[PDF] Probabilités 1 Expérience aléatoire-Loi de probabilité sur un

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Seconde-coursProbabilit´es1 Exp´erience al´eatoire-Loi de probabilit´e sur un ensemble fini

D´efinition : Exp´erience al´eatoire

Une exp´erience est dite al´eatoire si elle a plusieurs issues (ou r´esultats) possibles que l"on peut ni

pr´evoir, ni calculer. L"ensemble de toutes les issues possibles est appel´e l"univers.

Notation usuelle : On note Ω ={x1;x2;x3;....;xn}l"ensemble des issues possibles.Exemple 1: cas du d´e

On dispose d"un d´e ´equilibr´e `a six faces num´erot´ees de 1 `a 6 et on lance ce d´e en notant le r´esultat

obtenu. Quelle est l"ensemble des r´esultats possibles??Solution: Les r´esultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.Compl´eter alors Ω ={....}.?Solution: Ω ={1;2;3;4;5;6}.D´efinition : Loi de probabilit´es-loi ´equir´epartie

D´efinir une loi de probabilit´e sur l"ensemble Ω, c"est associer `a chaque issuexiun nombrepitel que

Sip1=p2=p3=...=pn=1n

, la loi de probabilit´e est une loi ´equir´epartie.Remarque : On peut pr´esenter les probabilit´es associ´ees aux issues possibles sous forme d"un tableau :

issuex 1x

2............x

nprobabilit´ep 1p

2.....p

nExemple 2: loi de probabilit´e

Quelle loi de probabilit´e peut-on d´efinir correspondant `a la situation de l"exemple 1??Solution:

Le d´e est ´equilibr´e donc chaque face a autant de chances de sortir que les autres.issue123456

probabilit´e1 61
61
61
61
6

2 Mod´elisation d"une exp´erience al´eatoire-Loi des grands nombres

Mod´elisation : Choisir une loi de probabilit´e sur l"ensemble Ω revient `a d´efinir les nombrespiqui

repr´esentent le mieux les chances de r´ealisation de chacune des issuesxi.D´efinition : Loi des grands nombres

Si on r´ep`etenfois une exp´erience al´eatoire d"univers Ω ={x1;x2;x3;....;xn},la fr´equence d"apparition

de chaque issuexise rapproche de la loi de probabilit´e quandndevient tr`es grandExemple 3: cas du d´e

Lancer le d´e 10 fois de suite et compl´eter le tableau suivant :r´esultat123456 nombre d"apparitions231213 fr´equence (total de la ligne=1)2 10 = 0,20,30,10,20,10,3 1/4 Seconde-coursProbabilit´esEn effectuant une simulation de 10000 lancers, on obtient : r´esultat123456 nombre d"apparitions165167168163169168 fr´equence arrondie aux dixi`emes165 1000
= 0,165?0,160,1670,1680,1630,1690,168 Avec les 10000 lancers la fr´equence d"apparition de chacune des faces se rapproche de la valeur 16 ?0,17. Plus le nombre de lancers est grand, plus les fr´equences se rapprochent de 16 On peut d´efinir la loi de probabilit´e suivante :r´esultatxi123456 probabilit´epi1 61
61
61
61
61
6

3 Ev´enements-probabilit´e d"un ´ev´enement

D´efinition : ´ev´enement

Un ´ev´enement est un sous ensemble (une partie) de l"ensemble Ω des issues possibles d"une exp´erience

al´eatoire

Un ´ev´enement ´el´ementaire est un sous-ensemble de Ω constitu´e d"une seule issue.D´efinition : probabilit´e d"un ´ev´enement

La probabilit´e d"un ´ev´enement est la somme des probabilit´es des ´ev´enements ´el´ementaires qui le r´ealise.

Par exemple, si A est l"´ev´enementA={x1;x2;x3}alorsp(A) =p1+p2+p3.Propri´et´e : cas d"une loi ´equir´epartie

Dans le cas d"une loi ´equir´epartie, la probabilit´e d"un ´ev´enement A est p(A) =nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

Exemple 4: avec le d´e (voir exemple1)

Soit A l"´ev´enement"Obtenir un r´esultat pair».

Quel est l"ensemble A??Solution:

A={2;4;6}Quel est la probabilit´e de A?

?Solution: p(A) =p(2) +p(4) +p(6) =36 De mˆeme, B est l"´ev´enement"Obtenir un r´esultat inf´erieur ou ´egal `a 3».

Quel est l"ensemble B??Solution:

B={1;2;3}Quel est la probabilit´e de B?

?Solution: p(B) =p(1) +p(2) +p(3) =36 2/4 Seconde-coursProbabilit´es4 Vocabulaire des ´ev´enements

D´efinitions

Ω est l"´ev´enement certain.

?est l"´ev´enement impossible.Aest l"´ev´enement contraire de A et est compos´e de toutes les issues de Ω qui ne sont pas contenue

dans APropri´et´es p(?) = 0 p(Ω) = 1 p(A) = 1-p(A)Exemple 5

Avec l"exemple du d´e :

1.citer un ´ev´enement impossible.

?Solution: L"´ev´enement :"obtenir 7»2.D´ecrire l"´ev´enementApuis donnerp(A).

rappel : A est l"´ev´enement"Obtenir un r´esultat pair».?Solution:Aest l"´ev´enement contraire de A

doncA:"obtenir un r´esultat impair» ou bienA={1;3;5} p(A) =p(1) +p(3) +p(5) =36 ou bien p(A) = 1-p(A) = 1-36 =36 = 0,55 Intersection-r´eunion

D´efinition : intersection-r´eunion

Soient A et B deux ´ev´enements.

L"´ev´enementA∩B(lire A inter B) est l"ensemble des issues qui r´ealisent `a la fois AetB.

Lorsqu"aucune issue ne r´ealise A et B, c"est `a direA∩B=?, on dit que A et B sont incompatibles.

L"´ev´enementA?B(lire A union B) est l"ensemble des issues qui r´ealisent A ou bien B, c"est `a dire

r´ealisant A ou bien r´ealisant B ou bien r´ealisant A et B.Propri´et´e : probabilit´e deA?BSoient A et B deux ´ev´enements.

p(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B) (voir sch´ema ci-dessous) Si A et B sont incompatibles (A∩B=?), on a alorsp(A?B) =p(A) +p(B) (carp(A∩B) = 0)3/4 Seconde-coursProbabilit´esExemple 6: avec le d´e

Rappel :A={2;4;6}etB={1;2;3}1.D´ecrire l"´ev´enementA∩Bpuis calculer la probabilit´ep(A∩B).?Solution:

A∩B:"Obtenir un r´esultat pairetinf´erieur ou ´egal `a 3» soitA∩B={2} p(A∩B) =16

2.D´ecrire l"´ev´enementA?Bpuis calculer la probabilit´ep(A?B).?Solution:

A?B:"Obtenir un r´esultat pairouinf´erieur ou ´egal `a 3» soitA?B={1;2;3;4;6} p(A?B) =56 on peut aussi utiliser : p(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B) =36 +36
-16 =56

3.D´eterminer un ´ev´enement C tel quep(A∩C) = 0?Solution:

Si C :"obtenir 5»alorsA∩C=?

et doncp(A∩C) = 0?Solution: rappel :A={2;4;6}etp(A) =36 =12

C={3}etp(A) =16

AetCsont incompatibles carA∩C=?

doncp(A∩C) = 0 etp(A?C) =p(A) +p(C) =36 +16 =46 =23

Remarque :A?C={2;3;4;6}doncp(A?C) =46

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