[PDF] Chapitre 9 Oscillateurs amortis

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre9

Oscillateursamortis

-It'sarealKo dakmom ent. -Sensorreadingsare startingtooscillate.

Farscape(saison3,episo de21,2002)Bibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre7

L'étudedessystèmeslinéaires d'ordre1bien qu'intéressantene représent equ'uneinfime partiedes problèmesquel'on peutétudier

ensciencesph ysiques.Dansce chapitrenousallonsnous atteler àl'ét udedesoscillateurharmoniqueamortisquicorresp ondentaux

systèmeslinéairesd'ordr e2.Nousenavonsdéjàvuentoutd ébutd'année:l'oscilla teurh armonique.Ic inousa llonsétudierde ssystèmes

ayantuncom portem ent"proche",lesoscillateursharmoni quesamortis,nousallonsr etrouverl amêmeéquationquepourl'oscillateur

harmoniqueavecuntermed' amortissementenpl us.

Lessystèmes linéairesd'ordres2 sontnom breux:circuitélectriques,amortisseurd'automobile.Cessyst èmesneson tpasuniquement

utiliséenréponseàunéc helon maiségalementenrégim edi tforcé, c'estcequinousintére sseraenfindec echapitre.

IÉtudequa litatived'unoscillateur

1.1Exemplesd'oscillateurs

1.1.1CircuitRLCséri e

R L C Applicationdelaloidemaillespuisd elarelatio nco urant/ tension dela résistanceetdu condensateur uL+uR+uC=L di dt +Ri+uC=0 ()LC d 2 uC dt 2 +RC duC dt +uC=0 d 2 uC dt 2 R L duC dt uC LC =0. d 2 uC dt 2 !0 Q duC dt 2 0 uC=0; avec!0= 1 p LC lapul sationpropreducircuit(cf.Ch apitre1)etQ= 1 R r L C lefa cteurdequalité.

Remarque:SiQ!+1onretrouv el'équationde l'oscillateurharmonique.Leparamètrecontrôlantl' amortis sementestlarésistance,

plusRestélevé plusl'amortisse mentestfort. Leb ilandepuissances'obtient enmult ipliantl'équat iondi ff

érentielleducircuitRLCpar l'int ensitéi.

Lebilan depuissances'écrit

d dt 1 2 Li 2 +Ri 2 d dt 1 2 Cu 2 C =0;

lepr emiertermecorresp ondàladérivée del'énergiemagnétiqueemmagasinéedanslab obine ,lesec ondàlapuissance dissipéepar

lar ésistanceetletroisièmeàladérivéed el'éner gieélec triqueemmagasinéepa rlec ond ensateur.

bBilandepuissa nce

Enrégimelibre l'énergiene peutaugmen tée,elle estsoitc onstantesoitdimin ueensedissipantpar larésistanc e.Ri

2 estlapuissance

dissipéeparlarésistanceainsicel acorresp ondàladériv éedel'énergiedissip éeetdoncladérivéede l'énergietotal e

dE dt =Ri 2 .Ceci permetderéécrire lebila nprécédenttelque dE dt d dt 1 2 Li 2 d dt 1 2 Cu 2 C ;(1)

lav ariationtemporelled'énergies'écritco mmelasommedespuissancesreç uesetcédéesparlesystème.

E= 1 2 Li 2 1 2 Cu 2 C bÉnergieducircuitRLCsé rie

Remarque:Contrairementàcequel'onpourraitcroire, iln 'estp astoujours possibled'as socieruneénergieàunepui ssance.

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1.1.2Oscillateurharmoniqueamortimé canique

ex l0 x O AppliquonslePFDausystèmemasse /resso rtamortip arunfr ottementdetype f=↵ vetdon tonnéglige lepo ids m a=

F()m¨x+↵˙x+kx=0

()¨x+ m

˙x+

k m x=0.

¨x+

!0 Q

˙x+!

2 0 x=0; aveclapuls ationp ropre!0= r k m etlefac teurde qualitéQ= 1 p km. bÉquationdifférentiellevérifiéeparunoscillateur mécaniqueamorti Onpeut écrireunbilandepuissanc eenmultipliant lePFD pa r˙x d dt 1 2 m˙x 2 +↵˙x 2 d dt 1 2 kx 2 =0;

lepr emiertermeétantla dérivéedel'énerg iecinétiquedelamasse, leseco ndtermelapuissance cédéepa r

leterm edefrottementet letroi sièmetermeladérivéedel'éne rgiep otenti ellestockéedansleressort.

bBilandepuissa nce Remarque:Demêm equepourlecircui tRLConpeut écrireE= 1 2 m˙x 2 1 2 kx 2

Déterminerl'équation di

ff érentiellesur✓régissantladynamiqued' unpendulesimpl e.

Miseenéquatio nd' unautreproblème

1.2Définitionsdel'os cillateurharmonique amorti

Onap pelleoscillateurharmoniqueenrégimelibretout systèmedontunegrandeurphysiquexvérifiel'équatio n

d 2 x dt 2 !0 Q dx dt 2 0 x=0. avec!0lapu lsationpropredusystèmeetQlefacte urdequalité. bOscillateurharmoniqueamorti Analysequalitativ e:exempledel'oscillateurmécanique

Dansle casdel'os cill ateur mécanique,initialementilauneénergiepotentielle nonnulleetuneénergiecinétiq uenulle.Durantl'évolution

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