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Les formules de Cardan :

résolution des équations du troisième degré

I) Historique

La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en

1545, est une méthode permettant de

résoudre toutes les équations du troisième degré.

Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction dep

etqles solutions de l"équation x3+px+q= 0.

Elle permet de prouver que

les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux: les solutions s"expriment en

fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulementles quatre opérations habituelles (+- ×et÷), et

l"extraction de racines carrées, et de racines cubiques.

On sait déjà que les solutions d"une équation du second degréde la formeax2+bx+c= 0sont de la forme

x=-b+⎷

2aetx=-b-⎷

2a, oùΔ =b2-4acest le discriminant de l"équation, sous la condition queΔ>0.

Les solutions s"expriment donc à l"aide des coefficientsa,betcsous forme d"expressions utilisant seulement les

quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels (+- ×et÷), et l"extraction de racine carrée.

L"objet des recherches des mathématiciens italiens de la Renaissance était de trouver des formules analogues

pour tout polynôme de degré 3, de la formeax3+bx2+cx+d= 0.

Nous montrerons comment l"équation généraleax3+bx2+cx+d= 0peut se ramener à une équation "plus

simple" de la formex3+px+q= 0(qui n"a pas de terme enx2) à l"aide d"un changement de variable,

puis nous étudierons comment résoudre une telle équation par l"utilisation d"une forme "canonique". Pour bien

comprendre le raisonnement, dans le paragraphe suivant, nous allons rappeler les idées développées lors de

l"étude des polynômes de degré deux, puis nous expliqueronsla méthode pour les polynômes du troisième degré.

II) Une présentation des idées sur les équations de degré 2

Voici un court rappel de la méthode qui a conduit à la formule du discriminant pour les polynômes du second

degré, cette méthode sera réutilisée pour les équations de degré 3 :

•Cas particulier :

On sait résoudre les équations de la formex2-q= 0: les solutions sontx=⎷ qetx=-⎷qsiq≥0.

•Cas général :

Si on a une équation générale du second degréax2+bx+c= 0alors on se ramène à une équation de la forme

précédente en posant un changement de variable: en effet, on a les équivalences suivantes ax

2+bx+c= 0??a?

x 2+b ax+ca? = 0??x2+bax+ca= 0 que l"on peut encore écrire avec la forme canonique, x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2= 0. On a donc, en posant le changement de variableX=x+b

2a, l"équationX2-?

2a? 2 = 0, c"est à dire une équation du type précédent si on poseq=? 2a? 2 ,q≥0. On en déduitX=⎷

2aouX=-⎷

2a.

Et sachant quex=X-b

2a, on obtient les formules classiques :x=-b+⎷

2aoux=-b-⎷

2a.

III) Présentation de la méthode générale pour une équation du troisième degréax3+bx2+cx+d= 0

Soit donc un polynôme du troisième degré,ax3+bx2+cx+d= 0, aveca?= 0.

On peut écrirea?

x 3+b ax2+cax+da? = 0. Et on peut obtenir via la forme canonique du développement d"un cubea? x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, en posantp=-b23a2+caetq=b27a?

2b2a2-9ca?

+da.

Exercice :

Développer l"expressiona?

x+b3a? 3 +p? x+b3a? +q? oùp=-b23a2+caetq=b27a?

2b2a2-9ca?

+da, et montrer que l"on obtient bien la formeax3+bx2+cx+d.

À partir de l"équationa?

x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, on peut poser le changement de variable X=x+b

3a, et on obtienta?X3+pX+q?= 0. Cette équation est donc équivalente àX3+pX+q= 0.

Exercice :

Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.

Donner les valeurs dea,b,cetd.

PoserX=x+b

3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation

suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0. IV) Présentation de la méthode de résolution de l"équationx3+px+q= 0

Ainsi donc, une équation quelconque de degré trois peut se ramener à une équation de la formex3+px+q= 0.

On va maintenant poserx=u+v, avecuetvréels, de façon à avoir deux inconnues au lieu d"une et se

donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition suruetvpermettant de simplifier le problème.

L"équation devient ainsi(u+v)3+p(u+v) +q= 0.

Cette équation se transforme sous la forme suivante :u3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q= 0.

Exercice :

Développer l"expressionu3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q, et montrer que l"on obtient bien la forme(u+v)3+ p(u+v) +q= 0.

La condition de simplification annoncée sera alors3uv+p= 0. Ce qui nous donne d"une l"équationu3+v3+q= 0.

Et la condition de simplification3uv+p= 0implique queuv=-p

3; expression qui, en élevant les deux membres

à la puissance 3, donneu3v3=-p3

27.
Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnuesu3etv3suivant :? ?u

3+v3=-q

u

3v3=-p3

27On peut poser les inconnuesU=u3etV=v3, on connaît alors la somme et le produit deUetV?

?U+V=-q

UV=-p3

27doncUetVsont les racines du polynôme du second degréZ2+qZ-p327.

Le discriminant de cette équation estΔ =q2+4

27p3, et en supposant queΔ≥0les racines sont

U=u3=-q+⎷

2etV=v3=-q-⎷

2

On extrait alors des racines cubiquesu=3?

-q+⎷Δ

2etv=3?

-q-⎷Δ

2. On a alorsx=u+vdonc

x=3?-q+⎷Δ 2+3? -q-⎷Δ 2 c"est cette formule qui fait partie des formules de Cardan.

V) Quelques exemples concrets

Exemple 1

(sous forme d"exercice guidé pour comprendre les étapes du raisonnement précédent) Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.

1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, donner les valeurs dea,b,

cetd.

2.PoserX=x+b

3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation

équivalente suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0.

3.Poser alors :X=u+v, et montrer qu"on obtient l"équation54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

4.Écrire la condition de simplification; donner alors le système d"équation somme-produit portant suru3et

v 3.

5.u3etv3sont donc les racines d"un polynôme de degré2, écrire ce polynôme. En déduire queu3=5

54et
v 3=-50

27(ou dans l"ordre inversev3puisu3).

6.Le couple(u,v)est donc égal àu=3?

5

54=133?

5

2etv=-3?

50

27=-133⎷50.

Trouver les valeurs deXpuis dex.

Solution de l"exemple 1:

1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équation6x3-6x2+12x+7 = 0

a pour coefficientsa= 6,b=-6,c= 12etd= 7.

2.En posantX=x+b

3a=x-13, c"est à dire en remplaçantxparx=X+13, on obtient l"équation

6 X+1 3? 3 -6? X+13? 2 + 12X+ 11 = 0. Soit6X3+ 10X+959= 0. Et en multipliant par9pour ne plus avoir de fractions, on obtient l"équation équivalente54X3+ 90X+ 95 = 0.

3.En posant alors :X=u+v, on obtient l"équation54(u+v)3+90(u+v)+95 = 0. Qui par développement

donne54u3+ 162u2v+ 162uv2+ 54v3+ 90u+ 90v+ 95 = 0.

Mais le développement de l"équation54(u3+v3)+(162uv+90)(u+v)+95 = 0donne la même équation.

Donc l"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

4.L"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

La condition de simplification sera donc :162uv+ 90 = 0; c"est à direuv=-5 9. Le système d"équation somme-produit portant suru3etv3est :? ?u

3+v3=-95

54
u

3v3=?-5

9? 3 =-125729

5.On cherche doncuetvtels que?

?u

3+v3=-9554

u

3v3=-125

729;u3etv3sont donc les racines deZ2+95

54Z-125729.

Le discriminantΔestΔ =1225

324=3518,Δ>0donc les deux racines de cette équation sont :u3=554et

v 3=-50 27.

6.On a doncX=u+v=1

3? 3? 5

2-3⎷50?

Et on obtient finalement une solution de l"équation que l"on s"était donné de résoudre : x=X+1 3=13? 3? 5

2-3⎷50 + 1?

Exemple 2(mise en pratique de la méthode en utilisant les formules trouvées)

Considérons l"équation :x3-6x2+ 9x-1 = 0.

En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équationx3-6x2+ 9x-1 = 0

a pour coefficientsa= 1,b=-6,c= 9etd=-1.

En posantX=x+b

3a=x-2, c"est à dire en remplaçantxparx=X+2, on obtient l"équationX3-3X+1 = 0.

On ap=-3etq= 1, donc on chercheuetvtels queX=u+v, avecu3v3=-p3

27= 1etu3+v3=-q=-125

doncu3etv3sont racines de l"équationZ2+Z+ 1 = 0. Le discriminant estΔ =-3,Δ<0donc on est bloqué.

Cependant, on voit bien en traçant le graphe de la fonction qu"il existe trois solutions réelles :

±15±10±55

1015

±1 1 2 3 4 5

x

Les mathématiciens cherchèrent donc une façon de les trouver avec les mêmes formules (dites de Cardan), et

furent amenés à essayer de considérer⎷ Δ =⎷-3dans leur équation, afin de poursuivre leurs calculs...

Exemple 3(exemple historique)

Dans l"exemplex3= 15x+ 4ou bienx3-15x-4 = 0, on ap=-15etq=-4, donc :u3v3=-p3

27= 125et

u

3+v3=-q= 4doncu3etv3sont racines de l"équationZ2-4Z+125 = 0, dont les racines réelles n"existent

pas puisqueΔ<0. Pourtant, il y a bien une solution réellexà l"équation initiale; c"estx= 4. C"est

Bombelli(un contemporain de Cardan) qui surmonta cette difficulté en proposant pour la première fois

un calcul sur les nombres "imaginaires". La résolution "formelle" de l"équationZ2-4Z+ 125 = 0donne pour

racinesu3= 2 +⎷ -121 = 2 + 11⎷-1etZ= 2-⎷-121 = 2-11⎷-1, or Bombelli s"aperçoit que le cube de

2 +⎷

-1vaut2 + 11⎷-1(cf calcul(?)) et que le cube de2-⎷-1vaut2-11⎷-1.

Il en déduit queu= 2 +⎷

-1et quev= 2-⎷-1et il trouve bien comme solution finalex=u+v= 4. Ainsi, en s"autorisant des calculs avec un nombre "imaginaire"⎷ -1, Bombelli a su trouver des solutions réelles. (?)Détail du calcul pour justifier que?2 +⎷-1?3= 2 + 11?⎷-1?: Sachant que(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, on a :?2 +⎷ -1?3= 23+3(2)2?⎷-1?+3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3.

Sachant que?⎷

-1?2=-1et donc?⎷-1?3=-?⎷-1?, on obtient que?2 +⎷

-1?3= 23+ 3(2)2?⎷-1?+ 3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3= 8 + 12?⎷-1?-6-?⎷-1?= 2 + 11?⎷-1?.

Exercice : de même, sachant que(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3, montrer que l"on a :?2-⎷ -1?3= 2-11?⎷-1?

Cependant, quel sens donner à

-1, quelles règles de calcul pouvait on lui appliquer? Ce fut l"objet de nom-

breuses discussions et controverses... (cf paragraphe suivant sur l"histoire des nombres imaginaires).

VI) Prolongement historique

VI-1) Prolongement historique sur équations polynomiales

On raconte que la méthode de Cardan fut précédemment découverte par le mathématicien italien Tartaglia.

À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et

Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s"il n"aurait pas trouvé une méthode systématique.

Après s"être fait prier et avoir reçu l"assurance que Cardan ne les dévoilerai à personne, Tartaglia les lui confia.

Quelle ne fut pas sa surprise (et sa fureur) de voir Cardan lespublier en 1545. On appelle désormais souvent

ces formules les formules de Tartaglia-Cardan.

Seules les équations de degré 1, 2, 3, 4 sont génériquement résolubles par radicaux, c"est-à-dire que seules ces

équations possèdent des méthodes générales de résolutionsdonnant les solutions en fonction des coefficients du

polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles, et l"extraction de racines carrées, cubiques et

quartiques.

Pour le degré 4, la méthode de Descartes (1596-1650) est la plus utilisée (voir l"article de wikipédia), mais le

premier à avoir trouvé une méthode pour certaines équationsde degré 4 fut Ludovico Ferrari (1522-1565), élève

de Cardan. Le

théorème de d"Alembert-Gaussaffirme que dans le corps des complexes (i.e l"ensemble des nombre imagi-

naires), tout polynôme de degrén,n≥1, admet exactementnracines (éventuellement multiples). Ce théorème

fut énoncé pour la première fois par Albert Girard (1595-1632) qui, sans le démontrer, l"énonça en 1629 dans

son "Invention nouvelle en l"Algèbre". Jean le Rond d"Alembert en donna une démonstration presque complète

en 1743 dans son "Traité de dynamique". Carl Friedrich Gaussen donna la première démonstration rigoureuse

au début du XIX

èmesiècle.

Mais le fait qu"il existe des solutions ne fut pas démontré entrouvant des formules explicites mais en prouvant

de façon théorique leur existence. C"est le mathématicien norvégien Niels Henrik

Abel(1802-1829) qui démontra

à l"âge de 22 ans (en 1824) que la résolution des équations algébriques de degré 5 est impossible par radicaux.

Et ainsi, il mit fin à cette question qui restait en suspens depuis de nombreux siècles. VI-2) Prolongement historique sur les nombres complexes

Ainsi, en étudiant les équations de degré 3, les mathématiciens ont introduit un nombre⎷-1tel que?⎷

-1?2=-1, c"est à dire un nombre solution de l"équationx2=-1. Ce nombre est non réel (puisqu"un carré est toujours positif). Il fut appelé nombre imaginairepar Léonard Euler et il introduisit la notation ià la place de⎷-1en 1777 pour plus de facilité dans les calculs et de clarté visà vis de cette nouvelle notion et des règles de calcul afférentes.

En effet, des objections sur la validité de leur "existence" sont nées à cause de problèmes rencontrés dans les

calculs; par exemple voici une des critiques faites :

-1est un "nombre" qui vérifie?⎷-1?2=-1. Cependant,⎷-1×⎷-1 =?(-1)2=⎷1 = 1. Donc-1 = 1,

ce qui est pour le moins embêtant... on s"interdira donc d"utiliser⎷ -1sous peine de faire de telles erreurs.

C"est à cause de tels "problèmes" que longtemps les mathématiciens hésitèrent à utiliser ces "nombres", et

hésitèrent sur les "règles de calcul" valides. Ils utilisèrent ce nombre plus comme un "artifice" de calcul qui leur

permettait de trouver des solutions réelles aux équations. Les

nombres complexes(nom moderne pour les nombres imaginaires) ont une application directe en géométrie

plane, et c"est lorsque ce lien entre calcul et géométrie s"est fait que les nombres complexes acquirent leur

statut définitif et que leur usage s"est généralisé en mathématiques. Ils sont désormais incontournables pour

comprendre la structure de l"algèbre, de l"analyse des fonctions et de très nombreux sujets mathématiques et

physiques.

Le mathématicien suisse

Argand(1768-1822) introduit en 1806 la représentation plane des nombres complexes.

Cette dernière est faite avant lui par

Wessel(1745-1818) dans l"article "Sur la représentation analytique d"une

direction" qui associe à tout nombre complexe un vecteur d"origineO, le centre du repère, et interprète sur ces

vecteurs les opérations élémentaires sur les complexes. Cette publication passe cependant inaperçue à l"époque

et les travaux de Wessel ne seront retrouvés qu"en 1897.

Il failli en être de même du traité d"Argand "Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires"

publié à Paris en 1806. Il y expose sa façon de représenter le complexeicomme une opération de rotation

d"un angle droit autour de l"origine et il interprète géométriquement les opérations sur les nombres complexes.

Cet essai tombe aussi dans l"oubli jusqu"à ce qu"un certain François Français, professeur à l"école impériale de

l"Artillerie et du Génie, qui développe la même notion en y ajoutant une notation exploitable. Il reconnaît que

l"idée n"est pas de lui et en recherche son auteur. Il s"ensuit alors une correspondance entre les deux hommes,

ces conceptions furent donc diffusées à la suite d"une polémique à ce sujet en 1813-1814 dans "Les annales de

Gergonne" (première revue mathématique). Par la suite Gauss (1777-1855) et Cauchy (1789-1857) compléteront

les recherches effectuées et adopteront cette représentation.

Références de documents sur internet

voici une liste de pages web à visiter pour de plus amples informations : Voici une galerie de portraits des grands mathématiciens cités :

Cardan (1501-1576)

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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