3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f notée f '
Fonctions Polynômes
f (a) : nombre dérivé de f en a coefficient directeur de la tangente au Propriété : — Soit f (x) = ax2 + bx + c une fonction polynôme du second degré.
Maths Première Python
La dérivée de ax2 + bx + c est 2ax + b; c'est une fonction affine. 2?) Méthode. On peut définir la dérivée comme une méthode de l'objet trinôme :.
LE CALCUL DU MAXIMUM ET LA ``DÉRIVÉE SELON SHARAF AL
29 ene. 2009 Rashed est illustrée par l'équation. (23)6: (23) bx – ax2 – x3 = c les techniques et les procédés d'al-Tûsî¬ étant les.
Dérivées - Formulaire
Fonction dérivée y = sin x y = sin (ax²+bx+c) y' = cos x y' = (2ax+b) cos (ax²+bx+c) y = cos x y = cos (ax²+bx+c) y' = - sin x y' = -(2ax+b) sin (ax²+bx+c).
Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction ? f Exercice 15.1: Calculer la dérivée des fonctions suivantes: ... j) f (x) = ax2 + bx + c.
Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
C'est la formule à retenir pour déterminer les primitives d'une fonction puissance. "La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'
Fonction dérivée et étude des variations dune fonction Le
J'ai su utiliser le tableau des fonctions dérivées : Approprier : DDDD Pour résoudre une inéquation du second degré du type ax2 + bx + c > 0 il faut ...
Rappel mathématique
Une équation quadratique de type ax2 + bx + c = 0 peut être solutionnée en utilisant La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction.
Fonctions dérivables 1 Calculs
f(x) = ax2 +bx+1 si x > 1 sur l'intervalle [ab] préciser le nombre “c” de ]a
[PDF] Tableaux des dérivées
%2520primitives
[PDF] 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3 - maths et tiques
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c On appelle fonction dérivée de f notée f ' la fonction
[PDF] Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
j) f (x) = ax2 + bx + c Exercice 15 4: Déterminer une fonction f dont on donne sa dérivée ? f : a) ? f (x) = x – 2 b) ? f (x) = 4x3 + 3x2
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7 déc 2010 · 4 2 Fonction dérivée des fonctions élémentaires 1) On note f la fonction définie sur [?1; 3] par f(x) = ax2 + bx + c Déterminer
Dérivée des équations ax² + bx + c - Warmaths
Calcul de la dérivée de y = a x² + b x + c Première approche : Question 1 : déterminée la dérivée de la fonction y = 2 x² + 5 x - 4 pour la valeur x = - 2
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Soit ƒ(x) = ax2 + bx ; trouver les valeurs de a et b sachant que ƒ(-1) = 5 et la pente de la tangente en x = 1 est 7 9 Soit la courbe définie par
[PDF] 59 Ma3 - Chapitre 3 : Dérivation 1/2 - Association Sesamathch
Calculer le nombre dérivé de la fonction ƒ en 1 et interpréter graphiquement D2 3?1=3 (a x2 +b x+c) ' = PrD2 (a x2 ) ' +(b x)
[PDF] Dérivée - GitHub Pages
La fonction qui à x associe f ?(x) est la fonction dérivée de f On la notera de l'une des façons suivantes E(x) = ax2 + bx + c alors E?(x) = 2ax + b
[PDF] Dérivée dune fonction - Exo7 - Cours de mathématiques
Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu'est la dérivée d'une Calculer en quel point la fonction f (x) = ax2 + bx + c admet un extremum local
[PDF] résumé n°5 fonctions polynômes
Pour dériver un polynôme on fait la somme des dérivées de chacun f(x) f'(x) s'appelle le nombre dérivé de ƒ en x du 2ème degré : ax2 + bx + c
Comment dériver une fonction du second degré ?
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ? 0. Alors sa dérivée est la fonction f? définie sur par : f?(x) = 2ax + b. f est de la forme u + v avec u(x) = ax² et v(x) = bx + c. Alors f?(x) = u?(x) + v?(x) = a × 2x + b + 2ax + b.Quel est la formule de la dérivée ?
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ? par f '(x) = 2ax +b.Comment déterminer la dérivée de la fonction f ?
Le produit d'une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l'une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver 2? mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet, (2?)?=0?+2??=2?? (et nous le savions déjà).
Fonctions Polynômes
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Dérivée d"une fonction polynôme
21.1 Quelques rappels
21.2 Cas général
32 Applications de la dérivation
42.1 Dérivée et sens de variation
42.2 Équation de la tangente
5Table des figures
1 Tangente à une courbe
2Liste des tableaux
1 Dérivée dexn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ?
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11 DÉRIVÉE D"UNE FONCTION POLYNÔME
En préliminaire au cours :
Exercice :Exercice 102 page 1231[Intervalle]
Activité :Activité page 1082[Intervalle]
1 Dérivée d"une fonction polynôme
1.1 Quelques rappelsDéfinitions :-On dit que la fonction fest unp olynômedu second degré si fpeut s"écrire sous la
forme : f(x) =ax2+bx+c aveca?= 0.On dit que la fonction fest unp olynômedu troisiè medegré si fpeut s"écrire sous la forme :
f(x) =ax3+bx2+cx+d aveca?= 0.Exemples :1.Les fonctions f(x) = 3x2-2x+ 1;f(x) =-x2+ 1etf(x) = 3x2sont des fonctions polynômes du second degré. 2.La fonction f(x) =x(x+ 2)est aussi une fonction polynôme du second degré car, en développant,
on obtientf(x) =x2+ 2x. 3. Les fonctions f(x) =-2x3+x2-4x+5etf(x) =x3-3xsont des fonctions polynômes du troisième degré.Définition :Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soita?I.Si la courbeCfadmet au point d"abscisseaunetangen tenon parallè leà l"axe des ordonnées (v oir
figure 1 ), on dit que la fonctionfestdériv ableen aet on appellenom bredériv éde fenaleco efficient directeur de cette tangen te. Le nombre dérivé defenaest notéf?(a).Figure1 - Tangente à une courbe Remarque :Attention!Il ne faut pas confondre : 1. QCM - Révisions sur les fonctions.2. Déjà vu...
21 DÉRIVÉE D"UNE FONCTION POLYNÔME 1.2 Cas général
-f?(a):nom bredériv éde fena,co efficientdirecteur de la tangen teau p ointde la courb ed"abscisse
a;-f(a):image de aparf,ordonnée du p ointde la courb ed"abscisse a.Propriété :-Soit f(x) =ax2+bx+cune fonction polynôme du second degré.
Alors, sa fonction dérivée est :
f ?(x) = 2ax+b Soit f(x) =ax3+bx2+cx+dune fonction polynôme du troisième degré.Alors, sa fonction dérivée est :
f ?(x) = 3ax2+ 2bx+cRemarque :En particulier, on a : La fonction dériv éede f(x) =x2estf?(x) = 2x. La fonction dériv éede f(x) =x3estf?(x) = 3x2. Exercices :2, 3, 5, 6, 7 page 1153- 14, 16 page 1164[Intervalle]1.2 Cas général
Pour dériver n"importe quelle fonction polynôme, on utilisera les deux propriétés suivantes (admises) :Propriété 1 :(admise)
1. Soit fla fonction définie surRparf(x) =k, oùkest une constante réelle. alorsfest dérivable surRetf?(x) = 0. 2.Soit fla fonction définie surRparf(x) =x.
alorsfest dérivable surRetf?(x) = 1. 3. Soit fla fonction définie surRparf(x) =xn, oùnest une entier supérieur ou égal à 1.alorsfest dérivable surRetf?(x) =nxn-1.Remarque :Les cas d"utilisation les plus fréquents de ces résultats sont regroupés dans le tableau1 .f(x)k(constante)xx
2x 3x 4x 5f ?(x)012x3x24x35x4Table1 - Dérivée dexn Exemples :1.La fonction f(x) = 4est dérivable surRet sa dérivée estf?(x) =0 . 2.La fonction f(x) =x7est dérivable surRet sa dérivée estf?(x) =7 x6.Propriété 2 :1.Soit uune fonction dérivable sur un intervalleIetkun nombre réel.
Alors la fonction(ku)est dérivable surIet sa dérivée estku?.On note :(ku)?=ku?.
2. Soit uetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors la fonction(u+v)est dérivable surIet sa dérivée estu?+v?. On note :(u+v)?=u?+v?.Remarque :De la même façon, on a donc(u-v)?=u?-v?.Exemples :1.La fonction f(x) = 3x5est dérivable surRet sa dérivée est :f?(x) =3 ×5x4= 15x4
2. La fonction f(x) =-3x3-x2+4x-1est dérivable surRet sa dérivée est :f?(x) =3 ×3x2-2x+4×1-0= 9 x2-2x+ 4
Exercices :9, 10, 12 page 115 et 29, 30, 33 page 1165[Intervalle]3. Dérivées des fonctions usuelles.
4. Formules de dérivation.
5. Calcul de dérivées.
32 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION
2 Applications de la dérivation
2.1 Dérivée et sens de variationThéorème fondamental(admis)
Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Si, p ourtout xdeI,f?(x)≥0alorsfestcroissan tes urI.Si, p ourtout xdeI,f?(x) = 0alorsfestconstan tesu rI.Remarques :1.On a aus si: f?(x)>0donnefstrictementcroissante, etc.
2.P ourétudier
les v ariationsd"une fonction , il faut donc étudier le signe de sa dériv ée . Pour cela, on pourra se reporter à la fiche de révisions sur les études de signes. Exemple :1.fdéfinie surI= [-2; 10]parf(x) =x2+ 2x-3.On af?(x) = 2x+ 2×1-0 = 2x+ 2.
Il faut déterminer le signe def?.x-∞ -1 +∞Signe de2x+ 2-0 +Or, ici,x?[-2; 10]. On en déduit le tableau de variations def:x-2-1 10Signe def?(x)+
-3 117Variations def(x)? ? -42.Soit gla fonction définie sur[-3; 4]parg(x) = 2x3+ 3x2-12x+ 30. On ag?(x) = 2×3x2+ 3×2x-12×1 = 6x2+ 6x-12.Il faut déterminer le signe deg?. Pour cela, on calcule le discriminant :Δ = 62-4×6×(-12) = 324.
Δ>0, il y a deux racines :x1=-6-⎷324
12 =-6-1812 =-2412 =-2etx2=-6+⎷324 12 =-6+1812 =1212 = 1.On en déduit le signe deg?:x-3-2 1 4Signe deg?(x)+ 0-0 +On en déduit le tableau de variations deg:x-3-2 1 4Signe deg?(x)+ 0-0 +50 158
Variations deg(x)? ? ?
39 23Remarque :on dit que la fonctiongadmet unmaxim umlo calen x=-2et enx= 4et unminim um local
en x=-3etx= 1.Plus généralement, on a le résultat suivant :Propriété :Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIet soitx0?I,distinct des extrémitésdeI.
1. Si fa unextr emumlo calen x0, alors nécessairement,f?(x0) = 0. 2.Si f?s"annuleen x0en changeant de signe, alorsfadmetun e xtremumlo calen x0.Exercices :54, 55, 57, 59, 61, 63 page 1176- 76 page 117 et 78, 79, 80, 81, 82 page 1187- 99, 100 page
1228- 106 page 125; 108, 109 page 126 et 112 page 1279[Intervalle]6. Étude de variations.
7. Extremums locaux.
8. Contrôle d"un tableau de variations avec un tracé de courbe.
9. Type BAC.
4RÉFÉRENCES 2.2 Équation de la tangente
2.2 Équation de la tangente
On veut déterminer l"équation de la tangente à la courbe représentant une fonctionfau point d"abscissea.
Pour cela, on utilisera les deux résultats suivants (voir figure 1 le co efficientdirecteur de la tangen te est l enom bredériv éf?(a); cette tangen te pas separ le p ointA(a;f(a)). Exemple :Soitfla fonction définie surRparf(x) =x2-2x-1.On veut déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe représentantfau point d"abscisse2.
L"équation de cette tange nteest de la forme y=mx+p.Le coefficient directeur de la tangente estf?(2).
Or,f?(x) = 2x-2doncf?(2) = 2×2-2 = 4-2.
Le coefficient directeur deTest doncm= 2.
L"équation de Test donc de la formey= 2x+p.
Cette tangente passe par le pointA(2;f(2))avecf(2) = 22-2×2 + 1 = 4-4-1 =-1.Elle passe donc par le pointA(2;-1). On a alors :
-1 = 2×2 +p -1 = 4 +p -1-4 =p -5 =pL"équation de la tangenteTest doncy= 2x-5.
Exercices :86, 89 page 11910- 111 page 12711[Intervalle]Références
[Intervalle] Collection In tervalle,Mathématiques ,programme 2013, T ermSTMG, Nathan, 2013. 2 3 45 10. Équation de tangentes.
11. Vrai-Faux.
5quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] tangente horizontale en 1
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