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Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniquesTable des matières

1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces

1

1.1 Situation

1

1.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces

2

1.1.2 Connclusion

3

1.2 Signal périodique quelconque

4

1.3 Précisions

4

1.4 Mesurages

4

1.5 Rappels

4

1.5.1 Valeur moyenne

4

1.5.2 Valeur efficace

5

1.5.3 Repères et relations simplificatrices

5

1.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître

5

1.6 Signal rectangulaire ou carré

5

1.6.1 Valeur moyenne

6

1.6.2 Valeur efficace

6

1.7 Signal sinusoïdal

6

1.7.1 Valeur moyenne

7

1.7.2 Valeur efficace

7

1.8 Redressement monoalternance

8

1.8.1 Oscillogrammes

8

1.8.2 Valeur moyenne

8

1.8.3 Valeur efficace

8

1.9 Redressement bialternance

9

1.9.1 Oscillogrammes

9

1.9.2 Valeur moyenne

9

1.9.3 Valeur efficace

9

1.10 Redressement triphasé - Pont P3

9

1.10.1 Valeur moyenne

10

1.10.2 Valeur efficace

10

1.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées)

10

1.11.1 Méthode N°1

10

1.11.2 oscillogramme

11

1.11.3 Valeur moyenne

11

1.11.4 Méthode N°2

11

1.11.5 Oscillogramme

12

1.11.6 Conclusion

12

1.11.7 Valeur efficace

12

1.12 Redressement commandé: pont mixte

13

1.12.1 Valeur moyenne

13

1.13 Gradateur

13

1.13.1 Valeur moyenne

13

1.13.2 Valeur efficace

14 Marc Sanchezpage 1http://eleectrotechnique.f r

Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces

1.1 Situation

Les convertisseurs d"énergie électroniques sont descommutateurs statiquesqui permettent d"effectuer les opérations contenues dans la figure 1:

Figure 1: Convertisseurs d"énergie électroniquesLa tension électrique générée par ces convertisseurs possède des caractéristiques très variées

(forme, amplitude, fréquence, etc) dont le mesurage demande quelques connaissances techniques afin d"éviter des risques d"erreurs.Marc Sanchezpage 2http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs

d"énergie électroniques1.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces

Lorsqu"un courant variable (figure 2a) circule dans un circuit, sa valeur atteinte au cours d"un tempst1décrit une courbe, dont l"aire calculée sur unepériode T(2c) de l"onde représente sa valeur moyenneIC, égale à 5 A dans le cas de la figure 2.

Figure 2: (a)(b)(c)Valeur moyenneLorsqu"on effectue des mesurages de contrôles ou destinés au dimensionnement, la valeur à

prendre en considération n"est la valeur moyenne, mais la valeurR.M.Sdes signaux. La valeur

R.M.S d"un courant i(t)

2correspond à la quantité de courant continu I qui produirait le même

effet joule dans une charge résistive, sachant que l"effet thermique produit est proportionnel au

carré du courant moyen sur unepériode Tdu signal. Ce problème un peu difficile à décoder,

peut être résumé comme sur la figure3. Le signal traité est celui de la figure2a.

Figure 3: (a)(b)(c)Valeur efficace1.3(a) On élèv eau c arréI sur une période T :ici I2=100An"existe que de 0 à t1.

2.

3(b) On calcul ela v aleurmo yennedu courant obtenu: =50A

3.

3(c) On calcule la raci necarrée du courant obtenu: c"est le courant ef ficaceou R.M.S:

q=7A. La valeur efficace est notéeIouU(pour une tension), la précisionIef f est inutile car l"absence d"indice implique que l"on parle de la valeurR.M.S.

1.1.2 Connclusion

1. L "écartentre v aleurmo yenneet v aleuref ficacemet en évidence que ces grandeurs ne sont pas interchangeables:=5AouI=7A.Par conséquent, un dimensionnement effec- tué en utilisant une valeur moyenne entrainera un sous dimensionnement de l"installation ou de l"équipement, qui entrainera des échauffements, déclenchements de protection..etc. 2. L "erreurde mesurage est d"autant plus f acileà commettre que dans le cas étudié, la forme du signal unidirectionnelle, que l"on "classe" dans la catégorie des signaux de type "con- tinu" possède bien les deux valeurs calculées:1 valeur instantanée:u(t),i(t)sinusoïdale ou non sinusoïdale

2ou d"une tension u(t), pourvu que le signal soit périodiqueMarc Sanchezpage 3http://eleectrotechnique.f r

Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs

d"énergie électroniques•=5Amesuré si l"appareil qui effectue le mesurage est "commuté" en position

•I=7Amesuré si l"appareil qui effectue le mesurage est "commuté"en position3. 3. Les points traités précédemment montrent qu"il f autmanier l estermes de "continu" et "al- ternatif" avec beaucoup de prudence car ils ne correspondent pas à la véritable nature des courants qui circulent dans les installations électriques. Les expressions "valeur moyenne et efficace" "R.M.S ou T.R.M.S" doivent être les seuls termes utilisés lorsque l"on traite de grandeurs électriques, si l"on veut éviter toute confusion.

1.2 Signal périodique quelconque

Laforme variéeprise par les tensions et les courants complique le calcul de ces grandeurs

électriques qui nécessite souvent l"usage ducalcul intégral.Ces calculs revêtent un intérêt

tout particulier si on désire affiner ses connaissances dans le domaine du mesurage des grandeurs électriquesR.M.S,T.R.M.S,harmoniques...Etc.

1.3 Précisions

Les calculs effectués ci-dessous pour les tensions peuvent s"appliquer aussi aux courants.La valeur efficace se note U ou V sans indice mais apparait ici notéeUef fouVef fafin de simplifier la lecture du document.D"autre part,j"ai choisi d"exprimer les valeurs moyennes et

efficaces en fonction de la variableqpour alléger l"écriture des différentes expressions, car

exprimer ces expressions en fonction du tempstfait intervenir la pulsationw.

1.4 Mesurages

Chaque calcul donne lieu à un mesurage auscopmeterde chezFlukequi valide les valeurs trouvées à l"aide des relations.

1.5 Rappels

1.5.1 Valeur moyenne

La valeur moyenne d"une tension ou d"un courant se calcule sur une période en suivant les relations générales (1) ou (2) suivant la variable choisie :touq.

Figure 4: Signal sinusoïdal3

L"appareil utilisé pour étayer les exemples traités dans ce cours effectue le mesurage simultané de la valeur

efficace et de la valeur moyenneMarc Sanchezpage 4http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques=1T Z T

0v(t)dt(1)

=12pZ 2p

0v(q)dq(2)

1.5.2 Valeur efficace

Idem pour la valeur efficace qui s"exprimera à l"aide de (3) ou (4): U ef f=s1 T Z T

0v2(t)dt(3)

U ef f=s1 2pZ 2p

0v2(q)dq(4)

1.5.3 Repères et relations simplificatricesvaleur moyenne

Vvaleur maximale

VouV ef fvaleur r.m.s ou efficace fonction:f(x) =sin(x)primitive:F(x) =cos(x)fonction:f(x) =cos(x)primitive:F(x) =sin(x)sin

2(x) =1cos(2x)2•

cos

2(x) =1+cos(2x)2•

fonction:f(x) =cos(2x)primitive:F(x) =12 sin(2x)1.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître •cos p6cos p4cos p3cos p2cos

2p3cospsin

p6sin p4sin p3sin p2sin

2p3sinpvaleur exactep3

2p22120-0.5012p22p3

21p3
20 valeur approchée0,8060,7070,50-0.500.50.7070,80610,8060

1.6 Signal rectangulaire ou carré

Le calcul intégral est bien sur inutile comme nous venons de le voir dans le cas d"un signal rectangulaire, mais il constitue un test intéressant pour notre premier essai de calcul de valeur moyenne et de valeur efficace.Marc Sanchezpage 5http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniquesFigure 5: Signal rectangulaire

1.6.1 Valeur moyenne

Utilisons l"équation (1) pour calculer la valeur moyennede ce signal qui est égale à l"aire A1 de la figure 2: =1T R

T0v(t)dt=1T

R T2

0Edt+1T

R TT2

0dt=ET

(t)T2 0=ET (T2 ) =E2 =50V

Figure 6: Valeur moyenne1.6.2 Valeur efficace

Utilisons l"équation (3) pour rester homogène avec le calcul effectué précédemment:observons

la figure 3 qui nous rappelle graphiquement la marche à suivre pour calculer la valeur efficace d"une grandeur électrique.

Figure 7: Valeur efficaceU

ef f1=r1 T R

T0v2(t)dt=r1

T R T2

0E2(t)dt=rE

2T (T2

0) =rE

22
=70;7VMarc Sanchezpage 6http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.7 Signal sinusoïdal

Oscillogrammes des tensions v etv2

Figure 8: Valeur efficaceSi on observe la figure8, on remarque quev2est toujours positive avec pour conséquence de

modifier la période du signal : T = 10ms.Le calcul de la valeur efficace s"effectuera donc sur l"intervalle (0 -T2 ) ou (0 -p). Une autre conséquence de l"élévation au carré introduite par la méthode de calcul : la valeur r.m.s d"une grandeur électrique esttoujours positivequelle que soit la source d"alimentation.

1.7.1 Valeur moyenne

Nous allons utiliser l"équation (2) pour calculer la valeur recherchée: la tension est de la forme

v(q) =ˆVsin(q), elle est représentée en bleu sur la figure (4). Nous pouvons anticiper le résultat

car les 2 aires formées par les 2 alternances sont égales, par conséquent, la valeur moyenne

est nulle. =12pR

2p0v(q)dq=12pR

2p0ˆVsin(q)dq=12pR

p0ˆVsin(q)dq12pR

2ppˆVsin(q)dq=

0V

1.7.2 Valeur efficace

utilisons l"équation (4): U ef f2=r1 2pR

2p0v2(q)dq=r1

p R p0v2(q)dq=r1 p R p0(ˆVsin(q))2dq=r2V2p R p0sin2(q)dq=sˆ V2p R p01cos(2q)2 dq=sˆ V22pR p01cos(2q)dq=sˆ V22p qsin(2q)2 p 0 =sˆ

V22p(p) =ˆVp2

Voici l"origine dup2 tant utilisé. On comprend maintenant que cette valeur (FC : facteur

de crête pour les analyseurs) qui est un des indicateurs de déformation d"un signal sinusoïdal,

si elle s"écarte de 1,41 comme dans la figure (5).Marc Sanchezpage 7http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniquesFigure 9: Mesurage Fluke 434

1.8 Redressement monoalternance

1.8.1 Oscillogrammes

Figure 10: Redressement monoalternance1.8.2 Valeur moyenne la tension redressée est de la formev(q) =ˆVsin(q)avec une tension redressée nulle sur l"intervalle [p2p],par conséquent il vient: =12pR

2p0ˆVsin(q)dq=ˆV2p[cosq)]p04=ˆV2p[cosq]0p=ˆV2p(cos0cosp) =

V2p[1(1)] =ˆV2p

1.8.3 Valeur efficace

U ef f3=r1 2pR

2p0v2(q)dq=r1

2pR p0(ˆVsin(q))2dq=rˆ V22pR p0sin2(q)dq=sˆ V22pR p01cos(2q)2 dq=sˆ V24pR p01cos(2q)dq=sˆ V24p qsin(2q)2 p 0 =sˆ

V24p(p) =ˆV2

4

L"inversion des bornes d"intégration simplifie l"expression en supprimant le signe (-) devant lecosqMarc Sanchezpage 8http://eleectrotechnique.f r

Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.9 Redressement bialternance

1.9.1 Oscillogrammes

Figure 11: Redressement bialternance1.9.2 Valeur moyenne La période du signal estp, par conséquentvaut: =1p R p0ˆVsin(q)dq=ˆVp [cosq)]p05=ˆVp [cosq]0p=ˆVp (cos0cosp) = Vp [1(1)] =2ˆVp Le résultat confirme le principe: 2 alternances génèrent 2 fois plus de tension que précédemment.

1.9.3 Valeur efficace

U ef f4=r1 p R p0v2(q)dq=r1 p R p0(ˆVsin(q))2dq=rˆ V2p R p0sin2(q)dq=sˆ V2p R p01cos(2q)2 dq=sˆ V22pR p01cos(2q)dq=sˆ V22p qsin(2q)2 p 0 =sˆ

V22p(p) =ˆVp2

1.10 Redressement triphasé - Pont P3

Figure 12: Pont P35

L"inversion des bornes d"intégration simplifie l"expression en supprimant le signe (-) devant lecosqMarc Sanchezpage 9http://eleectrotechnique.f r

Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.10.1 Valeur moyenne =14p6 R 5p6 p6 v(q)dq=3ˆV2pR 5p6 p6 sin(q)dq=3ˆV2p[cosq]5p6 p6

6=3ˆV2p[cosq]p6

5p6 3

ˆV2p[cosp6

cos5p6 ] =3ˆV2p[p3 2 (p3 2 )] =3p3

ˆV2p

1.10.2 Valeur efficace

U ef f5=r3 2pR 5p6 p6 (ˆVsin(q))2dq=s3

ˆV22pR

5p6 p6 sin2(q)dq=s3quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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