Devoir surveillé n?5
1 déc. 2008 (a) La courbe Cf admet-elle des tangentes horizontales ? ... (b) Donner une équation de T tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1.
6. Études de courbes paramétrées
domaines de définition Dx et Dy des fonctions x(t) et y(t). Si x' (t0) ? 0 et y' (t0) = 0 la courbe admet une tangente horizontale en M(t0).
Notion de tangente et de nombre dérivé :
On dit qu'une fonction f est dérivable en a si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en son point d'abscisse a. Définition.
Chapitre 6 Courbes paramétrées
On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. place les points o`u il y a des tangentes horizontales des tangentes ver-.
Courbes paramétrées
parcourt la cycloïde renversée ayant une tangente verticale en A et passant par B. La bille accélère beaucoup au Définition d'une courbe paramétrée.
Trigonométrie - Pente dune route
La pente d'une route est la tangente de l'angle formé par la route et l'horizontale. Page 3. Exemple 1 : Quelle est la pente de cette route ( dessin.
Chapitre 14 : Dérivation
4 mars 2011 sentative de la fonction racine carrée admet en son point d'abscisse 0 une tangente verticale. Définition 3. La fonction f est dérivable à ...
SLCI - Systèmes du second ordre
La courbe admet toujours une tangente horizontale à t = 0. On observe l'apparition d'oscillations autour de la valeur finale (réponse pseudo-périodique) d'
Gradient – Théorème des accroissements finis
Rappel de la définition. Définition 1. Soit f : n ? Le plan tangent est horizontal exactement lorsque le gradient est un vecteur colinéaire à.
Tableau de variation :
La tangente en 0 a un coefficient directeur nul donc elle est horizontale. on recherche son ensemble de définition ( s'il n'est pas donné ).
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Il faut toujours placer les tangentes horizontales ( c'est le cas lorsque f'(xo)=0) et les tangentes ou les demi-tangentes particulières avant de tracer la
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À moins d'être horizontale une tangente forme un angle avec l'axe des abscisses À partir du cercle trigonométrique on lit la valeur de cet angle sur la
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4 mar 2011 · sentative de la fonction racine carrée admet en son point d'abscisse 0 une tangente verticale Définition 3 La fonction f est dérivable à
Cours 2 : Tangentes à une courbe et fonction dérivée
Déterminer graphiquement f'(?2) et f'(0) Déterminer l'équation réduite de chaque tangente Mots clés: Propriété · Définition
C'est quoi une tangente horizontale ?
comment on va faire pour savoir où se trouve cette engeance horizontale sur ma courbe f et bien pour cela il faut se souvenir qu une tangente horizontale c'est donc une droite qui est parallèle à l'axé des abscisses et donc si elle est parallèle à l'axé des abscisses et pas comme ? ni comme ?.Comment savoir si la tangente est verticale ou horizontale ?
si f '(t) est non nul, la pente de la tangente est m = g'(t)/f '(t), celle de la normale (n) sera -1/m si m est non nul, donc si g'(t) distinct de zéro. Sinon, la tangente est "horizontale" et la normale est "verticale". si f '(t) = 0 et g'(t) ? 0 : il faut étudier de façon précise l'annulation de f ' au point t.Comment trouver la tangente horizontale ?
pour avoir une tangente horizontale il faut que y'(t)=0 et que x'(t) différent de 0. 1- (1/t²)=0 et je trouve t=1 ou t=-1 mais comme pour 2t - (2/t²)=0 je trouve t=1, il ne faut donc prendre que t=-1 (à t=-1 j'ai donc une tangente horizontale).- (a) La courbe Cf admet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s'annule, c'est à dire en ?2 et en 1 3 (b) L'équation de la tangente en 1 est T : y = f(1)(x ? 1) + f(1).
![6. Études de courbes paramétrées 6. Études de courbes paramétrées](https://pdfprof.com/Listes/17/24634-17ANALY6.PDF.pdf.jpg)
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES41
6. Études de courbes paramétrées6. Études de courbes paramétrées
6.1.Définitions
Remarques
La courbe (C) n'est pas
nécessairement le graphe d'une fonction ; c'est pourquoi on parle de courbe paramétrée et non pas de fonction paramétrée.On peut parfois, en éliminant
le paramètre t entre les deuxéquations, obtenir y comme
fonction de x, et ramener l'étude de la courbe à celle d'une courbe définie par unerelation y = h(x). Soit deux fonctions f et g définies sur le même sous-ensemble D⊂ℝ. Le point M(t) de
coordonnées (f (t) ; g(t)) décrit un sous-ensemble (C) du plan lorsque t varie dans un intervalle I. Une représentation paramétrique d'une courbe (C) est un système d'équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d'un paramètre (souvent noté t, k, , ...). (C) : {x=ft y=gtCes équations sont appelées équations paramétriques de (C).On note parfois également
{x=x(t) y=y(t) Pour que cette définition ait un sens, il faut que x(t) et y(t) existent simultanément. C'est pourquoi le domaine de définition D de la courbe (C) est l'intersection des domaines de définition Dx et Dy des fonctions x(t) et y(t). On a donc D=Dx∩Dy. Exercice 6.1Soit a et b deux nombres réels. Trouvez le domaine de définition de la courbe paramétrée : {x=t-a y=b-t6.2.Exemple de courbes paramétrées : figures de LissajousJules Antoine Lissajous
(1822 - 1880) {x=sin5t y=cos3t, t∈[0;2π[Les figures de Lissajous (ou courbes de Bowditch) sont de la forme : {x=asint2 et n≥1
En électronique, on peut faire
apparaître des figures de Lissajous sur un oscilloscope.Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
6.3.Asymptotes
Asymptote verticale
Asymptote verticale x = 1On obtient une telle asymptote lorsque x tend vers une valeur finie a et y tend vers une valeur infinie. limtt0 xt=a, avec a∈ℝlimtt0yt=±∞ L'asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a. Si x(t) - a est positif, la courbe est à droite de l'asymptote, sinon elle est à gauche.La courbe coupe l'asymptote lorsque x(t) = a.
Asymptote horizontale
Asymptote horizontale y = 1.5Cette fois, x tend vers l'infini et y tend vers une valeur finie b lorsque t
tend vers t0. limtt0 xt=±∞ limtt0yt=b, avec b∈ℝL'asymptote horizontale est une droite qui a pour équation y = b.
Si y(t) - b est positif, la courbe est en dessus de l'asymptote, sinon elle est en dessous.La courbe coupe l'asymptote lorsque y(t) = b.
Asymptote oblique
Asymptote oblique y = x 1
Si m = , il n'y a pas d'asymptote
oblique.Une asymptote oblique ne peut exister que si x et y tendent tous deux vers l'infini lorsque t tend vers t0. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. limtt0 La droite y = mx + h est une asymptote oblique si : m=limtt0yt xt∈ℝ Ces formules sont analogues à celles rencontrées au chapitre 5, page 33. La position de la courbe est donnée par le signe de y(t) - mx(t) - h. Si cette expression est positive, la courbe est en dessus de l'asymptote, sinon, elle est en dessous.AnalyseDidier Müller, 201742
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES43
6.4.Dérivées et points particuliers
DérivéesLes valeurs de t décrivant le domaine d'étude, on étudie, lorsque c'est possible, le signe
des dérivées dx dt et dy dt. Comme pour les fonctions d'une seule variable (voir chapitre 5), on présentera les résultats sous forme d'un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnant les variations de x et y (voir § 6.6).Calcul de
dy dxOn peut écrire : m=y'x=y't x'tdy dx donne la pente de latangente à la courbe.Regardons deux points voisins de la courbe : M(t0) et M(t0 + ). La droite passant par
ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t0) lorsque tend vers zéro.
La pente de la droite passant par M(t0) et M(t0 + ) est :mt0;=yt0-yt0
Lorsque tend vers 0, la pente tend vers dy dtt0 dx dtt0=dy dxt0. Points particuliersSi x' (t0) g 0 et y' (t0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t0). Si x' (t0) = 0 et y' (t0) g 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t0). Si x' (t0) = 0 et y' (t0) = 0, la courbe admet un point singulier en M(t0). On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de y't x'tpour les valeurs de t figurant déjà dans ce tableau.6.5.Méthode
L'étude d'une courbe paramétrée comprend six étapes.1.Domaine de définition
2.Asymptotes
3.Dérivées et tableau de variation
4.Points particuliers
5.Intersection avec les axes
6.Représentation graphiqueDéterminer le domaine D où la courbe est définie.
Déterminer, s'il y en a, les A.V, les A.H et les A.O.Calculer dx
dt, dy dt et dy dx. Faire le tableau de variation. Déterminer, s'il y en a, les points à tangente verticale, les points à tangente horizontale et les points singuliers. Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singuliers, i.e. m=limtady dxtTrouver les t qui satisfont x(t) = 0 et y(t) = 0.
Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à5. Il n'est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faire
un dessin plus précis.Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
Comment remplir le
tableau de variationLes flèches indiquent
comment évolue la courbe en fonction de t.1.Commencez par écrire dans l'ordre croissant les valeurs de t trouvées auxétapes précédentes, de à . Prenez soin de laisser une colonne vide entre
les valeurs de t.2.Outre la première ligne que vous venez d'écrire, le tableau en comprendra cinq
autres (ou seulement quatre s'il n'y a pas de point singulier).Dans l'ordre : x, dx
dt, y, dy dt, dy dx.3.Hachurez les colonnes où la courbe n'existe pas.
4.Remplissez la ligne
dx dt avec des +, des - et des 0.5.Dans la ligne x, mettez des r au-dessus des + et des t au-dessus des -.
6.Remplissez la ligne dy
dt avec des +, des - et des 0.7.Dans la ligne y, mettez des s au-dessus des + et des q au-dessus des -.
8.Notez les coordonnées des points où t est donné (s'ils existent).
9.S'il y a des points singuliers, notez dans la ligne dy
dx la valeur de la pente.Comment dessiner
la courbe1.Dessinez d'abord les asymptotes et les points connus.2.Dessinez ensuite la courbe en lisant le tableau de gauche à droite. Regardez
comment évoluent les coordonnées des points en fonction de t.3.Notez sur le dessin les valeurs de t aux endroits remarquables.
6.6.Deux exemples complets
Premier exemple
Étudions la courbe
{x=t2 t-1 y=t t2-11.Domaine de définitionL'ensemble de définition de la courbe est D = ℝ\ {1 ; 1}.2.AsymptotesQuand t∞, il y a une A. H., car
limt∞yt=0Quand t-∞, il y a une A. H., car
{limt-∞ xt=-∞ limt-∞ yt=0Quand t = 1 : {limt-1xt=-1 2 t-1yt=-∞ limt-1 t-1yt=∞Il y a donc une A. V. quand t = 1.
AnalyseDidier Müller, 201744
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES45
Quand t = 1, il y a une A. O. :{limt1xtn'existepas,car {limt1 t1xt=-∞ limt1 t1xt=∞ limt1ytn'existepas,car {limt1 t1yt=-∞ limt1 t1yt=∞Calcul de mm=limt1t
t2-1 t2 t-1=limt11 t1 t1=limt1t
t1=1 2Calcul de h
h=limt1 t t2-1-12⋅t2
t-1=limt12t-t2t1
2t2-1=limt1
-t3-t22t2t2-1=
1 t-1t1=12limt1-t2-2t
t1=12⋅-3
2=-3 4L' A. O. a donc pour équation y=1
2x-3 4.3.Dérivées et tableau
de variations dx dt=2tt-1-t2 t-12=t2-2t t-12=tt-2 t-12 s'annule en t = 0 et t = 2. dy dt=t2-1-2t2 t2-12=-t2-1 t2-12=-t21 t2-12 ne s'annule pas. dy dx=-t21 t2-12⋅t-12 tt-2=-t21 tt-2=-t21 tt-2t12ne s'annule pas. Les valeurs de t intéressantes sont t = -1, 0, 1 et 2 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Il faut aussi voir ce qui se passe quand t r o. t- -1012+ x- -120AA4+
dx dt++00+ y00 230+
dy dt--1--5A. H.A. V.tangente A. Otangente A. H.
verticaleverticale4.Points particuliersEn inspectant le tableau ci-dessus, on s'aperçoit qu'il n'y a pas de point singulier, mais
deux points à tangente verticale.5.Intersection avec
les axes Il y a une seule intersection en t = 0. Le point d'intersection est (0 ; 0).Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
6.Représentation
graphiqueEn bleu, les trois asymptotes.Second exemple
Étudions la courbe {x=2t-1
t2 y=2tt21.Domaine de
définitionL'ensemble de définition de la courbe est D =2.Asymptotes Il y a une asymptote horizontale quand t = 0, puisque
{limt0xt=-∞ limt0yt=0Il n'y a pas d'asymptote quand t±∞.
3.Dérivées et tableau
de variations dx dt=22 t3 s'annule en t = 1. dy dt=22t s'annule en t = 1. dy dx=1t11
t3=1t t31 t3=t3t1 t31=t3t1 t2-t1 ne s'annule jamais.Les valeurs de t intéressantes sont t = -1 et 0 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Il faut
aussi voir ce qui se passe quand t r o.AnalyseDidier Müller, 201746
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES47
t- -10+ x- -3A+ dx dt+0+ y+ -10+ dy dt0+2+ dy dx-1 3Point Asymptote
singulier horizontale4.Points particuliersEn inspectant le tableau, on s'aperçoit qu'il y a un point singulier en t = 1. Il est utile
dans ce cas de calculer dy dx-1 pour connaître la pente de la tangente en ce point.5.Intersections avec
les axesxt=0⇒t=132 qui correspond au point (0 ; 2.22) yt=0⇒t=-2 qui correspond au point (4.25 ; 0)6.Représentation
graphiqueEn esquissant le dessin de cette courbe, on s'apercevra que cette courbe contient un point double. Pour le calculer, il faut résoudre {xt=xs yt=ys avec t≠s.Ce n'est en général pas facile ! En résolvant le système avec Mathematica, on a trouvé
t=-1- 2et s=-12. Ces deux valeurs correspondent au point (5 ; 1).Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
Exercice 6.2Étudiez et dessinez les courbes suivantes selon les exemples du § 6.6. a. {xt=t2 yt=t3b. {xt=t21t2
yt=t31t2
c. {xt=3t1t3
yt=3t21t3 d.{xt=3t
1t3
yt=3t21t2e.
{xt=e-t t yt=1 tt-1f.{xt=e-t t yt=1 tt2g. {xt=lnt t yt=a1-cost (a > 0) i. {x(t)=acos3(t) y(t)=asin3(t) (a > 0)j.{x(t)=acos3(t) y(t)=asin(t) (a > 0)6.7.Ce qu'il faut absolument savoir
Trouver les asymptotes d'une courbe paramétrée ok Trouver les points particuliers d'une courbe paramétrée ok Connaître les six étapes de la méthode par coeur ok Maîtriser parfaitement chaque étape de la méthode ok {x(t)=sin3(t) y(t)=cos(t)-cos4(t)AnalyseDidier Müller, 201748
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