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Universit´e Paris 13 M1 : de l"arithm´etique `a la th´eorie des nombres

Exercices sur les nombres premiers

Exercice 1. -D´eterminer les nombres premiersptels quep+ 2etp+ 4soient premiers. Exercice 2. -D´eterminer les nombres premiersptels quepdivise2p+ 1. Exercice 3. -Soitpun nombre premier impair. Montrer qu"il existe une infinit´ed"entiers ntels quepdivisen2n+ 1. Exercice 4. -Pour toutn2, construire un intervalle[N,N+n]ne contenant aucun nombre premier. Exercice 5. -En utilisant l"´ecriture deζ(s)en produit Eul´erien, montrer que la s´erie? p?Pp-1diverge; en particulierest infini. Exercice 6. -Soitp3premier et soitMp= 2p1le nombre de Mersenne associ´e. (a) Montrer que siqest un diviseur deMpalorsq1 mod 2petq 1 mod 8. (b) Montrer que3est un r´esidu quadratique modulop= 2,3si et seulement sip 1 mod 12. (c) Montrer que pourp >3premier non congru `a1modulo12, on a le petit th´eor`eme de Fermat suivant dansZ[ 3]: (x+y

3)pxy3 modp.

(d) Montrer queMpest premier si et seulement si (2 +

3)2p-1 1 modMp.

(e) Soit(Li)i≥0la suite de Lucas-Lehmer d´efinie par L

0= 4etLi+1=L2i2 modMp.

Montrer queMpest premier si et seulement siLp-20 modMp. Exercice 7. -Soientn2etaZtels quean= 1. Montrer quenest premier si et seulement si (X+a)nXn+amodn. 1 2

1Le seul nombre premier v´erifiant la condition de l"´enonc´eest 3. En effet, soitpun nombre

premier tel quep+ 2 etp+ 4 soient premiers. Si l"on ap1 mod 3, (resp.p2 mod 3), alorsp+ 2 (resp.p+ 4) est divisible par 3. Les entiersp+ 2 etp+ 4 ´etant distincts de 3, on a doncp0 mod 3, puisp= 3. Par ailleurs, 5 et 7 sont premiers.

2Il n"y a quep= 3. En effet, soitpun nombre premier divisant 2p+ 1. D"apr`es le petit

th´eor`eme de Fermat,pdivise 2p2, d"o`up= 3.

3Les entiersnde la forme (p1)(1 +kp), o`ukest un entier naturel, conviennent. En effet,

pour un tel entiern, on an 1 modp. Par ailleurs,p1 divisenet l"on a 2p-11 modp, donc on a 2n1 modp. Il en r´esulte quen2n+ 10 modp, d"o`u le r´esultat.

4PourN=n! + 2, l"intervalle [N,N+ (n2)] ne contient aucun nombre premier.

5Si la s´erie?

p?P1

pconverge alors la s´erie des log(11/p) converge aussi et donc le produit?(11/p)-1converge. On en d´eduit alors que la s´erie?

n1/nconverge, ce qui est faux.

6(a) Siqest un diviseur deMpalors l"ordre de la classe de 2 dansZ/qZest ´egale `apqui doit

diviserq1 et doncq1 modp. Commeqest impair, on a aussiq1 mod 2pet donc 2 est un carr´e moduloqsoitq 1 mod 8. (b) D"apr`es la loi de r´eciprocit´e quadratique, ( 3 p)(p3) = (1)(p-1)/2et donc 3 est r´esidu quadratique modulopsi et seulement si (p

3) = (1)(p-1)/2. Le seul carr´e modulo 3 autre que

0 est 1, soitp1 mod 3 etp1 mod 4 ou bienp2 mod 3 etp3 mod 4, soit en

d´efinitivep 1 mod 12. (c) Par hypoth`ese 3 n"est pas un carr´e modulopet par cons´equent

3p= 3(p-1)/23 3

modpet donc (x+y

3)pxy3 modp.

(d) Supposons alorsMqpremier : en remarquant que 2 est un carr´e moduloMq, on d´efinit dansZ[

3]/(Mq) :τ=1+⎷3⎷2et ¯τ=1-⎷

3⎷2.`A partir des relationsτ2= 2 +3 etτ¯τ=1 :

p= ¯τsoitτp+1=1 ce qui donne la congruence de l"´enonc´e (τ2)(p+1)/2 1 modpcar

2= 2 +

3. (e) Soitα= 2 +

3 et ¯α= 23, en remarquant queα¯α= 1, on montre ais´ement par

r´ecurrence queLi=α2i+¯α2i; la congruenceLi0 modnest ainsi ´equivalente `aα2i+1 1 modn, d"o`u le r´esultat.

7On a d´ej`a vu que pourppremier et pour tout 1k < p, le coefficient binomial?p

k? est divisible parp. Il reste donc `a ´etudier la r´eciproque. Supposons donc que pour tout

1in1, on ait?n

i?0 modn. Regardons alors les congruences modulondes?n-1 i?.

Pouri= 1, on a?n-1

1?=n1 1 modn. De la formule de Pascal

?n1 i? +?n1 i+ 1? =?n i+ 1? et de l"hypoth`ese ?n i?0 modnpour tout 1in1, on en d´eduit par une r´ecurrence simple que pour tout 1in1 ?n1 i? (1)imodn. Soit alorsdun diviseur strict den. Rappelons la relationd?n d?=n?n-1 d-1?que l"on interpr`ete combinatoirement comme le nombre de choisirdpersonnes parminet de nommer un chef parmi eux : pour ce faire on peut soit commencer par choisir legroupe puis le chef, ou 3

inversement choisir le chef puis le reste du groupe. D"apr`es ce qui pr´ec`ede on doit donc avoir?n

d?

0 modnetn

d? d1 n1? =nd(1)d-1, soit n d(1)d-10 modnce qui n"est possible que pourd= 1, i.e.nne poss`ede qu"un unique diviseur strict et est donc premier.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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