[PDF] FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG

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FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG

ÉQUATION D'UNE DROITE ET SIGNE D'UNE EXPRESSION AFFINE Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points tels que xA≠xB. La droite (AB) a pour équation y=ax+b avec a=yB-yA xB-xA.

Pour déterminer b, on résout l'équation

yA=axA+b ou l'équation yB=axB+b.

Si a≠0, on a :

x- ∞ -b a + ∞ ax+bSigne de -a0Signe de a

TAUX D'ÉVOLUTION

•Calcul d'un taux : Une quantité évolue d'une valeur initiale y1 à une valeur finale y2.

Le taux d'évolution t de y1 à y2 est t=y2-y1 y1. •Appliquer un taux : Faire subir une évolution de taux t, c'est multiplier une quantité par le coefficient multiplicateur 1+t.

•Calcul du taux réciproque : Si une quantité subit une évolution de taux t≠-1,

l'évolution réciproque de taux t' vérifie t'=1

1+t-1.

•Calcul d'un indice : y1 et y2 sont deux valeurs d'une même grandeur. Définir l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à y1, c'est associer à y1 la valeur I1=100. Par proportionnalité, on a donc I2=100×y2 y1. •Calcul du taux global : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t1, t2, tn, alors le taux global T vérifie T=(1+t1)(1+t2)...(1+tn)-1.

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 1/6

POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

P(x)=ax2+bx+c (avec a≠0)

•Discriminant : Δ=b2-4ac •Forme canonique : P(x)=a(x+b 2a)2 4a •Coordonnées du sommet : S (-b

2a;-Δ

4a)0=00

Solutions de

l'équation ax2bxc=0 2a et x2=-b+ 2a x0=-b 2a (racine double)Pas de solution

Factorisation de

ax2bxca(x-x1)(x-x2) a(x-x0)2Pas de factorisation

Représentation

graphique quand a0

Représentation

graphique quand a0

Signe de

ax2+bx+c x- ∞ x1 x2 + ∞

P(x) sig sig sig

ne 0 ne 0 ne de de de a -a a (en notant x1 la plus petite racine) x- ∞ x0 + ∞

P(x) signe 0 signe

de a de a x- ∞ + ∞

P(x)signe de

aFORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 2/6

STATISTIQUES

Valeur du caractèrex1x2...xp

Effectifn1n2...np

•Effectif total : N=n1+n2+...+np •Fréquence de la valeur xi : fi=ni

N•Moyenne : ̄x=n1x1+n2x2+...+npxp

N ou ̄x=f1x1+f2x2+...+fpxp

Pour la médiane et les quartiles : On suppose que les valeurs de la série d'effectif N sont rangées

par ordre croissant (chacune d'elles étant répétée autant de fois que son effectif) : •Médiane : •Si N est impair, Me=xN+1

2 (c'est le terme de rang N+1

2) •Si N est pair, Me=xN 2+xN 2+1

2 (c'est la moyenne des termes de rang N

2 et N

2+1) •Premier quartile : Le premier quartile Q1 de la série est la valeur xi dont l'indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à N 4.

•Troisième quartile : Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur xi dont l'indice

i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3N 4. •Écart interquartile : Ei=Q3-Q1.

PROBABILITÉS

•P(Ω)=1 et P(∅)=0 •Pour tout évènement A, 0⩽P(A)⩽1 •Dans une situation d'équiprobabilité,

P(A)=nombre d'issues de A

nombre total d'issues de Ω•P(A)=1-P(A) •P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

A∪B=A∩B et A∩B=A∪B•Si

P(A)≠0, PA(B)=P(A∩B)

P(A)•Si

P(A)≠0, P(A∩B)=P(A)×PA(B)

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 3/6

SUITES NUMÉRIQUES

Suites arithmétiquesSuites géométriques

un+1 en fonction de unun+1=un+run+1=un×qTerme général à partir de u0un=u0+nrun=u0×qnTerme général à partir de u1un=u1+(n-1)run=u1×qn-1

Terme général à partir de

upun=up+(n-p)run=up×qn-pUtilisation de la calculatrice pour les sommes : calcul de u1+u2+...+u100 avec un=2n+3.

Texas InstrumentsCasio

" catalog » (" 2nde », puis " 0 »), appuyer sur " ln » : somme(suite(2X+3,X,1,100))"CALC » (" OPTN », " CALC » (F4), " ► » (F6)), " Σ( » (F3) :

Σ(2X+3,X,1,100)" CATALOG » (" SHIFT »,

puis " 4 », appuyer sur " x » (multiplier)) : ∑X=1 100
(2X+3)DÉRIVÉES •Dérivées usuelles

Dffx=Df'

f'x=ℝk (constante)ℝ0 ℝxℝ1 ℝx2ℝ2x ]-∞;0[∪]0;+∞[1 x]-∞;0[∪]0;+∞[-1 x2 ℝxn (avec n∈ℕ*)ℝnxn-1 •Opérations sur les dérivées f(x)=f'(x)= ku(x) (avec k constante)ku'(x) u(x)+v(x)u'(x)+v'(x)u(x) v(x) u'(x)v(x)-v'(x)u(x) [v(x)]2FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 4/6 LOI BINOMIALEX suit la loi binomiale de paramètres n (un entier naturel non nul) et p∈[0;1].

E(X)=np•V(X)=np(1-p)

p=0,6.

Texas InstrumentsCasio

Calcul de

P(X=7)" distrib » (" 2nde », puis

" var »), " binomFdp » : binomFdp(20,0.6,7)" DIST » (" OPTN », " STAT », " DIST »), " BINM » : binomialPD(7,20,0.6) Calcul de P(X⩽7)" distrib » (" 2nde », puis " var »), " binomFrép » : binomFrép(20,0.6,7)" DIST » (" OPTN », " STAT », " DIST »), " BINM » : binomialCD(7,20,0.6)

LOI NORMALE

X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ. •L'aire sous la courbe d'une loi normale a pour aire 1.

P(X⩾μ)=0,5 et P(X⩽μ)=0,5•

P(X⩾a)=1-P(XP(μ-2σ⩽X⩽μ-2σ)≈0,95Utilisation de la calculatrice : exemple avec μ=21 et σ=7.

Texas InstrumentsCasio

Calcul de

P(10⩽X⩽30)" distrib » (" 2nde », puis " var »), " normalFrép » : normalFrép(10,30,21,7)" DIST » (" OPTN », " STAT », " DIST ») : normCD(10,30,7,21)

Calcul de

P(X⩽40)" distrib » (" 2nde », puis

" var »), " normalFrép » : normalFrép(-10^99,40,21,7)" DIST » (" OPTN », " STAT », " DIST ») : normCD(-10^99,40,7,21)

Calcul de

P(X⩾25)" distrib » (" 2nde », puis

" var »), " normalFrép » : normalFrép(25,10^99,21,7)" DIST » (" OPTN », " STAT », " DIST ») : normCD(25,10^99,7,21)

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 5/6

ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION

ÉchantillonnageEstimation

On connait p, fréquence théorique d'un

caractère sur une population.

On a un échantillon de taille n.

L'intervalle

intervalle de fluctuation au seuil 95 % de la fréquence de ce caractère aléatoire de taille n issu de la population.

Conditions de validité :

n⩾30, np⩾5 et n(1-p)⩾5.On connait f, fréquence observée d'un caractère sur un échantillon de taille n d'une population.

L'intervalle

intervalle de confiance au seuil 95 % de la proportion p de ce caractère aléatoire de la population.

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - TLE STMG : 6/6

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