécules

Échelle mésoscopique

lissage des fluctuations par un effet de moyenne locale L >> v(M,t)M (M,t) mparticule de fluide

Fluidea >>

FIG.1.1-Modèlecontinudufluide.

cules,ions,...).

Remarques:

uidemaislamoyennede K n= L1 conceptsdephysiquestatistique.

1.2Descriptiond'un¯uide

1.2.1DescriptiondeLagrange

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8Chapitre1.Cinématiquedesfluides

xu zuyu x0y0z0 O xyz

Trajectoire

M(x,y,z) à l'instant tM( , , )

0 instant t (a)Visualisationdelatrajectoiresdespar- ticulesautourd'unobstacle 8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t)

Lavitessedelaparticules'écrit:

!v(P)=0 B @v x v y v z1 C A=0 B @@x @t@y @t @z @t1 C A avecunlongtempspose(cf.figure1.2).

1.2.2Descriptiond'Euler

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1.2.Descriptiond'unfluide9

équationsdifférentiellessuivantes:

dx vx=dyvy=dzvz

Descriptiond'Euler=>Lignedecourant

y xM (x , y , z , t) 111

M (x , y , z , t)

222

Lignes d'écoulement

à l'instant t

(a)Ligned'écoulement(effetMagnus). (b)Visualisationdeslignesdecourantau- tourd'undisque

FIG.1.3-Notiondelignedecourant.

1.2.3Régimesd'écoulement

@t=!0.Attention www.almohandiss.com

10Chapitre1.Cinématiquedesfluides

courantsn'évoluentpasaucoursdutemps. complexeetchaotique. defluideP:8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t) !a(P)=0 B @a x a y a z1 C A=0 B 2x @t2 2y @t2 2z @t21 C A champdesvitesses. s'écrit t=d!vdt ensuivantlaparticule=D!v Dt

Où,

D!v a x=@vx c

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1.3.Conservationdelamasse11

defaçoncompacteona

àsavariationtemporellepar:

Dt=@G@t+(!v:!r)G

1.3Conservationdelamasse

1.3.1Vecteurdensitédematière

dt.Onadonc dm=dtdS!v:!n a vdt vn v dS a volume : dS.v.dt.cos( )

FIG.1.4-Calculdudébit.

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12Chapitre1.Cinématiquedesfluides

(unité:kg:s1): Q m=ZZ (S)dm dt=ZZ (S)!v:!ndS

Pourunesurfacefermée:

Q sortie m=I (S)!v:dS!n oùQsortie tique). unitédetemps(unité:m3:s1): Q V=ZZ1 dmdt=ZZ (S)!vdS!n !j=!v

Remarques:

1.3.2Équationdecontinuité.

tiondecontinuité».

M(t)=ZZZ

(V)(x;y;z;t)dxdydz dM(t) dt=ZZZ (V)@@tdxdydz=ZZ (S)!vdS!n c

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1.3.Conservationdelamasse13

Lignes de courant

v (S) n dS

FIG.1.5-Conservationdelamasse.

ZZZ (V)(div(!v)+@ @t)dxdydz=08V d'oùl'équationdecontinuité:

Équationdecontinuité:div(!v)+@@t=0

1.3.3Casdes¯uidesincompressibles

cegaz. div !v=0)I (S)!vdS!n=0 lavitesseestàfluxconservatif.

Conséquences:

Q ventrant=Qvsortant www.almohandiss.com

14Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Débit massique entrant = débit massique sortant2 uu1 (S )Tube de courant 1 (S ) 2 v=1

SZZ!v:!udS

Onobtient

v1S1=v2S2 delavitessemoyenne. c

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Chapitre2

Dynamiquedes¯uidesNewtoniens

2.1Bilandesforces

Ondistinguedeuxtypesdeforces:

forcesdesurface.

2.1.1Forcesdepression

dSdésignelacontrainte.

Onadmettraque:

d !Fn=P(M):dS:!n où

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www.almohandiss.com dF dF dF aire dS 1 22
3 aire dS

3aire dS1

pressionprendlamêmevaleur. valeur.

Pascal(pa).

1Pa=1N:m2

UnitéÉquivalenceenpascal

Bar1bar=105Pa

atmosphère(atm)1atm=1;013105Pa torr(mmHg)1torr=1mmHg=133;3Pa

TAB.2.1-Unitésdepression.

voisinesdelasurface.

ApproximationdesGazParfaits:PnRTV

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2.1.Bilandesforces17

1300atm!

yz x

P(x,y+dy/2,z)P(x,y-dy/2,z)P(x,y,z+dz/2)

P(x,y,z-dz/2)M(x,y,z)

Parallèlépipède de volume dxdydz

quedelacoordonnéey. cettecomposante: F y=dxdz[P(x;ydy

2;z)P(x;y+dy2;z)]

F y=dxdz[P(x;y;z)dy !F=Fx!ux+Fy!uy+Fz!uz=!rPd miquedepression

Forcevolumiquedepression:!fp=!rP

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V!fpd.

2.1.3Notiondeviscosité

wFil de torsion

Fluide visqueux

FIG.2.3-ExpériencedeCouette.

Ontrouve

/v e c

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2.1.Bilandesforces19

surunélémentdesurfacedSs'écrit: y xvitesses profil des

écoulement laminaire

dv dyt = hyxt = -yyP contrainte normalecontrainte tangentielle

Fluide(20C,1atm)Viscosité(Pa.s.)

Eau(liq)1;006103

Huilemoteur(liq)0;3

Glycérinepure(liq)0,8

Mercure(liq)1;56:103

vapeurd'eau(gaz)9;7:106

Airsec(gaz)18;2:106

TAB.2.2-Quelquesvaleursdeviscosités.

/p www.almohandiss.com cisaillement. généraliseronslerésultat. y xvitesses profil des

M(x,y,z)

(y+dy)t t(y) !dF=@v @y(y+dy)@v@y(y) dxdz!ux=@2v@y2d!ux cetteformulesegénéralise: !4A=4Ax!ux+4Ay!uy+4Az!uz pluscomplexe. c

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2.2.L'équationdeNavier-Stokes.21

2.1.5Forcesextérieures

!dF=!fextd ^!v)

2.2L'équationdeNavier-Stokes.

2.2.1L'équationdeNavier-Stokes.

Dynamique:

dm D!v

Dt=!rPd+!fextd+!4vd

D!v

Dt=!rP+!fext+!4v

Distinguonsdeuxcas:

lefluideestincompressible(constante): www.almohandiss.com continuitédiv(!v)+@ grosordinateurs...

2.2.3Approximations

(!v!r)!v !v v2 d v=vd=Re typesd'écoulements: (@!v @t+(!v:!r)!v)=!rP+!fext c

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2.3.Conditionsauxlimites23

visqueux.L'équationdevient @!v @t=!rP+!fext+!4v

2.3Conditionsauxlimites

2.3.1Écoulementparfait

d'uneinterface.

2.3.2Écoulementvisqueux

uneinterfaceliquidesolide) www.almohandiss.com c

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Chapitre3

Fluidesenéquilibre

3.1Fluideaureposdansunchampdepesanteur

cefluidedansceréférentiel.

3.1.1Miseenéquation

!fext=!g

L'équationdeNavier-Stokesdevient:

!rP+!g=!0

3.1.2Casdesliquides

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26Chapitre3.Fluidesenéquilibre

g forces volumiques de pressionisobares

Surface librez

conséquences: p1=p2 -Voirl'expériencedutonneaudePascal.

Applications:

lebaromètredeToricelli

3.1.3Casdesgaz

miquepourrésoudreleproblème. c

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www.almohandiss.com (a)Expé- riencedu tonneaude

Pascal

(b)Principedelapressehydraulique www.almohandiss.com

28Chapitre3.Fluidesenéquilibre

Legazestparfaitdonc:

=MP RT dP dz=MPRT0g

P(z)=P0exp[z

H] oùH=RT

3.1.4Pousséed'Archimède

g z

Surface libre

Cube d'arete a1

P 2 P

FIG.3.3-Pousséed'Archimède.

Onobtient

=P2SP1S=gaS c

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3.2.Casgénéral29

estégaleaupoidsdufluidedéplacé. engénéral,ducentredegravité.

Applications:

flottaisondesbateaux ascensiondesballonssondes, convectiondelachaleuretc...

3.2Casgénéral

l'équationdel'hydrostatique:

Équationdel'hydrostatique:!fext!rP=!0

3.2.2Exemple:leliquideenrotation.

cylindre,leliquideestaurepos.

Laforcevolumiquedepesanteurvaut!p=!g

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30Chapitre3.Fluidesenéquilibre

heruz u g hquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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3Fluidesenéquilibre25

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6Phénomènesdetensiondesurface49

AFormulairemathématique57

DDiagrammedeMoody69

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Chapitre1

Cinématiquedes¯uides

1.1L'état¯uide

1.1.1Propriétésd'un¯uide

Approximation:constante

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6Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Approximationdugazparfait:T=1P

1.1.2Lemodèlecontinu

LamassevolumiquelocaleenM:(M;t)=m

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1.2.Descriptiond'unfluide7

Échelle microscopique

Monde fluctuant et aléatoireN molécules

Échelle mésoscopique

Fluidea >>

FIG.1.1-Modèlecontinudufluide.

Remarques:

1.2Descriptiond'un¯uide

1.2.1DescriptiondeLagrange

8Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Trajectoire

M(x,y,z) à l'instant tM( , , )

Lavitessedelaparticules'écrit:

1.2.2Descriptiond'Euler

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1.2.Descriptiond'unfluide9

équationsdifférentiellessuivantes:

Descriptiond'Euler=>Lignedecourant

M (x , y , z , t)

Lignes d'écoulement

à l'instant t

FIG.1.3-Notiondelignedecourant.

1.2.3Régimesd'écoulement

10Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Où,

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1.3.Conservationdelamasse11

àsavariationtemporellepar:

Dt=@G@t+(!v:!r)G

1.3Conservationdelamasse

1.3.1Vecteurdensitédematière

FIG.1.4-Calculdudébit.

12Chapitre1.Cinématiquedesfluides

Pourunesurfacefermée:

Remarques:

1.3.2Équationdecontinuité.

M(t)=ZZZ

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Lignes de courant

FIG.1.5-Conservationdelamasse.

Équationdecontinuité:div(!v)+@@t=0

1.3.3Casdes¯uidesincompressibles

Conséquences:

14Chapitre1.Cinématiquedesfluides

SZZ!v:!udS

Onobtient

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Chapitre2

Dynamiquedes¯uidesNewtoniens

2.1Bilandesforces

Ondistinguedeuxtypesdeforces:

2.1.1Forcesdepression

Onadmettraque: