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Table des matières

I Fonction polynôme1

I.1 Fonction polynôme de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1

I.3 Racine d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

I.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3 I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4 I.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

II Second degré5

II.1 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

II.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

II.3 Solutions de l"équation et factorisation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7

II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

I Fonction polynôme

I.1 Fonction polynôme de degrén

Définition 1

On appelle fonction polynôme de degrén

toute fonctionPdéfinie surRde la forme :

P(x) =a

pxpun le monômede degrép

Exemple 1

ÔLa fonctionPdéfinie parP(x) = 7x6-5x4+ 3x-11est une fonction polynôme de degré6 ÔLa fonction affineax+baveca?= 0est une fonction polynôme de degré1 ÔLa fonction constantekaveck?= 0est une fonction polynôme de degré0

ÔLa fonctionQdéfinie par :Q(x) =x3+x+1

xn"est pas une fonction polynôme http://nathalie.daval.free.fr-1-

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Propriété 1

SoientPetQdes fonctions polynômes non nulles, alors :

©deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)

Remarque 1

L"inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s"annuler

I.2 Egalité de deux polynômes

Théorème 1

SoientPetQdeux fonctions polynômes,P=Qsignifie que :

ãdeg(P) =deg(Q)

ãles coefficients des termes de même degré dePetQsont égaux Cas particulier :P= 0est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls

Exemple 2

ÔLes deux polynômesQ(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)etP(x) =x4+ 1sont égaux :

Q(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)

=x4-⎷

2x3+x2+⎷2x3-2x2+⎷2x+x2-⎷2x+ 1

=x4+ 1

Q(x) =P(x)

ÔLes polynômesP(x) = 2x2-3x+ 4etR(x) =ax2+bx+csont égaux poura= 2b=-3c= 4

I.3 Racine d"un polynôme

Définition 2

On appelle racine

d"une fonction polynômePtoute solutionx0de l"équationP(x) = 0

Exemple 3

ÔLes racines de la fonction polynômePdéfinie surRpar :P(x) = (x-1)(x+ 3)(x-2)sont-3,1et2 ÔLes fonctions polynômes du1erdegréax+badmettent toutes une seule racinex0=-b a

ÔCertaines fonctions polynômes n"ont aucune racine réelle.Par exemplex2+ 1qui est strictement positif

Remarque 2

Une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant http://nathalie.daval.free.fr-2-

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Théorème 2

Une fonction polynômePde degrénà coefficients réels possède au plusnracines réelles

I.4 Factorisation

Théorème 3

Si une fonction polynômePà coefficients réels de degréna une racine réellex

0alors on peut

factoriserP(x)par(x-x

0)et on obtient

P(x) = (x-x

0)Q(x)ouQest une fonction polynôme de degré(n-1)

Remarque 3

On peut essayer de remplacer la variablexpar1,-1,0...et si la valeur du polynôme est0, on dit qu"on a trouvé une " racine évidente » I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients On considère le polynômefdéfini par :f(x) = 3x

4-x3+x2+ 11x+ 6

Une solution évidente estx

0=-1 donc, il existe un polynômegde degré4-1 = 3tel que pour tout réelx: f(x) = (x+ 1)g(x) = (x+ 1)(ax

3+bx2+cx+d)

=ax

4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d

=ax

4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+d

Les polynômes3x

4-x3+x2+ 11x+ 6etax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+dsont égaux, leurs

coefficients le sont aussi : ?a= 3 b+a=-1 c+b= 1 d+c= 11 d= 6donc :???????a= 3 b=-4 c= 5 d= 6

Conclusion :f(x) = (x+ 1)(3x

3-4x2+ 5x+ 6)

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I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne

On considère le polynômefdéfini par :f(x) =X

4-7X3+ 17X2-17X+ 6

Une solution évidente estX

0= 1donc,f(X)est divisible par(X-1)

On effectue la division euclidienne def(X)par(X-1)en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres X

4-7X3+ 17X2-17X+ 6X-1

X4-X3X3-6X2+ 11X-6

-6X3+ 17X2-17X+ 6 -6X3+ 6X2 + 11X2-17X+ 6 + 11X2-11X -6X+ 6 -6X+ 6 0

Conclusion :f(X) = (X-1)(3X3-4X2 + 5X+ 6)

I.4.3 Exemple

On souhaite factoriserP(x) =x

3-7x+ 6

1. CalculerP(2)

2. Trouver une racine évidente

3. Conclure sur la factorisation

ÔP(2) = 0, on peut factoriser par(x-2)

ÔP(1) = 0, on peut factoriser par(x-1)

ÔP(x) = (x-2)(x-1)Q(x)avecdeg(P) =deg(x-2) +deg(x-1) +deg(Q) donc,deg(Q) = 3-1-1 = 1

P(x)=(x-2)(x-1)(ax+b)

=(x

2-x-2x+ 2)(ax+b)

=(x

2-3x+ 2)(ax+b)

=ax

3+bx2-3ax2-3bx+ 2ax+ 2b

=ax

3+ (b-3a)x2+ (-3b+ 2a)x+ 2b

P(x)=x

3-7x+ 6

?a= 1 b-3a= 0 -3b+ 2a=-7

2b= 6donc :?a= 1

b= 3

Conclusion :P(x) = (x-2)(x-1)(x+ 3)

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II Second degré

II.1 Fonction polynôme du second degré

Définition 3

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPde la forme

P(x) =ax

2+bx+c

oùa,betcsont des réels aveca?= 0

L"expressionax

2+bx+cest appelée trinôme du second degré

Exemple 4

ÔP(x) =x2-7x+ 12, on a :a= 1,b=-7etc= 12

ÔP(x) = 4x2, on a :a= 4,b= 0etc= 0

Ô2x+ 1,6x3+ 4x+ 2et(x-1)2-x2ne sont pas du second degré

II.2 Forme canonique

Définition 4

Une expression de la formea(x-α)

2+bs"appelle la forme canoniquedu trinôme

Le principe est de transformer un trinôme du second degré en utilisant les identités remarquables :

Exemple 5

Ôx2-8x+ 7 = (x-4)2-16 + 7 = (x-4)2-9

ÔDans ce cas, les racines sont alors facilement identifiables: résoudrex2-8x+ 7 = 0revient à résoudre(x-4)2-9 = 0

Ô(x-4)2-9 = 0??(x-4)2= 9

??x-4 = 3oux-4 =-3 ??x= 7oux= 1

ÔS={1;7}

Transformation de l"écritureax2+bx+c:

ax

2+bx+c=a?

x2+bax+ca? =a? x+b 2a? 2 -b 2

4a2+ca?

=a? x+b 2a? 2 -b 2-4ac 4a2 ax

2+bx+c=a?

x+b2a? 2 -Δ4a2 avecΔ =b 2-4ac http://nathalie.daval.free.fr-5-

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II.3 Solutions de l"équation et factorisation

Résoudreax2+bx+c= 0revient à résoudrea?

x+b2a? 2 -Δ4a2 = 0ou encore? x+b 2a? 2 =Δ4a2

Dans cette dernière expression, tout est positif saufΔ, ce qui nous permet d"énoncer le théorème suivant :

Théorème 4

SoitΔ =b

2-4acle discriminant du trinômeax2+bx+c

ãΔ<0: l"équation n"a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ãΔ = 0: l"équation a une solution doublex

0=-b2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x

0)2 ãΔ>0: l"équation possède2solutions réelles :x1=-b-⎷Δ

2aetx2=-b+⎷Δ

2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x

1)(x-x2)

Exemple 6

Ô-6x2+x+ 1 = 0

Δ =b2-4ac= 12-4×(-6)×1 = 25

Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles : x

1=-b-⎷

2a=-1-5-12=12x2=-b+⎷

2a=-1 + 5-12=-13

S=? -1 3;12? et la forme factorisée dePest :P(x) =-6? x+13?? x-12?

Ô5x2+ 6x+ 2 = 0

Δ =b2-4ac= 62-4×5×2 =-4

Le discriminant est négatif, il n"y a pas de solution réelle

S=∅etPne se factorise pas

Ô2x2+ 5x+25

8= 0

Δ =b2-4ac= 52-4×2×25

8= 0 Le discriminant est nul, il y a une solution double :x0=-b

2a=-54

S=? -5 4? et la forme factorisée dePest :P(x) = 2? x+54? 2

Remarque 4

SiΔest positif, on a :ax

2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

=a[x

2-(x1+x2)x+x1x2]

=ax

2-aSx+aPoùSest la somme etPle produit des deux racines

on a alors :S=-b aetP=ca

Exemple 7

Trouver les racines du polynôme2x2-5x+ 3Ôx1= 1est une racine évidente ÔL"autre racine peut se déterminer facilement grâce àSouP:

S=x1+x2= 1 +x2=--5

2=52d"oùx2=32

P=x1x2= 1×x2=3

2=d"oùx2=32

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II.4 Signe du trinôme

Étudions le signe deP(x) =ax2+bx+c

•SiΔ>0, on notex

1etx2les racines et on obtient le tableau de signes suivant :

x-∞x1x2+∞ asigne dea| signe dea| signe dea x-x1-0 +|+ x-x2-|-0 + a(x-x1)(x-x2)signe dea0signe de(-a) 0signe dea •SiΔ = 0, on notex0la racine et on obtient le tableau de signes suivant : x-∞x0+∞ asigne dea| signe dea (x-x0)2+ 0 + a(x-x0)2signe dea0signe dea •SiΔ = 0, on utilise la forme canonique :ax2+bx+c=a? x+b2a? 2 -Δ4a2

CommeΔest négatif, l"expression entre crochets est positive, le signe deP(x)est donc le même que

celui dea

Théorème 5

Le trinômeax

2+bx+cest du signe deasauf entre ses racines lorsqu"elles existent

Exemple 8

Ôf(x) =-6x2+x+ 1

Le discrimiant est positif,fest du signe dea=-6, donc négative sauf entre ses racines-1 3et12

Ô5x2+ 6x+ 2 = 0

Le discrimiant est négatif,fest du signe dea= 5, donc positive surR

Ô2x2+ 5x+25

8= 0 Le discrimiant est nul,fest du signe dea= 2, donc positive surRet nulle enx0=-5 4 http://nathalie.daval.free.fr-7-

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II.5 Représentation graphique

Dans un repère , on noteCla courbe d"équationy=ax2+bx+c La représentation graphique d"une fonction polynôme du second degré est une parabole http://nathalie.daval.free.fr-8-quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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