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Analyse combinatoire

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

6 mars 2008

1 Le but de l'analyse combinatoire (techniques de denombrement) est d'ap- prendre a compter le nombre d'elements d'un ensemble ni de grande cardinalite.

Notation : la cardinalite d'un ensemble

, noteecard( ) =j j= # , est le nombre d'elements contenus dans l'ensemble .Analyse combinatoire 2

1. Principe de multiplication

Permet de compter le nombre de resultats d'experiences qui peuvent se decomposer en une succession de sous-experiences. Principe : suppose qu'une experience est la succession demsous-experiences. Si laieme experience aniresultats possibles pouri= 1;:::;n, alors le nombre total de resultats possibles de l'experience globale est n= mi=1ni=n1n2:::nm:Analyse combinatoire 3 Exemple : Vous achetez une valise a code 4 chires. Combien de possibilites avez-vous de choisir un code? Reponse :m= 4avecn1= 10,n2= 10,n3= 10,n4= 10, donc le nombre total de code possible est10101010 = 104. Exemple : les plaques mineralogiques aux U.S.A. sont formees de 3 lettres, suivies de 3 chires. Quel est le nomb rede plaques m ineralogiquesp ossibles? Quel est le nomb rede plaques qui commencent pa rla lettre U ?Analyse combinatoire 4

2. Permutations

Denition : une

p ermutation de nelementsdistincts e1;:::;enest un rearrangement o rdonne sans r epetition de ces nelements. Exemple : "a", "b" et "c" sont trois elements. Les arrangements possibles sont abc;acb;bac;bca;cab;cba:

Le nombre d'arrangements est donc 6.

Notation : La fonction `factorielle' est la fonction de domaineN=f0;1;2;:::g qui a toutn2 Nassocien! =n(n1):::321. Ainsi0! = 1,1! = 1,2! = 2,3! = 6,:::,10! = 306280800.Analyse combinatoire 5 Le nombre de permutations denelementsdistincts est n!. Demonstration : par application du principe de multiplication a une experience anetapes :

1 ere etape: n1=nchoix possibles.

2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.

{nieme etape :nn= 1choix possible. Exemple : 4 Americains, 5 Suisses et 7 japonais doivent s'asseoir sur un m^eme banc, et doivent rester groupes par nationalite. Combien y a-t-il de dispositions possibles?

Reponse :3!4!5!7!.Analyse combinatoire

6

Denition : Un

a rrangement est une p ermutationde kelements pris parmi nelementsdistincts ( k6n). Les elements sont prissans r epetitionet sont ordonnes Notation : le nombre de permutations dekparminest noteAn;k. Exemple : les arrangements de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsont

Il y en a 12.

Peut-on trouver une formule pour compter le nombre d'arrangements?Analyse combinatoire 7 Il s'agit encore du principe de multiplication a une experience aketapes :

1 ere etape: n1=nchoix possibles.

2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.

{kieme etape :nk= (nk+ 1)choix possible.

Donc :

A n;k=n(n1)(nk+ 1) =n(n1)(nk+ 1)(nk)(nk1)21(nk)(nk1)21:

Le nombre d'arrangements est :

A n;k=n!(nk)!:Analyse combinatoire 8

Exemple : Combien de mots de 3 lettres

distinct es p euvent^ etrefo rmesdans un alphabet de 26 lettres?

Reponse :A26;3= (26)(25)(24) = 150600.

Exemple : Combien de mots de 3 lettres peuvent ^etre formes dans un alphabet de 26 lettres? Reponse :263= 170576, naturellement plus de possibilite qu'avec les arrange- ments.Analyse combinatoire 9

3. Combinaisons et coecients binomiaux

Denition : Un

combinaison de kelements pris dans un ensemble anelements distincts est un sous-ensemble akelements de cet ensemble. Les elements sont pris san sr epetition et ne sont pas o rdonnes Notation : le nombre de combinaisons dekparminest noteCn;koun k qui est appele coecient binomial. Exemple : les combinaisons de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsont f1;2g;f1;3g;f1;4g;f2;3g;f2;4g;f3;4g:

Il y en a 6.

Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de combinaisons?Analyse combinatoire 10 Dans un sous-ensemble, les elements ne sont pas ordonnes, au contraire d'un arrangement. Par consequence, a chaque sous-ensemble correspondk!arrangements, donc : C n;k=An;kk! n!k!(nk)!: Exemple : on a 15 medicaments et on veut tester leur compatibilite en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles?

Reponse :C15;4=15!4!11!

= 10365possibilites.Analyse combinatoire 11

Proprietes :

{Cn;k=Cn;nk

F ormulede r ecurrenceCn;k=Cn1;k1+Cn1;k.

Demonstration : Soit

=fw1;:::;wng. Le nombreCn;kest le nombre de sous-ensembles de de cardinalitek. Soit kcet ensemble de sous- ensembles; il se decompose en l'union de deux ensembles disjoints : k= k;w1=a[ k;w16=a Orj kj=j k;w1=aj+j k;w16=aj j k;w1=aT k;w16=aj. Doncj kj=Cn1;k1+Cn1;k0. Le tr ianglede P ascalest une cons equencede la f ormulede r ecurrence: Analyse combinatoire 12 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 etc... 1 1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1.........Analyse combinatoire

13 Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de ca rdinaliten? fe1,e2,:::,engoui non oui non :::oui non soit un total de2nsous-ensembles.

Le b in^omede Newton : (x1+x2)n=Pn

k=0n k x k1xnk2.Analyse combinatoire 14

4. Coecients multinomiaux

Le but est de decouper un ensemble denelements enrsous-ensembles de taillesn1;n2;:::;nr, tels quen1+n2+:::+nr=n, et de determiner le nombre de decoupages possibles. Exemple : L'ensemblef1;2;3;4gen 3 sous-ensembles de tailles 2, 1 et 1.

Il y en a 12.

Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de decoupage?Analyse combinatoire 15

On applique le principe de multiplication :

il y a Cn;n1choix pour le premier sous-ensemble il y a Cnn1;n2choix pour le deuxieme sous-ensemble il y a Cnn1:::nr1;nrchoix pour lerieme sous-ensemble

Soit au total :

C n;n1Cnn1;n2Cnn1:::nr1;nr n!n

1!(nn1)!(nn1)!n

2!(nn1n2)!(n(n1 nr1))!n

r!(n(n1 nr))! n!n

1!n2!nr!=:n

n

1;n2;;nr

:Analyse combinatoire 16

Proprietes :

Quand r= 2, on retrouve le coecient binomial puisque n k;nk =n k =n nk

Th eorememultinomial

(x1++xr)n=X n

1;:::;nr:Pri=1ni=n

n n

1;n2;;nr

x n11xn22xnrr:Analyse combinatoire 17 Exemple : Quatre joueurs Georges, Jacques, Tony et Angela recoivent 13 cartes d'un jeu de 52. Combien y a-t-il de repartitions possibles des cartes entre ces 4 joueurs?

Reponse :52

13;13;13;13

52!(13!)

45:361028.

Exemple : Une usine delocalise et envoie les employes d'un bureau d'etude de 23 personnes dans un bureau de 13 personnes en Chine, et deux bureaux de 5 pesonnes en Pologne et Irlande. Combien de groupes peuvent ^etre formes?

Reponse :23

13;5;5

.Analyse combinatoire 18

4. Applications

P1 : Quatre couples doivent ^etre assis dans une rangee de 8 chaises.

Combien y a-t-il de facon de le faire si :

Il n'y a pas de contraintes.

R :8! = 400320

Les hommes doivent rester ensemble et les femmes au ssi.

R :2(4!)2= 10152

Les hommes doivent rester ensemble.

R :5(4!)2= 20880

Chaque couple ma riedoit rester ensemble.

R :24(4!) = 384Analyse combinatoire

19 P2 : Combien de mots dierents (qui ont un sens ou non) peut-on former avec les lettres des mots suivants? v elos papier banane minimum Analyse combinatoire 20 P3 : on verra que, pour des evenements elementaires equiprobables, la probabilite d'un evenementGest donnee par : P(G) =Nombre de cas favorables pour Gnombre de cas possibles Exemple : on lance une piece de monnaie equitable deux fois de suite. Quelle est la probabilite que deux resultats soient identiques?Analyse combinatoire 21
R : L'univers (ensemble des cas possibles) de l'experience est =f(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)g: Doncj j= 4. L'ensemble "les deux resultats sont identiques" est

G=f(P;P);(F;F)g;

de cardinalitejGj= 2. Donc la probabilite que deux resultats soient identiques est

P(G) =jGjj

j=24 = 0:5Analyse combinatoire 22
Exemple : Il y anpersonnes dans une classe. Quelle est la probabilite de l'evenementG="au moins deux personnes ont le m^eme anniversaire"?

R : L'univers est

=f1;2;:::;365gn de cardinalitej j= 365n. Plut^ot que de travailler avec l'ensembleG, travaillons avec son complementaireGc="lesnanniversaires sont distincts".

Cet ensemble a pour cardinalitejGcj=A365;n, donc

P(Gc) =A365;n365

n; et par consequentP(G) = 1P(Gc) = 1A365;n365 n.

Q : Cette formule marche-t-elle pourn >365?

Q : A partir de quelle valeur dencette probabilite est superieure a 0.5?Analyse combinatoire 23
Exemple : On repetenfois le lancer de deux des. Calculer la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois. Quelle valeur donner anpour que cette probabilite atteigne 1/2? La probabilite que le 6 n'apparaisse pas est52=62pour un jet. Par le principe de multiplication, la probabilite que le 6 n'apparaisse pas dans njets est(52=62)n. Donc la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois dansnjets est

1(5=6)2n:

Pour que cette probabilite soit superieure a 1/2, il faut quen>?.Analyse combinatoirequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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