[PDF] FICHE DE RÉVISION DU BAC

Terminale ES - Suites géométriques

Etudier la limite de la suite ( ) c'est observer le comportement des termes de la suite lorsque prend des valeurs de plus en plus grandes ( tend vers +

Terminale S - Limite dune suite géométrique

Pas de limite. Converge vers. 0. +?. < . ??. II) Cas particuliers : ? Si

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suites arithmético-géométriques : ES/L S. - opérations sur les limites

Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence

a) Calculer la valeur exacte des trois premiers termes de la suite ( ). b) Démontrer que ( ) est une suite géométrique. c) Exprimer en fonction de

Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le

un + 1. 6?) Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite (vn). 7?) La suite v semble-t-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier votre

Modèles démographiques

« Il paraît incontestable que la population croîtrait selon une progression géométrique s'il ne se présentait aucun obstacle à son développement. Les moyens de

SUITES ARITHMÉTICO- GÉOMÉTRIQUES

Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n 6) Calculer la limite de (un).

COURS TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES

C. Les suites géométriques. La suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q tel que pour tout naturel n

Suites arithmético-géométriques Limite et somme dune suite

EXERCICE 6.1 : Etude d'une suite arithmético-géométrique µ En classe de terminale ES la résolution d'un problème portant sur une suite ...

Suites numériques – Exercices

Suites numériques – Exercices – Terminale ES/L – G. AURIOL Lycée Paul Sabatier la suite géométrique de premier terme ... Limite d'une suite géométrique.

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Limite d'une suite géométrique ( ) est une suite géométrique de raison non nulle Pour tout entier = 0 × I) Théorème ? ?

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I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (qn) Propriété : (un) est une suite géométrique positive de raison q et de premier terme non nul u0

Calculer la limite dune suite géométrique - Mathématiquesclub

22 jan 2017 · Un exemple concret de la détermination de la limite d'une suite géométrique Cet exercice résolu pourra intéresser les élèves de Terminale ES

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De la même manière on définit la notion de limite en - ? Par exemple lim (- n²) = - ? Exemples • On considère la suite géométrique (un) définie

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Souvent pour calculer des limites on s'appuie sur des limites de suites usuelles que l'on connaît et on applique des opérations sur celles-ci

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somme de termes limite de suites arithmétique et géométrique : STI2D STL ES/L S - suites arithmético-géométriques : ES/L S

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Thème : suites et variations limite et convergence suites arithmétiques géométriques arithmético-géométriques quelques théorèmes etc Notions abordées

[PDF] Terminale ES – Chapitre III – Suites numériques - tableau-noirnet

Application : détermination de la limite d'une suite géométrique de raison q>0 Exemple : Soit (vn) la suite géométrique de terme initial v0=8 et de raison 01

[PDF] Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le

Limite d'une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Reconnaitre les formes indéterminées

Comment déterminer la limite d'une suite géométrique ?
On considère un nombre q strictement positif et la suite (un) définie pour tout entier positif ou nul n par un=qn. La règle de calcul de limite est simple : si 0<q<1 alors limqn=0. si q=1 alors limqn=1._{22 jan. 2017}
Comment montrer qu'une suite est géométrique terminale ?
On présente ici la plus classique en Terminale ES. Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.
Comment expliquer qu'une suite est géométrique ?
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (V_n) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \\times V_n.
si la raison est positive (r > 0), la limite est +? ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –? ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 1

Note liminaire

Programme selon les sections :

- notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections

- somme de termes, limite de suites arithmétique et géométrique : STI2D, STL, ES/L, S - suites arithmético-géométriques : ES/L, S - opérations sur les limites, comparaisons, raisonnement par récurrence : S

Prérequis

Fonctions - notion de limite - calcul de puissances

Plan du cours

1. Etude de suites

2. Suites arithmétiques

3. Suites géométriques

4. Suites arithmético-géométriques

5. Raisonnement par récurrence

6. Limites de suites

1. Etude de suites

Définition :

Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ensemble des entiers naturels), ou sur un interǀalle I de N.

On peut noter une suite

(I Ġtant l'ensemble de dĠfinition de la suite), ou u. Le nème de la suite u est noté un, le n+1ème un+1, etc.

Il y a deux manières de définir une suite : par une relation de récurrence (relations entre les termes entre eux) ou

par une formule explicite (expression des termes en fonction de leur rang n).

Exemples :

u telle que et est définie par une relation de récurrence. v telle que est définie par une formule explicite.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 2

Représentation graphique : Ex :

Remarque :

Pour dĠfinir complğtement une suite (c'est-à-dire être en mesure de calculer chacun de ses termes), il faut soit la

formule explicite, soit la relation de récurrence et la ǀaleur d'un terme.

Sens de variation :

Une suite est croissante si et seulement si pour tout Une suite est décroissante si et seulement si pour tout

Ex : La suite v définie précédemment est croissante. Corollaire : si une suite u est croissante, et

, alors pour tout tel que on a (si la suite est décroissante, on a

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2. Suites arithmétiques

Définition :

Une suite u est dite arithmétique s'il eǆiste tel que pour tout

Le réel r est la raison de la suite.

- relation de récurrence : - formule explicite :

Remarques :

- La formule explicite se généralise : est une droite).

Sens de variation :

Une suite arithmétique est constante si

, strictement croissante si , strictement décroissante si

Exemples :

(suite arithmétique de raison 4) (suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5)

Somme de termes :

Somme de tous les termes :

Somme ă partir d'un rang p :

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3. Suites géométriques

Définition :

Une suite u est dite géométrique s'il eǆiste tel que pour tout

Le réel q est la raison de la suite.

- relation de récurrence : - formule explicite :

Remarque :

- La formule explicite se généralise :

Sens de variation :

- Si u est strictement croissante si , strictement décroissante si , constante si (tous les termes sont nuls) ou si - Si u est strictement décroissante si , strictement croissante si , constante si (tous les termes sont nuls) ou si - Si , la suite est dite alternée (ses termes sont alternativement positifs et négatifs).

Exemples :

(suite géométrique de raison -2) (suite arithmétique de raison 1/3 et de premier terme 5)

Somme de termes :

Pour , somme de tous les termes : Pour , somme ă partir d'un rang p :

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4. Suites arithmético-géométriques

Définition :

Une suite u est dite arithmético-géométrique s'il eǆiste et tel que pour tout

Remarques :

- Une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique pour laquelle - Une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique pour laquelle Recherche de la formule eǆplicite d'une suite arithmĠtico-géométrique u :

1) On construit une suite géométrique v telle que

2) On exprime

en fonction de n (formule explicite).

3) On en dĠduit l'eǆpression de

Exemple :

1) On pose

On a donc :

et (formule explicite de la suite u)

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5. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer certaines propriétés de suites à partir de leur relation de

récurrence.

Principe de récurrence :

Soit une proposition Pn dĠpendant d'un entier n (son rang). Pour démontrer que Pn est vraie pour tout entier , il suffit de démontrer que :

1) la proposition

est vraie.

2) si Pp est vraie (avec

) alors Pp+1 est vraie.

L'Ġtape 1) est l'initialisation du raisonnement par rĠcurrence. L'Ġtape 2) est la dĠmonstration de l'hĠrĠditĠ de la

propriété.

Exemple :

Démontrer que pour tout entier

la proposition "

» est vraie.

Initialisation :

et donc la proposition est vraie pour

Hérédité :

Soit un entier

Supposons que

Alors

Donc si la proposition est vraie pour

alors elle est vraie pour

La proposition est héréditaire.

Conclusion :

La proposition "

» est vraie pour

, et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier

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6. Limites de suites

Convergence :

Si une suite a une limite finie (

Unicité de la limite :

- Si une suite est convergente alors elle admet une unique limite. - Si alors la suite tend vers - Si alors la suite tend vers

Limite d'une suite géométrique :

- Si et si la suite tend vers (elle est divergente). - Si et si la suite tend vers (elle est divergente). - Si , la suite tend vers 0 (elle est convergente). - Si , la suite n'a pas de limite (elle est divergente).

Limites de suites usuelles :

Théorèmes de comparaison de limites :

- Soient deux suites u et v de limites respectives l et l'.

Si ă partir d'un certain rang

alors - Soient deux suites u et v telles que

à partir d'un certain rang.

Si alors Si alors

Théorème de convergence monotone :

- Si une suite u est croissante et majorée (ă partir d'un certain rang ) alors elle est convergente. ( avec

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 8 - Si une suite u est décroissante et minorée (ă partir d'un certain rang ) alors elle est convergente. ( avec Propriété pour les suites monotones non bornées : - Si une suite u est croissante et non majorée alors - Si une suite u est décroissante et non minorée alors

Théorème des gendarmes :

Soient un réel

Si et alors

Opérations sur les limites :

- Limite de - Limite de - Limite de - Limite de

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 9quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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Comment déterminer la limite d'une suite géométrique ?

Comment montrer qu'une suite est géométrique terminale ?

Comment expliquer qu'une suite est géométrique ?

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Programme selon les sections :

Prérequis

Plan du cours

1. Etude de suites

2. Suites arithmétiques

3. Suites géométriques

4. Suites arithmético-géométriques

5. Raisonnement par récurrence

6. Limites de suites

1. Etude de suites

Définition :

On peut noter une suite

Exemples :

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Représentation graphique : Ex :

Remarque :

Sens de variation :

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2. Suites arithmétiques

Définition :

Le réel r est la raison de la suite.

Remarques :

Sens de variation :

Une suite arithmétique est constante si

Exemples :

Somme de termes :

Somme de tous les termes :

Somme ă partir d'un rang p :

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3. Suites géométriques

Définition :

Le réel q est la raison de la suite.

Remarque :

Sens de variation :

Exemples :

Somme de termes :

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4. Suites arithmético-géométriques

Définition :

Remarques :

1) On construit une suite géométrique v telle que

2) On exprime

3) On en dĠduit l'eǆpression de

Exemple :

1) On pose

On a donc :

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5. Raisonnement par récurrence

Principe de récurrence :

1) la proposition

2) si Pp est vraie (avec

Exemple :

Démontrer que pour tout entier

» est vraie.

Initialisation :

Hérédité :