Devoir surveillé n?5
1 déc. 2008 ... des tangentes horizontales ? Si oui en quel(s) point(s) ? (b) Donner une équation de T
Sans titre
L'équation de la tangente à la courbe f Dérivabilité à droite à gauche en un point : ... Une tangente horizontale au point.
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
Comme le sinus est non nul en ?/2 on en déduit que la droites ? = ?/2. (verticale) est tangente à la courbe r = 2cos? à l'origine. Page 33. Exercice : On
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Justifier votre réponse. 1. La courbe représentative de la fonction exponentielle admet une tangente horizontale. La proposition est fausse en effet exp (x)
SLCI - Systèmes du second ordre
du second ordre – Cas où ? > 1. En t = 0 la courbe admet une tangente horizontale. La courbe ne dépasse pas son asymptote horizontale (s(t ) est monotone).
Courbes planes
1. Donner une paramétrisation (x(t)y(t)) de la courbe d'équation Le graphe de f possède une tangente horizontale là où f s'annule
Correction
17 avr. 2020 1 x². 2) Calcul d'équations de tangentes. Exercice 2 f(x) = x3 – 2x² ... La courbe admet une tangente horizontale au point M(.
Courbes paramétrées
1 w = 1. 0 . La tangente
6. Études de courbes paramétrées
Une représentation paramétrique d'une courbe (C) est un système Si x' (t0) ? 0 et y' (t0) = 0 la courbe admet une tangente horizontale en M(t0).
Notion de tangente et de nombre dérivé :
Définition naïve (suffisante en TSTMG) : Tangente à une courbe en un point 1. = ?2 f (0) = coefficient directeur de (T2)=0 Tangente horizontale au ...
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L'équation de la tangente à la courbe f Dérivabilité à droite à gauche en un point : Une tangente horizontale au point
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Partie A La fonction ? désigne la fonction dérivée de 1 On suppose que la tangente à la courbe au point S est horizontale Que vaut ?(1)?
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Tangente et dérivée en un point - jybaudotfr
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Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(
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La recherche de tangentes horizontales est utile pour préciser les extremums locaux d'une fonction Une fois calculée la dérivée f' de f il faut résoudre l'
![Courbes planes Courbes planes](https://pdfprof.com/Listes/17/24633-17fic00164.pdf.pdf.jpg)
Courbes planes
Fiche de Léa Blanc-Centi.
1 Courbes d"équationy=f(x)
Exercice 1Représenter les courbes d"équation cartésienney=f(x), donner l"équation de leur tangente au point d"abscisse
x=0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente, pour :1.f(x) =sin2x+cosx
2.f(x) =x+ln(1+ex)
1. Donner une paramétrisation (x(t);y(t))de la courbe d"équation y=px23x+4 en précisant le domaine de variation du paramètret. 2. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cost+3 y(t) =sint(t2R) ne peut pas être décrit par une équation de la formey=f(x). 3. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cos2t2 y(t) =sin4t+4sin2t+4(t2R) est le graphe d"une fonctionfque l"on précisera, ainsi que son domaine de définition. Exercice 3Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes: 1. x(t) =cos3t y(t) =sin3t(L"astroïde) 2. x(t) =ttht y(t) =1cht 1 3. x(t) =tsint y(t) =1cost(La cycloïde)SoitCla courbe plane paramétrée par
x(t) =tlnt y(t) =lntt (t2]0;+¥[) 1. Comparer les points de paramètres tet 1=t, en déduire un domaine d"étude deC. 2.Représenter C.
Montrer que la courbe paramétrée
8< :x(t) =1t 2t y(t) =tt 21possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires.
Montrer que la courbe paramétrée
8< :x(t) =4t3t 2+1 y(t) =2t1t 2+2 admet un unique point singulier, et tracer l"allure de la courbe au voisinage de ce point. On considère la courbe paramétrée définie par 8< :x(t) =t+4t y(t) =t3 +2+3t+1 1. Dresser le tableau de v ariationsconjointes de xety. 2. Calculer les tangentes horizontales, v erticaleset les asymptotes. 3.T rouverle point singulier de la courbe, étudier son type et écrire l"équation de la tangente à la courbe en
ces points. 4.T racerla courbe.
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe x(t) =3t2 y(t) =4t3 2 Exercice 9Étudier les courbes d"équations polaires suivantes:1.r(q) =1ptan(2q)pourq2]0;p4
2.r(q) =sin2qcosqpourq2]p2
;p2 [(La cissoïde droite)3.r(q) =pcos(2q)(La lemniscate de Bernoulli)
On considère les courbesC1etC2(des limaçons de Pascal)respectivement données en polaires par
r1(q) =1+cosqr2(q) =3+cosq
Pouri=1;2, on noteNi(q)la droite orthogonale au pointMi(q)2Ci. Vérifier que pour toutq60[2p], les droitesN1(q)etN2(q)sont sécantes, en un pointP(q). Déterminer le lieu du pointPquandqvarie.Indication pourl"exer cice6 NUn pointM(t)est singulier six0(t) =0 ety0(t) =0.Indication pourl"exer cice10 NUtiliser le repère de Frenet(~uq;~vq).4
Correction del"exer cice1 N1.Pour f(x) =sin2x+cosx, le domaine de définition defestR, etfest de classeC¥. On remarque que
fest 2p-périodique et paire, il suffit donc de faire l"étude defsur l"intervalle[0;p].V ariationsde f
Pourx2[0;p],f0(x) =2sinxcosxsinx=sinx(2cosx1)et doncf0(x) =0 si et seulement si x2 f0;p3 ;pg. Comme sinx>0 six2]0;p[, pour étudier le signe def0(x), il suffit d"étudier le signe de(2cosx1), et on obtient x0 p3 pf0(x)0+005
4 f% & 11T angenteshorizontales
Le graphe defpossède une tangente horizontale là oùf0s"annule, c"est-à-dire aux points de
coordonnées(0;1),(p3 ;54 )et(p;1). Enparticulier, latangenteaupointd"abscisse0esthorizontaleet a pour équationy=1. Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce
point, on étudie le signe def(x)1 pourxproche de 0: f(x)1=sin2x1+cosx=cos2x+cosx=cosx(1cosx) Cette expression est positive au voisinage de 0 (et même>0 pourx6=0 proche de 0). La courbe est donc au-dessus de sa tangente.Points particuliers
Le graphe defcoupe l"axe des abscisses entre 0 etpen un unique pointx0, qu"on détermine en résolvant f(x) =0()1cos2x+cosx=0()X2X1=0(X=cosx) cequidonnedeuxsolutionspourX, maisuneseuledans[1;1]:X=1p5 2 etdoncx0=arccos(1p5 2Le graphe defest obtenu sur[p;p]par symétrie par rapport à l"axe des ordonnées, puis surRpar
2p-périodicité.xy
x 00p p 3 xy y=sin2x+cosx2.Pour f(x) =x+ln(1+ex), le domaine de définition defestRetfest de classeC¥.V ariationsde f
Commef0(x) =1+ex1+ex, pour toutx,f0(x)>1. En particulierfest strictement croissante surR. 5 •Allure du graphe en +¥On af(x)!x!+¥+¥et
f(x)x =1+lnex(ex+1)x =1+x+ln(ex+1)x !x!+¥2 puisf(x)2x=ln(ex+1)!x!+¥0+. Ainsi le graphe defa en+¥une asymptote, d"équation y=2x, et reste au-dessus de cette asymptote.Allure du graphe en ¥
On af(x)!x!¥¥et
f(x)x =1+ln(1+ex)x !x!¥1 puisf(x)x=ln(1+ex)!x!¥0+. Ainsi le graphe defa en¥une asymptote, d"équation y=x, et reste au-dessus de cette asymptote.T angenteau point d"abscisse 0
L"équation de la tangente au graphe defau point d"abscissex0, et la position du graphe par rapport
à cette tangente, peuvent être obtenues simultanément à partir du développement limité defen
x0. Pour l"équation de la tangente, un développement limité à l"ordre 1 suffit, mais pour avoir la
position il faut pousser le développement limité à l"ordre 2 (ou à l"ordre 3 si le terme d"ordre 2 est
nul, ou plus encore...): f(x) =x+ln(1+ex) =x+ln1+1+x+12
x2+o(x2) =x+ln2+ln 1+12 x+14 x2+o(x2) =x+ln2+12 x+14 x2 12 12 x+14 x2 2 +o(x2) =ln2+32 x+18 x2+o(x2) L"équation de la tangente au point d"abscisse 0 (donnée par le DL à l"ordre 1) est donc y=ln2+32 xDe plus,f(x)ln2+32
x=18 x2+o(x2) =18 x2(1+o(1))oùo(1)est un terme qui tend vers 0 quandx!0. Ainsi(1+o(1))a le même signe que 1 pourxproche de 0, etf(x)ln2+32 xestpositif au voisinage de 0: la courbe reste localement au-dessus de sa tangente.xyy=x+ln(x+ex)y=xy=2xy=ln2+32
xln2 01 6Correction del"exer cice2 N1.Pour transformer une équation cartésienne y=f(x)en paramétrisation, il suffit de poserx=tety=f(t),
en faisant décrire au paramètretle domaine de définition def. Ici,f(x)=px23x+4 est bien définie
pour lesx2Rtels quex23x+4>0i.e.x2[4;1]. On obtient donc la paramétrisation suivante: x(t) =t y(t) =pt23t+4(t2[4;1]) ce qui signifie (x;y)2C()x2[4;1] y=px23x+4 () 9t2[4;1]jx(t) =t y(t) =pt23t+4 oùCest la courbe étudiée.xyy=px23x+441 2.S"il est toujours possible de représenter le graphe d"une fonction comme une courbe paramétrée, la
réciproque n"est pas vraie. Ici, la courbe considérée est le cercle de rayon 1 centré au point(3;0).
Ce n"est donc pas un graphe de fonction, puisque plusieurs points de la courbe ont la même abscisse:
connaîtrexne donne pasy! Par exemple, pourt=p2 , on obtient les deux points de la courbe(3;1)et (3;+1).xy (cost+3;sint)03(3;+1)(3;1)3.On constate, en utilisant la formule sin2t=1cos2t=1x(t), que
y(t) =sin4t+4sin2t+4= (1x(t))2+4(1x(t))+4 =x(t)22x(t)+1= (x(t)1)2 7Ainsi les points(x;y)de la courbe vérifient l"équationy= (x1)2. De plus, lorsque le paramètretdécrit
R,x(t) =cos2t2 décrit l"intervalle[2;1]. Finalement, (x;y)2C() 9t2Rjx(t) =cos2t2 y(t) =sin4t+4sin2t+4 ()x2[2;1] y= (x1)2 et la courbe est donc le graphe de la fonction f:[2;1]!R x7!(x1)2xyy= (x1)2211Correction de
l"exer cice3 N1.Les e xpressionsx(t) =cos3tety(t) =sin3tsont bien définies pour toutt2R.
Réduction de l"interv alled"étude
Les fonctionsxetyétant 2p-périodiques, il suffit de restreindre l"étude à un intervalle de longueur
2ppour obtenir l"intégralité du support de la courbe.
La fonctionxest paire, la fonctionyest impaire: on fait donc l"étude sur[0;p], puis la courbe complète sera obtenue par symétrie par rapport à l"axe(Ox). On constate quex(pt) =x(t)et quey(pt) =y(t), par conséquent les pointsM(p2 t)et M(p2 +t)sont symétriques par rapport à l"axe(Oy): on restreint donc l"étude à[0;p2 ], puis on complète par symétrie par rapport à(Oy).Finalement, on fait l"étude sur[0;p2
]puis on complète en utilisant successivement les symétries par rapport à(Oy)et(Ox).T ableaude v ariationsconjointes
Les fonctionsxetysont de classeC1. Soitt2[0;p2
x(t) =cos3t y(t) =sin3t x0(t) =3sintcos2t y0(t) =3costsin2t
x0(t)<0()t2]0;p2
[y0(t)>0()t2]0;p2 x0(t) =0()t2 f0;p2
gy0(t) =0()t2 f0;p2 g 8 t0 p2x0(t)001
x& 0 1 y% 0 y0(t)0+0
Cela signifie que lorsquetvarie de 0 àp2
la courbe va vers la gauche (carx(t)décroît) en montant (cary(t)croît) du point(1;0)à(0;1).Points particuliers
-M(p6 )=3p3 8 ;18 =(0:64:::;0:125); la tangente est dirigée parx0(p6 );y0(p6 )=98 ;3p3 8 (1:125;0:64:::). -M(p4 )=p2 4 ;p2 4 =(0:35:::;0:35:::); latangenteestdirigéeparx0(p4 );y0(p4 )=3p2 4 ;3p2 4 (1:06:::;1:06:::). -M(p3 )=18 ;3p3 8 =(0:125;0:64:::); la tangente est dirigée parx0(p3 );y0(p3 )=3p3 8 ;98 (0:64:::;1:125).Étude des points singuliers
Le pointM(t)est singulier six0(t) =y0(t) =0, ce qui est le cas dans le domaine d"étude[0;p2 uniquement pourt=0 ett=p2 . Pour déterminer la tangente au pointM(0)(de coordonnées cartésiennes(1;0)), on étudie la limite en 0 de y(t)y(0)x(t)x(0)=sin3tcos 3t1Or sin
3t0t3et cos3t1= (1t22
+o(t2))3103t22 , donc le quotient est équivalent à23 tettend vers 0 en 0. Ainsi,Cadmet au pointM(0)une tangente, de pente nulle c"est-à-dire horizontale.xy
0M(0)M(p2
)M(p6 )M(p4 )M(p3 )92.Les e xpressionsx(t) =tthtety(t) =1chtsont bien définies pour toutt2R.
Réduction du domaine d"étude
Commexest impaire etypaire, on restreint l"étude àR+puis on complète par symétrie par rapport à l"axe(Oy).T ableaude v ariationsconjointes
Les fonctionsxetysont de classeC1. Pourt2R+:
x(t) =ttht y(t) =1chtx0(t) =th2t y0(t) =shtch2tx0(t)>0()t>0y0(t)<0()t>0
x0(t) =0()t=0y0(t) =0()t=0
t0+¥x0(t)0++¥
x% 0 1 y& 0 y 0(t)0 Cela signifie que le courbe va vers la droite et vers le bas lorsquetva de 0 à+¥.Étude des points singuliers
Le seul point singulier estM(0), ory(t)y(0)x(t)x(0)=1chttchtshtet 3=3 et par conséquent y(t)y(0)x(t)x(0)!t!0+¥. AinsiCpossède une tangente verticale au pointM(0)de coordonnées cartésiennes(0;1).Étude des branches infinies
Commex(t)!t!+¥+¥ety(t)!t!+¥0, l"axe des abscisses est asymptote àC.xy01M(0)3.Les e xpressionsx(t) =tsintety(t) =1costsont bien définies pourt2R.
Réduction du domaine d"étude
On remarque quex(t+2p) =2p+x(t)ety(t+2p) =y(t): le pointM(t+2p)se déduit deM(t) par translation de vecteur 2p~i. Il suffit donc d"étudier la courbe sur l"intervalle[p;p].La fonctionxétant impaire etypaire, on restreint l"étude à[0;p]puis on complète par symétrie par
rapport à l"axe(Oy).Finalement, on fait l"étude sur[0;p]puis on complète en utilisant successivement la symétrie par
rapport à(Oy), puis des translations successives de vecteur 2p~i. 10 •T ableaude v ariationsconjointesLes fonctionsxetysont de classeC1. Soitt2[0;p]:
x(t) =tsint y(t) =1cost x0(t) =1cost y0(t) =sint
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