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Nombres complexes

PréambuleL"équationx+5=2a ses coefficients dansNmais pourtant sa solutionx=3n"est pas un entier naturel. Il faut ici

considérer l"ensemble plus grandZdes entiers relatifs. N x+5=2,!Z2x=3,!Qx 2=12 ,!Rx2=p2 ,!C

De même l"équation2x=3a ses coefficients dansZmais sa solutionx=32est dans l"ensemble plus grand des

rationnelsQ. Continuons ainsi, l"équationx2=12à coefficients dansQ, a ses solutionsx1= +1=p2etx2=1=p2

dans l"ensemble des réelsR. Ensuite l"équationx2=p2à ses coefficients dansRet ses solutionsx1= +ipp2et

x2=ipp2dans l"ensemble des nombres complexesC. Ce processus est-il sans fin? Non! Les nombres complexes

sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d"Alembert-Gauss suivant :" Pour n"importe

quelle équation polynomialeanxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0=0où les coefficientsaisont des complexes (ou

bien des réels), alors les solutions x1,...,xnsont dans l"ensemble des nombres complexes ».

Outre la résolution d"équations, les nombres complexes s"appliquent à la trigonométrie, à la géométrie (comme nous

le verrons dans ce chapitre) mais aussi à l"électronique, à la mécanique quantique, etc.

1. Les nombres complexes

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

Unnombre complexeest un couple(a,b)2R2que l"on noteraa+ib

NOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES201i

aba+ibRiRCela revient à identifier1avec le vecteur(1,0)deR2, etiavec le vecteur(0,1). On noteCl"ensemble des nombres

complexes. Sib=0, alorsz=aest situé sur l"axe des abscisses, que l"on identifie àR. Dans ce cas on dira quezest

réel, etRapparaît comme un sous-ensemble deC, appeléaxe réel. Sib6=0,zest ditimaginaireet sib6=0eta=0,

zest ditimaginaire pur.

1.2. Opérations

Siz=a+ibetz0=a0+ib0sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes : addition:(a+ib)+(a0+ib0) = (a+a0)+i(b+b0)01izz

0z+z0RiR•

multiplication :(a+ib)(a0+ib0) = (aa0bb0) +i(ab0+ba0). On développe en suivant les règles de la multiplication usuelle avec la convention suivante :i

2=11.3. Partie réelle et imaginaire

Soitz=a+ibun nombre complexe, sapartie réelleest le réelaet on la noteRe(z); sapartie imaginaireest le

réelbet on la note Im(z).01i

Re(z)iIm(z)z

RiRRe(z)Im(z)Par identification deCàR2, l"écriturez=Re(z)+iIm(z)est unique : z=z0()8 :Re(z) =Re(z0) et

Im(z) =Im(z0)

NOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES3En particulier un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est

nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls.

1.4. Calculs

Quelques définitions et calculs sur les nombres complexes.0 1iz zz•

L"opposédez=a+ibestz= (a)+i(b) =aib.

Lamultiplication par un scalaire2R:z= (a)+i(b).

L"inverse: siz6=0, il existe un uniquez02Ctel quezz0=1 (où 1=1+i0). Pour la preuve et le calcul on écritz=a+ibpuis on cherchez0=a0+ib0tel quezz0=1. Autrement dit

(a+ib)(a0+ib0) =1. En développant et identifiant les parties réelles et imaginaires on obtient les équationsaa0bb0=1(L1)

ab

0+ba0=0(L2)

En écrivantaL1+bL2(on multiplie la ligne (L1) para, la ligne (L2) parbet on additionne) etbL1+aL2on en

déduita0a2+b2=a b

0a2+b2=bdonca0=aa

2+b2 b 0=ba 2+b2

L"inverse dez, noté1z

, est donc z 0=1z =aa

2+b2+iba

2+b2=aiba

2+b2.

Ladivision:zz

0est le nombre complexez1z

0. Propriété d"intégrité : sizz0=0 alorsz=0 ouz0=0. Puissances :z2=zz,zn=zz(nfois,n2N). Par conventionz0=1 etzn=1z n=1z n.Proposition 1.

Pour tout z2Cdifférent de11+z+z2++zn=1zn+11z.

La preuve est simple : notonsS=1+z+z2++zn, alors en développantS(1z)presque tous les termes se télescopent et l"on trouveS(1z) =1zn+1.

Remarque.

1.5. Conjugué, module

Leconjuguédez=a+ibest¯z=aib, autrement ditRe(¯z) =Re(z)etIm(¯z) =Im(z). Le point¯zest le symétrique

du pointzpar rapport à l"axe réel.

Lemoduledez=a+ibest le réel positifjzj=pa

2+b2. Commez¯z= (a+ib)(aib) =a2+b2alors le module

vaut aussijzj=pz

¯z.

NOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES40

1iz zjzj0z=a+ibab

Quelques formules :

•z+z0=¯z+z

0,¯

z=z,zz

0=¯zz

0 z=¯z()z2R jzj2=z¯z,j¯zj=jzj,jzz0j=jzjjz0j

0z+z0Avant de faire la preuve voici deux remarques utiles. Soitz=a+ib2Caveca,b2R:

jRe(z)j6jzj(et aussijIm(z)j6jzj). Cela vient du fait quejaj6pa

2+b2. Noter que pour un réeljajest à la fois

le module et la valeur absolue. •z+¯z=2Re(z)etz¯z=2iIm(z). Preuve :z+¯z= (a+ib)+(aib) =2a=2Re(z). Démonstration.Pour la preuve on calculejz+z0j2: jz+z0j2=z+z0(z+z0) =z¯z+z0z 0+zz

0+z0¯z

=jzj2+jz0j2+2Re(z0¯z)

6jzj2+jz0j2+2jz0¯zj

6jzj2+jz0j2+2jzz0j

6(jzj+jz0j)2Exemple 1.

Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.

Si les longueurs des côtés sont notéesLet`et les longueurs des diagonales sontDetdalors il s"agit de montrer

l"égalité D

2+d2=2`2+2L2.

NOMBRES COMPLEXES2. RACINES CARRÉES,ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ5d DL L` 0zz

0z+z0jzjjzjjz0jjz0jjzz0jjz+z0jDémonstration.Cela devient simple si l"on considère que notre parallélogramme a pour sommets0,z,z0et le dernier

sommet est doncz+z0. La longueur du grand côté est icijzj, celle du petit côté estjz0j. La longueur de la grande

diagonale estjz+z0j. Enfin il faut se convaincre que la longueur de la petite diagonale estjzz0j. D

2+d2=z+z02+zz02=z+z0(z+z0)+zz0(zz0)

=z¯z+zz

0+z0¯z+z0z

0+z¯zzz

0z0¯z+z0z

0 =2z¯z+2z0z

0=2jzj2+2z02

=2`2+2L2Mini-exercices. 1.

Calculer 1 2i+i12i.

2. Écrire sous la forme a+ibles nombres complexes(1+i)2,(1+i)3,(1+i)4,(1+i)8. 3.

En déduire 1 +(1+i)+(1+i)2++(1+i)7.

4.

Soit z2Ctel quej1+izj=j1izj, montrer quez2R.

5. Montrer que si jRezj6jRez0jetjImzj6jImz0jalorsjzj6jz0j, mais que la réciproque est fausse. 6. Montrer que 1 =¯z=z=jzj2(pourz6=0).2. Racines carrées, équation du second degré

2.1. Racines carrées d"un nombre complexe

Pourz2C, uneracine carréeest un nombre complexe!tel que!2=z.

Par exemple six2R+, on connaît deux racines carrées :px,px. Autre exemple : les racines carrées de1sontiet

i.Proposition 3. Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées,!et!.

Attention! Contrairement au cas réel, il n"y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l"autre, donc

pas de fonction racine. On ne dira donc jamais " soit!la racine dez». Siz6=0 ces deux racines carrées sont distinctes. Siz=0 alors!=0 est une racine double. Pourz=a+ibnous allons calculer!et!en fonction deaetb. Démonstration.Nous écrivons!=x+iy, nous cherchonsx,ytels que!2=z.

2=z()(x+iy)2=a+ib

()x2y2=aen identifiant parties

2x y=bet parties imaginaires.

NOMBRES COMPLEXES2. RACINES CARRÉES,ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ6Petite astuce ici : nous rajoutons l"équationj!j2=jzj(qui se déduit bien sûr de!2=z) qui s"écrit aussix2+y2=pa

2+b2. Nous obtenons des systèmes équivalents aux précédents :

8 :x 2y2=a

2x y=b

x

2+y2=pa

2+b2()8

:2x2=pa

2+b2+a

2y2=pa

2+b2a

2x y=b()8

:x=1p2 ppa

2+b2+a

y=1p2 ppa 2+b2a

2x y=b

Discutons suivant le signe du réelb. Sib¾0,xetysont de même signe ou nuls (car 2x y=b>0) donc

!=1p2 qp a

2+b2+a+iqp

a

2+b2a‹

!=1p2 qp a

2+b2+aiqp

a

2+b2a‹

En particulier sib=0le résultat dépend du signe dea, sia¾0,pa

2=aet par conséquent!=pa, tandis que si

a<0,pa

2=aet donc!=ipa=ipjaj.Il n"est pas nécessaire d"apprendre ces formules mais il est indispensable de savoir refaire les calculs.

Exemple 2.

Les racines carrées de i sont+p2

2 (1+i)etp2 2 (1+i).

En effet :

2=i()(x+iy)2=i

()x2y2=0

2x y=1

Rajoutons la conditionsj!j2=jijpour obtenir le système équivalent au précédent :8 :x 2y2=0

2x y=1

x

2+y2=1()8

:2x2=1 2y2=1

2x y=1()8

:x=1p2 y=1p2

2x y=1

Les réelsxetysont donc de même signe, nous trouvons bien deux solutions : x+iy=1p2 +i1p2 oux+iy=1p2 i1p2

2.2. Équation du second degréProposition 4.

L"équation du second degréaz2+bz+c=0, oùa,b,c2Ceta6=0, possède deux solutionsz1,z22Céventuellement

confondues. Soit=b24ac le discriminant et2Cune racine carrée de. Alors les solutions sontz

1=b+2aet z2=b2a.

Et si=0alors la solutionz=z1=z2=b=2aest unique (elle est dite double). Si on s"autorisait à écrire=p,

on obtiendrait la même formule que celle que vous connaissez lorsquea,b,csont réels.

Exemple 3.

z2+z+1=0,=3,=ip3, les solutions sontz=1ip3 2 z2+z+1i4 =0,=i,=p2 2 (1+i), les solutions sontz=1p2 2 (1+i)2 =12 p2 4 (1+i).

On retrouve aussi le résultat bien connu pour le cas des équations à coefficients réels :Corollaire 1.

Si les coefficients a,b,c sont réels alors2Ret les solutions sont de trois types : si=0, la racine double est réelle et vautb2a, si>0, on a deux solutions réellesbp 2a, NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE7•

si<0, on a deux solutions complexes, mais non réelles,bip2a.Démonstration.On écrit la factorisation

az z 2+ba z+ca =a z+b2a‹ 2 b24a2+ca =a z+b2a‹ 2 4a2 =a z+b2a‹ 2 24a2
z+b2a‹ z+b2a‹ +2a‹ zb2a‹ =a(zz1)(zz2)

Donc le binôme s"annule si et seulement siz=z1ouz=z2.2.3. Théorème fondamental de l"algèbre

Théorème 1(d"Alembert-Gauss).SoitP(z) =anzn+an1zn1++a1z+a0un polynôme à coefficients complexes et de degrén. Alors l"équation

P(z) =0admet exactement n solutions complexes comptées avec leur multiplicité. En d"autres termes il existe des nombres complexes z

1,...,zn(dont certains sont éventuellement confondus) tels que

P(z) =an(zz1)(zz2)(zzn).Nous admettons ce théorème.

Mini-exercices.

1.

Calculer les racines carrées de i, 34i.

2. R ésoudreles équations : z2+z1=0, 2z2+(1010i)z+2410i=0. 3. R ésoudrel"équation z2+(ip2)zip2, puis l"équationZ4+(ip2)Z2ip2. 4. Montrer que si P(z) =z2+bz+cpossède pour racinesz1,z22Calorsz1+z2=betz1z2=c. 5. T rouverles paires de nombres dont la somme vaut i et le produit 1. 6.

Soit P(z) =anzn+an1zn1++a0avecai2Rpour touti. Montrer que sizest racine dePalors¯zaussi.3. Argument et trigonométrie

3.1. Argument

Siz=x+iyest de module1, alorsx2+y2=jzj2=1. Par conséquent le point(x,y)est sur le cercle unité du plan,

et son abscissexest notéecos, son ordonnéeyestsin, oùest (une mesure de) l"angle entre l"axe réel etz. Plus

généralement, siz6=0,z=jzjest de module 1, et cela amène à :Définition 2. Pour toutz2C=Cnf0g, un nombre2Rtel quez=jzj(cos+isin)est appelé unargumentdezet noté =arg(z). NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE8jzj01iz

RiRarg(z)Cet argument est défini modulo2. On peut imposer à cet argument d"être unique si on rajoute la condition

2],+].

Remarque.

0(mod 2)() 9k2Z,=0+2k()cos=cos0

sin=sin0Proposition 5. L"argument satisfait les propriétés suivantes : arg(zz0)arg(z)+arg(z0) (mod 2) arg(zn)narg(z) (mod 2) arg(1=z) arg(z) (mod 2) arg(¯z) argz(mod 2)Démonstration. zz

0=jzj(cos+isin)z0cos0+isin0

zz0coscos0sinsin0+icossin0+sincos0 zz0cos+0+isin+0

doncarg(zz0)arg(z)+arg(z0)(mod2). On en déduit les deux autres propriétés, dont la deuxième par récurrence.3.2. Formule de Moivre, notation exponentielle

Laformule de Moivreest :(cos+isin)n=cos(n)+isin(n)Démonstration.Par récurrence, on montre que (cos+isin)n= (cos+isin)n1(cos+isin) = (cos((n1))+isin((n1)))(cos+isin) = (cos((n1))cossin((n1))sin) +i(cos((n1))sin+sin((n1))cos) =cosn+isinnNous définissons lanotation exponentiellepare i=cos+isinet donc tout nombre complexe s"écrit z=ei

NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE9

où=jzjest le module et=arg(z)est un argument. Avec la notation exponentielle, on peut écrire pourz=eietz0=0ei0 8>>< >:zz

0=0eiei0=0ei(+0)

z n=ein=nein=nein

1=z=1=ei=1

ei z=ei La formule de Moivre se réduit à l"égalité :quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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