Relativité générale pour débutants PDF

Relativité générale pour débutants

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PretirageINLN2004/17

RELATIVITEGENERALEPOURDEBUTANTS

MichelLeBellac

Mai2004

INSTITUTNONLINEAIREDENICEUMR6638

1361routesdesLucioles06560Valbonne

e-mail:michel.lebellac@inln.cnrs.fr 2

Tabledesmatieres

1Introduction5

2Principed'equivalence9

3Espace-tempsplat19

4Cosmologie29

5Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle45

6Solutionsasymetriespherique59

4TABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introduction

1.1Brefhistorique

echiraunetheorierelativiste (r)=GM rU(r)=GMmr(1.1) ds2= 1rS r dt2 1rSr

1dr2r2d2+sin2d'2(1.2)

d'unemasseponctuelleM. parsiecle! 5

6CHAPITRE1.INTRODUCTION

exploitantl'eetMossbauer. revientparlagrandeporte!

2003:lesatelliteWMAPobserveles

cosmologie(modeleCDM,chapitre4).

1.2Planducours

Leplanducoursseralesuivant

1.Principed'equivalence

2.Espace-tempsplat

3.Cosmologie

4.Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle

5.Solutionsasymetriespherique

ici.

RosalindFranklin:::

1.3.QUELQUESREFERENCESGENERALES7

Lentillesgravitationnelles.

Astrophysiquerelativiste:pulsars.

Solutionsaxisymetriques(metriquedeKerr).

Gravitationquantique.

etc.

1.3Quelquesreferencesgenerales

stein,EDPSciences/CNRSEditions,Paris. larelativitegenerale).

8CHAPITRE1.INTRODUCTION

Chapitre2

Principed'equivalence

2.1Referentielsd'inertie

F0=q~Em~A=m~a0(2.1)

m~a0=~F0=2q~Em~A~F0~F=q~E(2.2)

F0=m~gm~A(2.3)

jj ~Fgjj=Gmgm0g r2(2.4) 9

10CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

m i+mgg=0(2.5) T A TB= mAimAgm

BgmBi!

1=2 (2.6) m

2.2Principed'equivalence

libreoulapommeestaurepos! doncenoncerleprinciped'equivalence enintegrantlacomposanteFydelaforce

2.2.PRINCIPED'EQUIVALENCE11

(b)A BAB (a)

Terre.

pb2+v2t2b' O py=Z +1 1 F ydtFy=GmM b2+v2t2cos'=GmMb(b2+v2t2)3=2 oubestleparametred'impact.Onobtientdonc py=GmMbZ +1 1dt (b2+v2t2)3=2=2GmMbv(2.7) soitpourl'anglededeviation2 =py mv=2GMbv2(2.8) cot

2=bv2GM

resultatquiconcideavec(2.8)pour1.

12CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

2.3Decalageverslerougegravitationnel

t1z=1

2gt2z=h+1

2g2z h Tt0 plafondz=h+gt2=2. h+1

2gt2n=12g(nT)2+c(tnnT)(2.9)

t n=nT+h c(1+"n)j"nj1 t n(nT)2=(tnnT)(tn+nT)'2h c nT+hc etenreportantdans(2.9)onobtient n=gnT c+ghc2T=tntn1T=hc("n"n1)=ghc2T avec T

T=ghc2(2.10)

2.3.DECALAGEVERSLEROUGEGRAVITATIONNEL13

!=ghc2(2.11) T

T=vc=ghc2

relationdePlanck-EinsteinE=~! E E=1E Ec2gh =!!=ghc2 S U (ct;x) (ctA;xA)(ctB;xB)ct x S AS B l'observateurUestcourbe. c(ttA)=xxA c(ttB)=x+xB randonnee!

14CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Lesystemeapoursolutionimmediate

ct=1

2[c(tA+tB)+(xBxA)]

x=1

2[c(tBtA)+(xB+xA)](2.12)

dumetre.

2.4Interpretationgeometrique

=t 1+ c2 (2.13)

BA=T=T

1+B c2 T 1+Ac2 =TBAc2=Tghc2 ds2=

1+2(~r)

c2 c 2dt2

12(~r)c2

d~r2(2.14) peutdonnerdeuxinterpretations. lagravite). detempstetletempspropreestdonc =t

1+2(~r)

c2 1=2 't

1+(~r)c2

(2.15)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS15

entrel'emissionetlareceptiond'unphoton s2=c2t2~r2=0 (2.14)etcomptetenudej=c2j1 dz dt'c 1+2c2 z 0=Z z 12(v) c2 dvdz0dz=12(z)c2 etdoncdz0 dt=dz0dzdzdt'c avons s AB=Z B A dt"

1+2(~r)

c2 c 2

12(~r)c2d~rdt

2#1=2 'cZ B A dt"

1+2(~r)

c2 1c2 d~rdt 2#1=2 'cZ B A dt" 11 c2 12 d~rdt 2 (~r)!# (2.16) sAB ~r(t)=0()d2~rdt2=~r(~r)

2.5Eetsdemareegravitationnels

16CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

M(x;z)

O RS xz gravitationnelled'unobjetdemassemest (x;z)=GmM [x2+(d+z)2]1=2 'GmM d

1zdx22d2+z2d2

(2.17)

Pourunemasseen(x;z),nousavons

F xF0x=Fx=GmMx d3(2.18) F zF0z=GmM2z d3(2.19) nousfaisonslesdeuxremarquessuivantes. precede d 2i dt2=ij@2@xi@xk~rk(2.20)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS17

unevaleurabsoluealaforcedegravitation. del'espace-temps. chapitresuivantalarelativiterestreinte.

Bibliographie.

leprincipedeMach).

18CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Chapitre3

Espace-tempsplat

pourdesexposespluscomplets. X ix iyi=xiyi

3.1Photons

mesurerenutilisantuniquementdesphotons. 19

20CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

O0 O N(O)P Obs ectionduphotonparlemiroir t=1

2(t2+t1)x=12(t2t1)(3.1)

cryptographieaclesecrete.

3.2.EFFETDOPPLER21

sontindependantesdupartenairequire echitlephoton. P tt+tt 0+t t 1t

2AliceBobAliceBob

Chiara

0t2+t12t

2t1 2

3.2EetDoppler

Silephotonestre

echiparlavoiture,apour coordonnees,avect1=tett2=K2tdans(3.1) temps 1

2(t2+t1)=12t(K2+1)

espace 1

2(t2t1)=12t(K21)

v=K21

K2+1(3.2)

ouencore K=r 1+v

1v(3.3)

22CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

Oradar

auto K 2t P Kt t rec=1

K!em=!emr

1+v(3.4)

3.3Metriquedel'espace-tempsplat

x =(x0;~x)ety=(y0;~y) xy=x0y0~x~y=x0y0xiyi(3.5) =diagonal(1;1;1;1) deWick.

3.3.METRIQUEDEL'ESPACE-TEMPSPLAT23

deMinkowski =diagonal(1;1;1;1)(3.6) etnousrecrivons(3.5) xy=xy=xyavecx=x ds2=(dx0)2d~x2=dt2d~x2=dxdx(3.7) (x0)2~x2=xx=0(3.8) x x=2=t2v2t2=t2(1v2)=t2 2 avec =(1v2)1=2,soitt= t

02=t2x2=2

particule:t0=.L'expressiont=

0=Kt=tr

1+v 1v x=ttx=vt soit t=t

1vx=vt1v

Nousobtenonsdonc

2=1 (1v)2(1v2)t2=1+v1v02

24CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

t t P O vtx enP:(t;x=vt)autempst. aupointPdetempspropre u()=dx()d(3.9) u temps(propre)innitesimald dx=ud maiscomme dx2=d2=(uu)d2 dx0 d=dtd= d~rd=dtdd~rdt= ~v soit u= (1;~v)(3.10) y ()=x(())w=dy d=u(())dd alors d2y d2=dwd=d2d2u(3.11) ambigute.

3.4.TENSEURENERGIE-IMPULSION25

Pt Alice Bob t x=vt tKt x=tt x =uavecu=(1;1;0;0) x =3u,etonveriequen'estpasunparametreane. u

AuB=u0Au0B~uA~uB=u0B=1

p1v2AB etdonc u AuB=1 p1v2AB(3.12) etuB.

3.4Tenseurenergie-impulsion

d'espace) p =mup0=E= m~p= m~v(3.13)

26CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

limiteenfonctiondev=c

E=mc2+p2

2m+~p=m~vp1(v=c)2=m~v+

nonrelativistehabituelle. desintegrentauboutd'untemps unedistance9 vcharges.Enresume, ,mais etunedensite decourant~|= j=u(3.14) @j=@0j0+~r~|=0(3.15) uidesgalileenne.

Lorsquen=(1;~0)

(jn)V=V=N

N=(jn)tyz=jxtyz=N

yzttyz

3.4.TENSEURENERGIE-IMPULSION27

etjx=N=(At)estbienle lescas

N=(jn)V(3.16)

relationcorrespondanta(3.16)estalors p=(Tn)V(3.17) tempsetlestroiscomposantesd'espace p0=E=T00V pi=Ti0V T =T00=(m )=mu0u0 i=Ti0=(m vi)( )=mu0ui carladensitedansRest= p=Txtyz=TxtA T x=p=(At)estle ux T ix=pi

At=pi=tA

Fi=TijnjA

des @T=0(3.18)

Uncasparticulierimportantestceluidu

dependrequedelavitessed'ensembleudu uideestaurepos,ondoitavoir Tquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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INSTITUTNONLINEAIREDENICEUMR6638

1361routesdesLucioles06560Valbonne

Tabledesmatieres

1Introduction5

2Principed'equivalence9

3Espace-tempsplat19

4Cosmologie29

5Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle45

6Solutionsasymetriespherique59

4TABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introduction

1.1Brefhistorique

1dr2r2d2+sin2d'2(1.2)

6CHAPITRE1.INTRODUCTION

2003:lesatelliteWMAPobserveles

1.2Planducours

Leplanducoursseralesuivant

1.Principed'equivalence

2.Espace-tempsplat

3.Cosmologie

4.Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle

5.Solutionsasymetriespherique

RosalindFranklin:::

1.3.QUELQUESREFERENCESGENERALES7

Lentillesgravitationnelles.

Astrophysiquerelativiste:pulsars.

Solutionsaxisymetriques(metriquedeKerr).

Gravitationquantique.

1.3Quelquesreferencesgenerales

8CHAPITRE1.INTRODUCTION

Chapitre2

Principed'equivalence

2.1Referentielsd'inertie

F0=q~Em~A=m~a0(2.1)

F0=m~gm~A(2.3)

10CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

BgmBi!

2.2Principed'equivalence

2.2.PRINCIPED'EQUIVALENCE11

Terre.

2=bv2GM

12CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

2.3Decalageverslerougegravitationnel

2gt2z=h+1

2gt2n=12g(nT)2+c(tnnT)(2.9)

T=ghc2(2.10)

2.3.DECALAGEVERSLEROUGEGRAVITATIONNEL13

T=vc=ghc2

14CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Lesystemeapoursolutionimmediate

2[c(tA+tB)+(xBxA)]

2[c(tBtA)+(xB+xA)](2.12)

2.4Interpretationgeometrique

BA=T=T

1+2(~r)

12(~r)c2

1+2(~r)

1+(~r)c2

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS15

1+2(~r)

12(~r)c2d~rdt

1+2(~r)

2.5Eetsdemareegravitationnels

16CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

M(x;z)

1zdx22d2+z2d2

Pourunemasseen(x;z),nousavons

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS17

Bibliographie.

18CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Chapitre3

Espace-tempsplat

3.1Photons

20CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT