[PDF] Le theoreme de Reim aux Armées

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Brution au Prytanée national militaire de La Flèche Poussin à l"Ecole de l"air de Salon-de-Provence

LE THÉORÈME DE REIM

AUX ARMÉES...

Jean-Louis AYME

1 A B C D B" D"C" A" 0

Résumé. L"auteur présente six officiers de l"armée française de grade différent ayant

contribués au développement de la Géométrie du triangle. Abstract. The author presents six officers of the French army of different rank having contributed to the development of the Geometry of the Triangle.

Resumen. El autor presenta a seis oficiales del ejército francés de diversa fila después

de haber contribuido al desarrollo de la Geometría del Triángulo. Rang haben dazu beigetragen, die Entwicklung der Geometrie des Dreiecks.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 31/10/2017 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2 2

Sommaire

A. Rappels 3

1. Armée

2. Classe des officiers et grades

B. Des officiers passionnés par la Géométrie 4 I. Le lieutenant Urbain Victor Calabre 4

1. La conjecture de Calabre

2. Une courte biographie du lieutenant Calabre

3. Archive

4. Application : un triangle isocèle

II. Le capitaine Amédée Edme Morel 7

1. Le cercle de Morel

2. Une courte biographie du capitaine Morel

3. Archive

4. Application : le cercle de Malloizel

III. Le commandant Jean Joseph Auguste Mathieu 10

1. Le cercle de Mathieu

2. Une courte biographie du commandant Mathieu

3. Archive

4. Conséquence : Q est l"isogonal de P

IV. Le colonel Victor Mayer Amédée Mannhein 13

1. La droite de Mannheim

2. Une courte biographie du colonel Mannheim

3. Archive

V. Le général de brigade Jean Victor Poncelet 16

1. Le cercle des neuf points

2. Une courte biographie du général de brigade Poncelet

3. Archive

4. Conséquence : le point de Poncelet d"un quadrilatère

VI. Le général de division Lazare Nicolas Marguerite Carnot 20

1. La formule de Carnot

2. Une courte biographie du général de division Carnot

3. Conséquence : une généralisation de la formule de Carnot

3

3A. RAPPELS

1. Armée

Une armée est une organisation structurée d"hommes et de femmes armés visant à conquérir ou à défendre un

territoire, détruire ou protéger d"autres unités militaires ou des unités civiles.

Lorsqu"une armée est organisée par un État, elle est une institution et ses objectifs sont subordonnés aux objectifs

politiques de cet État ; on parle alors de l"armée, avec l"article défini.

2. Classe des officiers et grades

Officiers subalternes

Lieutenant de lieu et tenant, i.e. celui qui tient le lieu, la place d"un chef et qui commande en son

absence. Il est chef de section composée d"une trentaine d"hommes encadrés par un adjoint qui peut être * un aspirant, un adjudant et de * trois chefs de groupes : sergents ou sergents-chefs.

Capitaine du latin caput, capitis i.e. tête pour désigner le chef d"une compagnie d"une centaine

d"hommes.

Officiers supérieurs

Commandant commande un bataillon composée de plusieurs compagnies rassemblant plusieurs centaine d"hommes. Colonel de l"italien "colonnello", chef de colonne qui commande un régiment composée de plusieurs bataillons et rassemblant environ mille hommes. Il est "le père du régiment".

Officiers généraux

Général de brigade commande une brigade composée de plusieurs régiments et rassemblant une

dizaine de milliers d"hommes. Général de division commande une division capable d"opérations autonomes. Une division est composée de plusieurs brigades rassemblant jusqu"à trente mille hommes. Général de corps d"armée commande un corps d"armée constitué de plusieurs divisions. Général d"armée commande l"armée de État l"i.e. la plus grande unité militaire regroupant plusieurs corps d"armées. 4 4

B. DES OFFICIERS PASSIONNÉS

PAR

LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

I. LE LIEUTENANT D"ARTILLERIE

URBAIN VICTOR CALABRE

1. La conjecture de Calabre

VISION

Figure :

A B C A" B* C* A" A+ 0

Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC,

A+ le milieu de l"arc BC ne contenant pas A,

A" le milieu de [BC],

A" le pied de la A-hauteur de ABC,

et B*, C* les pieds des perpendiculaires abaissées de B, C sur (AA+).

Donné : A", A", B*, C* sont cocycliques

2. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l"auteur 3.

Ce résultat, cas particulier de celui d"Amédée Morel, a été utilisé par l"auteur pour

proposer une nouvelle preuve, purement synthétique, du théorème de Feuerbach 4.

2 Malloizel R., Journal de Mathématiques Élémentaires (1878) 91

3 Ayme J.-L., Symétriques de (OI) par rapport aux côtés des triangles de contact et médian, G.G.G. vol. 4, p. 7-8

Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 18-19

4 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1 ; http://perso.orange.fr/jl.ayme.

5

5Scolies : (1) ce cercle est "le A-cercle de Calabre de ABC".

(2) Le centre du A-cercle de Calabre est sur le cercle d"Euler de ABC 5 (3) Six nouveaux points sur le cercle d"Euler de ABC en considérant chacune des trois bissectrices intérieures de ABC, nous avons trois cercles de Calabre et trois centres sur le cercle d"Euler ; en considérant chacune des trois bissectrices extérieures, nous avons trois cercles de Calabre et trois centres sur le cercle d"Euler.

2. Une courte biographie du lieutenant Calabre

Urbain Victor Calabre est né le 20 juillet 1846 à Guérigny (Nièvre, France).

En 1866, Calabre est élève du collège Sainte-Barbe et intègre l"École Polytechnique en 1870.

Promu lieutenant d"artillerie, Calabre transmet sans démonstration sa conjecture concernant quatre points

cocycliques, au professeur de Sainte-Barbe, Raphaël Malloizel qui l"a publié en 1878 dans le Journal de

Mathématiques Élémentaire. La première démonstration complète a été donnée par John P. Taylor dans la

Nouvelle Correspondance 2 et un développement en a été donné par W. H. Levy dans Ladies" and gentlemen"s

diary de 1875.

3. Archive :

4. Application : un triangle isocèle

A B C D E Q I

5 Ayme J.-L., Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 29-30

6

6Traits : ABC un triangle,

I le centre de ABC,

D, E les pieds des perpendiculaires abaissées resp. de A et C sur (BI) et Q le milieu de [AC].

Donné : le triangle QED est Q-isocèle.

6 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l"auteur 7.

6 Atshiller-Court N., College Geometry, Barnes & Noble (1952) Exercise 2 p. 73.

7 Ayme J.-L., Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 22-24

7 7

II. LE CAPITAINE

AU CORPS ROYAL D"ARTILLERIE

AMEDEE EDME MOREL

1. Le cercle de Morel

VISION

Figure :

A B C D B" D"C" A" 0

Traits : 0 un cercle,

ABCD un quadrilatère inscrit dans 0,

et A", B", C", D" les pieds des perpendiculaires abaissées de A, B, C, D resp. sur (BD), (AC), (BD), (AC).

Donné : A", B", C", D" sont cocycliques

8. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l"auteur 9.

Énoncés traditionnels :

(1) les cercles qui ont pour diamètres les côtés d"un quadrilatère cyclique conduisent par leur intersection à un quadrilatère cyclique. (2) les quatre projections des sommets d"un quadrilatère cyclique sur les diagonales, conduisent à un quadrilatère cyclique. Scolie : ce cercle est "le cercle de Morel du quadrilatère cyclique ABCD".

8 Morel A. E., Réponse à la Question 908, Nouvelles Annales (1867) 317

9 Ayme J.-L., Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 11-13

8

8Note historique : c"est en répondant à la question 908 posée par Émile Lemoine

10 dans les Nouvelles

Annales de 1867 qu"Amédée Edme Morel cite le résultat précédent que l"on retrouve chez Eugène Catalan 11.

2. Une courte biographie du capitaine Morel

Amédée Edme Morel est né à Pontoise (Seine et Marne, France) le 20 août 1790.

Admis à l"Ecole polytechnique en 1809, il est nommé capitaine au corps royal d"artillerie le 9 décembre 1813.

Répétiteur puis, professeur à l"École préparatoire de Sainte-Barbe à Paris, Amédée Morel publie de nombreux

articles dans le Journal de Mathématiques Élémentaires et dans le Journal de Mathématiques Spéciales en 1883

(10, 33, 62, 97, 169), en 1889 (251) et en 1890.

Il se fait aussi connaître en proposant une solution d"une question d"Émile Lemoine publiée dans les Nouvelles

Annales de 1869 (47, question 908) concernant le point de concours des quatre droites de Simson d"un

quadrilatère cyclique. En 1878, il publie dans JME à la page 353, une étude sur les axes radicaux.

En 1879 et 1880, il traduit une étude du triangle de James Booth (?-1878) qui introduit en particulier le mot

""orthocentre"".

En 1883, dans JME (p. 70), Amédée Morel donne le nom de ""Brocard"" aux points et au cercle trouvés par le

commandant Henri Brocard. Il décède en 1839.

3. Archive

4. Application : le cercle de Malloizel

A

B C A"

I A" B" C" 0

10 Lemoine, Question 908, Nouvelles Annales (2) 8 (1867) 47

11 Catalan E., Théorème 13, Théorèmes et problèmes de Géométrie Elémentaire, Dunod (1879) 39

9

9 Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC,

I un point de l"arc BC ne contenant pas A,

A" le pied de la perpendiculaire abaissée de I sur [BC],

A" le pied de la hauteur de ABC en A,

B" le pied de la perpendiculaire abaissée de B sur (AI) et C" le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur (AI).

Donné : A", B", A" et C" sont cocycliques.

12 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l"auteur 13. Scolies : (1) ce cercle est "le A-cercle de Malloizel de ABC" ou encore "le A-cercle généralisé de Calabre de ABC". (2) Le centre de 1a est sur le cercle d"Euler de ABC 14. Une courte biographie de Raphël Hyppolyte Malloizel Raphaël Hippolyte Malloizel est né le 15 février 1847 à Paris (France). Il a été élève au Lycée Louis Le Grand et a été lauréat au concours

15 de la classe de Rhétorique (science) en

1863.

Ancien élève de l"École Polytechnique, nous savons qu"il a été professeur au collège Sainte-Barbe et de

mathématiques spéciales au collège Stanislas à Paris.

Il s"est marié le 23 novembre 1905 à Paris avec Thérèse Lachasseigne et n"a pas eu d"enfants.

Il décède en 1829.

12 Malloizel R., Journal de Mathématiques Élémentaires (1878) 91.

13 Ayme J.-L., Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 27-29

14 Ayme J.-L., Des six cercles de Miquel aux cercles de Calabre * Morel * Malloizel, G.G.G. vol. 9, p. 29-30

15 Problème proposé au concours général dans la classe de rhétorique (sciences, année 1863),

Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Sér. 2 (1853) 515-519 ;

1010

III. LE COMMANDANT D"ARTILLERIE

JEAN JOSEPH AUGUSTE MATHIEU

1. Le P-cercle de Mathieu

VISION

Figure :

A B C P Q A" C" B" A" B" C" M 1 Pa" Pc" Pb"

Traits : ABC un triangle,

P un point,

A", B", C" les pieds resp. des perpendiculaires issues de P resp. sur (BC), (CA), (AB),

1 le cercle passant par A", B", C",

A", B", C" les seconds points d"intersection de 1 resp. avec (BC), (CA), (AB)

et Pa", Pb", Pc" les perpendiculaires resp. à (BC), (CA), (AB) élevées resp. en A", B", C".

Donné : Pa", Pb" et Pc" sont concourantes.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l"auteur 16.

Scolies : (1) en notant Q ce point de concours, Q est "le point de Mathieu associé à P relativement à ABC" ;

en partant de Q, P est "le point de Mathieu associé est Q relativement à ABC". Par abus de langage, P et Q sont "les points de Mathieu" de la situation étudiée (2) 1 est "le cercle de Mathieu de P et Q" ou encore "le P-cercle de Mathieu" (3) M centre de 1 est le milieu de [PQ].

2. Une courte biographie du commandant Mathieu

Jean-Joseph Auguste Mathieu est né le 11 mars 1826.

Élève de l"École Polytechnique en 1844, puis d"Artillerie de Metz (France) en 1846, il est nommé sous-lieutenant

en second le 1-er octobre 1848, puis lieutenant en premier au troisième régiment d"Artillerie de Toulouse le 4

décembre 1851.

16 Ayme J.-L., Pedal-Cevian Lines go through the de Longchamps"s point, G.G.G. vol. 6, p. 34-37

1111

En 1865, sous-directeur de la fonderie de Toulouse, le commandant d"artillerie Jean-Joseph Auguste Mathieu

17,

publiait dans les Nouvelles Annales mathématiques, un nouveau mode de transformation baptisé "inversion

isogonale". Noyé pour ainsi dire dans son article, cette transformation initialisée "inconsciemment" par Christian

von Nagel en 1860, serait passée inaperçue sans les travaux remarquables d"Émile Lemoine et Maurice d"Ocagne

sur les symédianes, relayés par le dynamisme incontestable de Joseph Neuberg. C"est pour éviter toute confusion

avec le mode de transformation par "rayons vecteurs réciproques", connu encore sous le nom d"inversion, que

Neuberg a gommé le mot "inversion" pour n"en retenir que le qualificatif "isogonal".

Dans les Nouvelles Annales mathématiques de 1865, Mathieu introduit le terme de "polaire trilinéaire"

18 que

Gaston Gohierre de Longchamps nommera "polaire harmonique" dans Journal de Mathématiques Spéciales de

1886.

En 1879, le Lieutenant-colonel Mathieu prend la direction de l"École d"artillerie de Toulouse, puis est nommé

Contrôleur général de l"administration de l"Armée.

Il décède à Auteuil le 27 novembre 1897.

3. Archive

4. Conséquence : Q est l"isogonal de P

A B C P Q A" C" B" A" B"quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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