[PDF] [PDF] 1 Fonctions périodiques - Licence de mathématiques Lyon 1

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L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier1Les series de Fourier constituent un outil fondamental d'approximation des fonctions periodiques,

qu'il faut commencer par bien comprendre.

1 Fonctions periodiques

Denition 1On appelleperioded'une fonctionf:R!Ctout nombre reelTtel que

8t2R; f(t+T) =f(t):

On dit quefestperiodiquesi elle admet une periode non nulle, et plus precisement qu'elle estT- periodiquesiTest une periode strictement positive. Exercice 1Verier que l'ensemble des periodes d'une fonctionf:R!Cest unsous-groupedeR. Si de plus estfest continue et non constante, montrer que l'ensemble de ses periodes est de la forme

TZavecT2R+.

Une fonctionT-periodique est entierement determinee par sa restriction a un intervalle semi-ouvert de longueurT, ce que l'on peut exprimer un termes algebriques comme suit.

Proposition 1L'ensemble

F

T:=ff:R!C;8t2R; f(t+T) =f(t)g

des fonctionsT-periodiques est unespace vectoriel, de m^eme que, quel que soita2R, l'ensemble F([a;a+T[)des fonctionsg: [a;a+T[!C, et l'application F

T!F([a;a+T[)

f7!fj[a;a+T[ est unisomorphismed'espaces vectoriels. En pratique, nous allons considerer des fonctions periodiques de classeCkpar morceaux. Denition 2Une fonctionf:R!Cperiodique de periodeTest ditede classeCkpar morceaux, pour un entier naturelk, si sarestrictionfj[0;T]est de classeCkpar morceaux,c'est-a-dires'il existe unesubdivision( a0;:::;an)de[0;T]telle que la restriction defa chacun des intervalles ouverts ]aj;aj+1[(pourj2 f0;:::;n1g) admette unprolongementde classeCk. On rappelle qu'une fonction est dite de classeC0(par morceaux) si elle estcontinue(par mor- ceaux). Dans la suite, on notera CkTl'espace vectoriel des fonctionsT-periodiques de classeCk, Ckmcx;Tl'espace vectoriel des fonctionsT-periodiques de classeCkpar morceaux. Proposition 2Sigest de classeCkpar morceaux sur un segment[a;a+T], il existe une unique fonctionfqui soitT-periodique, de classeCkpar morceaux et concidant avecgsur[a;a+T[.

L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier2Demonstration.Pourx=a+nTavecn2Z, on a necessairementf(x) =f(a) =g(a). Pour

x2Rn(a+TZ), il existe un unique entiern2Ztel que a+nT < x < a+ (n+ 1)T ; et on a necessairementf(x) =f(xnT) =g(xnT). La fonction ainsi obtenue est par construction T-periodique, et de classeCkpar morceaux commeg(pour qu'une fonctionT-periodique soit de classeCkpar morceaux il sut que sa restriction a un segment de longueurTsoit de classeCkpar morceaux). Attention, sigest de classeCk,freste seulement de classeCkpar morceaux en general. Proposition 3Toute fonction periodique continue par morceaux est bornee. Demonstration.Pour montrer qu'une fonctionT-periodique est bornee, il sut de montrer qu'elle bornee sur [0;T]. Sifest continue par morceaux sur [0;T], si (a0;:::;an) est une subdivision adaptee af, la restriction defa chaque intervalle ]aj;aj+1[,j2 f0;n1g, admet un prolongement continu efjau segment [aj;aj+1]. Donc jf(x)j max

8x2[0;T]:

Proposition 4Toute fonction periodique continue estuniformement continue. Demonstration.Soitfune fonctionT-periodique. Alors sa restriction au segment [T=2;3T=2] est continue donc uniformement continue. Soit" >0. Il existe >0 tel que, pourt;s2[T=2;3T=2], jtsj ) jf(t)f(s)j ": Soientx,y2Rtels quejxyj T=2. Il existe un unique entiern2Ztel quexnT2[0;T[. Alors ynT2[T=2;3T=2]. Si de plusjxyj alors jf(x)f(y)j=jf(xnT)f(ynT)j " puisquej(xnT)(ynT)j=jxyj etxnT,ynT2[T=2;3T=2]. Ceci demontre quef est uniformement continue surR. Proposition 5Soitf:R!C,T-periodique et continue par morceaux. Alors pour tout reelaon a Z a+T a f(t)dt=Z T 0 f(t)dt:

Demonstration.Par larelation de Chasles,

Z a+T a f(t)dt=Z 0 a f(t)dt+Z T 0 f(t)dt+Z a+T T f(t)dt: L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier3La derniere integrale vaut Z a+T T f(t)dt=Z a 0 f(sT)ds=Z a 0 f(s)ds

parchangement de variables(translation) et periodicite def, c'est-a-dire l'oppose de la premiere.Etant donnees deux fonctionsfetg:R!CT-periodiques et continue par morceaux, on note

hfjgi:=1T Z T

0f(t)g(t)dt:

Proposition 6L'application

C kmcx;TCkmcx;T!C (f;g)7! hfjgi estsesquilineaire1hermitienne positivesurCkmcx;T.

Pour toutf2Ckmcx;T, on note

kfk2:=phfjfi: Proposition 7Sif2C0mcx;Test telle quekfk2= 0alorsfest nulle sauf peut-^etre sur un ensemble de points dont l'intersection avec[0;T]est nie. Sif2C0Test telle quekfk2= 0alorsfest nulle.

L'espaceC0Testprehilbertien.

Proposition 8Quelles que soientfetg2Ckmcx;T, on a

Inegalite triangulaire:kf+gk2 kfk2+kgk2,

Inegalite de Cauchy{Schwarz:jhfjgij kfk2kgk2.

Desormais on choisitT= 2, par commodite. Quel que soitn2Zon note E n:t7!eint; et pourn2Non note C n:t7!cos(nt); Sn:t7!sin(nt): De facon coherente,C0designera la fonction constante egale a 1. Proposition 9La famille de fonctionsfEn;n2Zgestorthonormeedans l'espace prehilbertienC02. La famillefCn;n2Ng [ fSn;n2NgestorthogonaledansC02et kC0k2= 1;kCnk2=p2 2

8n2N;kSnk2=p2

2 8n2N: Denition 3On appellepolyn^ome trigonometrique2toutecombinaison lineaire(nie) de la famille fEn;n2Zg.1. c'est-a-dire lineaire a droite, semi-lineaire a gauche

2. On devrait dire

fonction polyn^ome trigonometrique.

L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier4Proposition 10SoitPun polyn^ome trigonometrique. Alors il existep2Ntel que

P=pX n=pc nEn; cn:=hEnjPi; ce qui equivaut a P=a02 +pX n=1(anCn+bnSn); an:=cn+cn= 2hCnjPi; bn:=i(cncn) = 2hSnjPi:

On a de plus

kPk22=pX n=pjcnj2=ja0j24 +12 p X n=1(janj2+jbnj2):

2 Series trigonometriques

Denition 4On appelleserie trigonometriquetouteserie de fonctions unouunest combinaison lineaire deEnetEnquel que soitn2N.

Proposition 11Les sommes partielles d'une serie trigonometrique sont des polyn^omes trigonometriques.

On notera souvent les series trigonometriques comme desseries bilateresPcnEn, ou il est entendu que l'indicenparcourtZ: de m^eme qu'une serieordinaire, une serie bilaterePzns'identie a lasuitede sessommes partielles(n)n2N, denies par n=nX `=nz

et on dit qu'une serie bilatere converge si la suite de ses sommes partielles converge, auquel cas on

note+1X n=1z n= limn!+1 nX `=nz Proposition 12Une serie trigonometriquePcnEnestnormalement convergentesi et seulement si la serie numeriqueP(jcnj+jcnj)converge, ou de facon equivalente, la serie numeriqueP n1(janj+jbnj) denie par a n:=cn+cn; bn:=i(cncn) converge.

Demonstration.Par convergence normale dePcnEnon entend que la serie bilatere numeriquePkcnEnk1=Pjcnjconverge. Si c'est le cas, alors la suite des sommes partielles de la serieP(jcnj+

jcnj) est majoree parP+1 n=1jcnjdoncP(jcnj+jcnj), serie a termes positifs, converge. Reciproquement, la convergence de la serieP(jcnj+jcnj) implique que la suite (Pn `=njc`j)n2Nest majoree et

comme elle est croissante, cette suite converge. Pour montrer l'equivalence entre la convergence deP(jcnj+jcnj) et celle deP

n1(janj+jbnj), on utilise les relations a n=cn+cn; bn=i(cncn); cn=anibn2 ; cn=an+ibn2 L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier5pour obtenir a l'aide de l'inegalite triangulaire: jcnj+jcnj janj+jbnj 2(jcnj+jcnj):

3 Coecients de Fourier

Denition 5

Etant donnee une fonctionf:R!C,2-periodique et continue par morceaux, on denit sescoecients de Fourierexponentiels par c n(f) :=hEnjfi=12Z f(t)eintdt; n2Z; et ses coecients de Fourier trigonometriques par a n(f) := 2hCnjfi=1 Z f(t)cos(nt)dt; n2N; b n(f) := 2hSnjfi=1 Z f(t)sin(nt)dt; n2N: Noter queb0(f) = 0 : il est deni par commodite an d'avoir les relations a n(f) =cn(f)+cn(f); bn(f) =i(cn(f)cn(f)); cn(f) =an(f)ibn(f)2 ; cn(f) =an(f) +ibn(f)2 quel que soitn2N.

Remarque 1

Sifest a valeursreelles, ses coecients trigonometriquesan(f)etbn(f)sonttous reels. Sifestpaire, ses coecients trigonometriquesbn(f)sonttous nuls. Sifestimpaire, ses coecients trigonometriquesan(f)sonttous nuls. On peut decliner quelques proprietes algebriques des coecients de Fourier. Proposition 13Soitf:R!C,2-periodique et continue par morceaux. On notefla fonction conjuguee,f:t7!f(t)la fonction symetrique et poura2R,fa:t7!f(t+a)la fonction translatee Alors c n(f) =c n(f); cn(f) =cn(f); cn(fa) = einacn(f): Proposition 14Soitf:R!C,2-periodique et continue par morceaux. Ses coecients de Fourier verient jcn(f)j kfk1 kfk2 kfk1: L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier6Denition 6 Etant donnee une fonctionf:R!C,2-periodique et continue par morceaux, on denit saserie de Fouriercomme la serie trigonometriquePcn(f)En, qu'on ecrit souvent3 X c n(f)eint;ou encorea0(f)2 +X n1(an(f)cos(nt) +bn(f) sin(nt)): Pour toute fonctionf:R!C, 2-periodique et continue par morceaux, on noteraSp(f) les sommes partielles de sa serie de Fourier pourp2N(ne pas confondreSndansSn(f) avec la notation S npour sin(nt), que l'on n'utilisera plus desormais) : S p(f) :t7!pX n=pc n(f)eint=a0(f)2 +pX n=1(an(f)cos(nt) +bn(f) sin(nt)) Proposition 15Soitf:R!C,2-periodique et continue par morceaux etSp(f)les sommes par- tielles de sa serie de Fourier. Alors pour toutp2N,fSp(f)est orthogonal ausous-espace vectoriel engendrepar(En)jnjp. Autrement dit,Spest laprojection orthogonalesurVect(En)jnjp. Demonstration.Par denition deSp(f) et par linearite dehjipar rapport a sa deuxieme variable, hEm;fSp(f)i=hEm;fi X jnjphEn;fihEm;Eni= 0 puisque la famille (En)n2Zest orthonormee. Corollaire 1 (Inegalite de Bessel)Soitf:R!C,2-periodique et continue par morceaux et S p(f)les sommes partielles de sa serie de Fourier. Alors pour toutp2N, kSp(f)k2 kfk2:

En outre, la serie bilatere

Pjcn(f)j2et la serieP(jan(f)j2+jbn(f)j2)convergent et l'on a +1X n=1jcn(f)j2=ja0(f)j24 +12 +1X n=1(jan(f)j2+jbn(f)j2) kfk22:

Demonstration.Puisque

f=fSp(f) +Sp(f); fSp(f)?Sp(f); on a kfk22=kfSp(f)k2+kSp(f)k2: (En vertu dutheoreme de Pythagoredans l'espaceCkmcx;Tmuni dehji!) La deuxieme assertion provient du fait qu'une serie a termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majoree. Noter que l'inegalitejcn(f)j kfk2de la Proposition 14 est une consequence de l'inegalite de Bessel, cette derniere etant plus precise.3. avec le m^eme abus que pour les series entieres, sans eche bien que ce soit une serie de fonctions et non une serie numerique

L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier7Corollaire 2Les coecients de Fourier d'une fonctionf:R!C,2-periodique et continue par

morceaux tendent vers zero a l'inni,c'est-a-direque lim jnj!+1cn(f) = 0;limn!+1an(f) = 0;limn!+1bn(f) = 0: Demonstration.Ceci vient du corollaire precedent et du fait que le terme general d'une serie convergente tend vers zero. Corollaire 3 (Lemme de Riemann-Lebesgue)Sifest une fonction continue par morceaux sur le segment[a;b]alors on a lim n!+1Z b a f(t)eintdt= 0:

Noter que ce passage a la limite sous le signe

Rne se deduit pas des theoremes

classiquescar la suite de fonctions (En)n2Nne converge m^eme pas simplement. Pour le demontrer, on remarque que

gr^ace a la relation de Chasles, il sut de le montrer poura < b < a+2, et si c'est le cas on applique

le corollaire 2 a la fonction 2-periodique concidant avecfsur [a;b] et nulle sur ]b;a+ 2[. Plusfest reguliere, plus ses coecients de Fourier tendent rapidement vers zero, c'est l'objet du resultat suivant. Proposition 16Sif:R!Cest2-periodique et de classeCk(pourk2N) alors ses coecients de Fourier verient c n(f) =o(1=jnjk);jnj !+1: Demonstration.Par integration par parties successives, on montre que c n(f(k)) = (in)kcn(f) et commecn(f(k)) tend vers zero lorsquejnj !+1, on en deduit quecn(f) =o(1=jnjk).

Theoreme 1Si une serie trigonometriqueP

nEnconverge uniformement surRalors sa sommef est continue,2-periodique, et ses coecients de Fourier sont precisementcn(f) = n.

Demonstration.La sommef=P+1

n=1 nEnest continue comme limite uniforme d'une suite (celle des sommes partielles) de fonctions continues. Elle est 2-periodique comme limite d'une suite de fonction 2-periodiques. De plus ses coecients de Fourier sont denis par c n(f) =12Z +1X m=1 meimteintdt et comme la serie P nEnconverge uniformement, on peut intervertirRetP, ce qui donne c n(f) =+1X m=112Z mei(mn)tdt= n: L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier84 Convergences des series de Fourier

4.1 Convergence simple

Theoreme 2 (Dirichlet)Soitf:R!Cune fonction2-periodique, continue par morceaux. On suppose en outre que t7!f(t)f(t0)tt0ett7!f(t)f(t+0)tt0 ont une limite respectivement quandt%t0et quandt&t0, ouf(t0)designe la limite a gauche def ent0etf(t+0)sa limite a droite. Alors la serie de Fourier defconverge ent0et +1X n=1c n(f)eint0=f(t0) +f(t+0)2

Attention, si les valeurs des limites

lim t%t0f(t)f(t0)tt0et limt&t0f(t)f(t+0)tt0

n'apparaissent pas dans la conclusion, l'existence de ces limites est cruciale dans la demonstration. Ces

limites existent par exemple pour toutes les fonctions declasseC1par morceaux, auquel ce theoreme s'applique donc. (Il est faux pour les fonctions seulementcontinues par morceaux en general.)

La demonstration repose sur les proprietes du

noyau de Dirichletdonnees ci-dessous et sur le lemme de Riemann{Lebesgue.

Proposition 17Soitp2NetDp:=Pp

n=pEn. Le polyn^ome trigonometriqueDpest a valeurs reelles, pair, et verie :12Z D p= 1;

8t2Rnf2Zg; Dp(t) =sin(p+12

)tsin t2

8t22Z; Dp(t) = 2p+ 1:

Demonstration.[Theoreme de Dirichlet] On commence par observer que, par denition deDp, puis gr^ace a sa parite et au fait qu'il soit de moyenne 1, S p(f)(t0)f(t0) +f(t+0)2 =12Z 0 (f(t0+)f(t+0))Dp()d+12Z 0 (f(t0)f(t0))Dp()d: Il s'agit de montrer que les deux integrales ci-dessus tendent vers zero lorsquep!+1. Nous allons

traiter la premiere, la demonstration etant analogue pour la seconde. La diculte provient du fait que

la suite de fonctions (Dp)p2Nne converge pas uniformement ni m^eme simplement sur [0;]. D'apres l'expression explicite deDp, on a Z 0 (f(t0+)f(t+0))Dp()d=Z 0 g() sin(p+12 )d; L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier9ougest la fonction continue par morceaux denie par g() =f(t0+)f(t+0)sin 2 ;si2[;]nf0g; g(0) = 2 lim&0f(t0+)f(t+0) Comme sin(p+12 )= sin(p) cos2 + cos(p) sin2 on obtient donc gr^ace au lemme de Riemann{Lebesgue que lim p!+1Z 0 g() sin(p+12 )d= 0:

4.2 Convergence normale

Theoreme 3Soitf:R!Cune fonction2-periodique, de classeC1par morceaux. On suppose en outre qu'elle est continue. Alors la serie de Fourier defconverge normalement et sa somme estf. Demonstration.Le fait quefsoit classeC1par morceauxetcontinue implique que (la serie bilatere numerique)Pcn(f) converge absolument. En eet, si (a0;:::;ap) est une subdivision de [0;2] adaptee af, on a c n(f) =12p1X j=0Z aj+1 a je fj(t)eintdt; avec efjde classeC1sur [aj;aj+1], sachant quefetefjconcident sur ]aj;aj+1[. Commefest continue, on a de plus efj(aj+1) =efj+1(aj+1) =f(aj+1). Ainsi, en integrant par parties chaque integrale, on obtient c n(f) =12inp1X j=0Z aj+1 a je f0j(t)eintdt+12inp1X j=0[efj(t)eint]aj+1aj=cn(g)in ougest la fonction 2-periodique continue par morceaux denie par g(x) =ef0j(x) six2[aj;aj+1[:

La somme des

termes de bordest nulle car p1X j=0[efj(t)eint]aj+1aj=p1X j=0(efj(aj+1)einaj+1efj(aj)einaj) = e fp1(ap)einapef0(a0)eina0+p2X j=1(efj(aj+1)efj+1(aj+1))einaj+1=f(2)e2inf(0) = 0:

Par suite,

jcn(f)j jcn(g)jjnj jcn(g)j2+14jnj2; L2 - cursus prepa(26 mars 2014)Series de Fourier10donc la serie Pjcn(f)jconverge comme somme de deux series convergentes. Enn, d'apres le theoreme de Dirichlet et puisquefest continue, on a pour toutt2R, +1X n=1c n(f)eint=f(t): Attention, la continuite defest cruciale dans ce theoreme.

4.3 Convergence en moyenne quadratique

Theoreme 4 (Parseval)Soitf:R!Cune fonction2-periodique, continue par morceaux. Alors la suite des sommes partielles(Sp(f))p2Nde la serie de Fourier defest telle que lim p!+1kSp(f)fk2= 0; et lim p!+1kSp(f)k22=+1X n=1jcn(f)j2=ja0(f)j24 +12 +1X n=1(jan(f)j2+jbn(f)j2) =kfk22: La demonstration repose sur le resultat d'approximation suivant. Theoreme 5Soitf:R!Cune fonction2-periodique, continue par morceaux. Quel que soit" >0, il existe un polyn^ome trigonometriquePtel que kfPk2":

Demonstration.On procede en trois etapes.

1)Etant donne" >0, il existe une fonctiong:R!C, continue 2-periodique etane par

morceauxtelle que kfgk2": (Attention, ce serait faux avec la norme1!) Pour la construire, on commence parapprocherfpar une fonction'en escalieret 2-periodique : gr^ace a la continuite uniforme de toute fonction continue sur un segment, on peut en eet trouver une fonction en escalier 2-periodique telle que kf'k1"2 (Ici,kfk1signie maxfjf(t)j;t6=ak; k= 0;:::;ngsi (ak)0knest une subdivision adaptee af.)

Puis on

regularise'en posant, si (a0;:::;an) est une subdivision adaptee a'et si >0 estquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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