Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exemple : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 9 est l'équation d'un cercle centré en Trouver la tangente à un cercle r par un point T du cercle.
Système de coordonnées
r représente la distance du point au pole. Donc la courbe r = 2 est le cercle de centre O et rayon 2. En général
PHY-144 : Introduction à la physique du génie Chapitre 6
Un radian est l'angle pour lequel l'arc de cercle sous-tendu par Dans les deux exemples précédents nous avons pu constater qu'un point
Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
Cercle passant par 3 points (Obs. Lyon - phm - 2006/02/05 - cercle_3pts.wpd). 1/2 Le centre du cercle est à l'intersection des deux droites.
LE PROBLEME DE NAPOLEON : Comment retrouver le centre dun
Placer sur ce cercle deux points A et. B non diamétralement opposés. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr.
LE CERCLE – Définitions et vocabulaire
Un rayon est un segment qui rejoint le centre du cercle O
Cours de mathématiques - Exo7
s'intersectent en deux points C D. Les points C
PHQ114: Mecanique I
30 mai 2018 2 Mouvement d'un point. 9. A. Mouvement en une dimension . ... des z comme axe de rotation et l'origine au centre du cercle. Au temps t = 0 ...
Fonctions de deux variables
Pour f := (xy) ?? x2 + y2
[PDF] Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
5 fév 2006 · Le Soleil et la Lune étant assimilé à des cercles la mesure de trois points permet de définir ces valeurs par un calcul algébrique à partir de
[PDF] Etude analytique du cercle - AlloSchool
I) EQUATION D'UN CERCLE Définition :Soient ? un point et un réel positif le cercle de centre ? et de rayon est l'ensemble des points dans le plan
[PDF] Chapitre 1 - La droite et le cercle
D´EFINITION 2 Le cercle de centre O et de rayon R est le lieu géométrique des points `a distance R de O TH ´EOR `EME 1 ´Etant donné un point O = (a b) l'
le cercle et le calcul des coordonnées de son centre - Gerard Villemin
Cercle passant par DEUX points Coordonnées de son centre Comment résoudre le cercle selon le minimum de connaissance que nous en avons
Fiche explicative de la leçon : Équation dun cercle - Nagwa
Il est donc possible de trouver deux points du cercle qui ont la même Le cercle de centre ( 0 ; 0 ) et de rayon r est décrit par l'équation x + y
Fiche explicative de la leçon : Positions de points droites et cercles
Un segment allant du centre à un point sur le cercle est appelé un rayon pour trouver M A en réarrangeant l'équation : 2 M A = 1 8 + 5 6 2 M A
[PDF] Intersection de deux cercles dans le plan - Loria
17 déc 2001 · Il s'agit en général de déterminer les deux points P et Q connaissant x = c/a; en utilisant l'équation du cercle de centre B il vient :
[PDF] LE CERCLE – Applications et problèmes - CORRIGÉ
Trouver le point milieu F de D 15 Tracer la médiatrice de CD 16 Le centre O du cercle est formé par l'intersection des deux médiatrices b Cercle #2
Comment trouver le centre d'un cercle avec 2 points ?
Tracez une ligne droite qui coupe le cercle en deux points A et B (la corde du cercle). Tracez le centre C de la corde AB. Tracez la perpendiculaire à la ligne AB passant par le point C qui coupe le cercle en D et E (le diamètre du cercle). Déterminez le centre de la ligne DE qui sera aussi le centre du cercle.Comment déterminer le centre de cercle ?
Pour retrouver le centre d'un cercle, on doit:
1Tracer une corde AB.2Tracer la médiatrice du segment AB.3Tracer une autre corde CD.4Tracer la médiatrice de segment CD.5Le point de rencontre des deux médiatrices est aussi le centre du cercleComment trouver les coordonnées du centre d'un cercle circonscrit ?
En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle. On trace les médiatrices du triangle (il suffit d'en tracer deux). Leur point d'intersection O donne le centre du cercle circonscrit.- Un cercle est le lieu des points équidistants d'un point donné, appelé le centre du cercle. Cette distance fixe entre tout point du cercle et son centre est le rayon du cercle. En d'autres termes, un cercle est l'ensemble des points qui sont à une distance fixe de son centre.
![Système de coordonnées Système de coordonnées](https://pdfprof.com/Listes/17/24722-17polaires.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1 : 2D
Courbes Paramétrées et coordonnées polairesPartie 2 : Courbes polaires
Un système de coordonnées représente un point du plan par un couple de nombres (réels en général) appelés coordonnées.Systèmes de coordonnées dans un plan
Habituellement, on utilise des
coordonnées cartésiennes qui correspondent à des projections sur des axes perpendiculaires.On peut également utiliser un système de
coordonnées introduit par Newton, appelé système de coordonnées polaires.Pole et axe polaire
origine). Ontraceunrayon(demi-droite) partant deO, on l'appelle adže polaire. Cet axe est généralement tracé horizontalement vers la droite et correspond ă l'adže des abscisses (x) en coordonnéesCartésiennes.
O poleaxe polaireCoordonnées polaires
SiPestunpoint duplan(тO), soient :
rladistance deO àP.
radians) entrel'adže polaireetlaligne OP.SiP =O, alorsr =0, onconvient que
(0, ș) representelepole pourtoute valeurdeș.P estreprésentéparlecouple(r,ș).
r,șsontappeléscoordonnées polairesdeP. On étend la définition des coordonnées polaires(r,ș)au cas oùrest On convientque les points (-r,ș)et(r,ș)sont sur la même droite (radiale) passant par Oet à lamêmedistance | r | deO,maissur les côtés opposéspar rapport àO. Sir> 0, le point(r, ș) se trouve dansle mêmequadrant queș. Sir< 0,ilse trouvedansle quadrant situé du côtéopposépar rapport au pole.Notonsque(r, ș)
représentele même point que(r, ș+ ʌ).Coordonnées polaires
Exercice
Tracerlespoints de coordonnéespolaires:
a.(1, 5ʌ/4) b.(2, 3ʌ) c.(2, 2ʌ/3) d.(3, 3ʌ/4)Solution
Le point (1, 5ʌ/4) :
Le point (2, 3ʌ):
Le point (2, 2ʌ/3) :
Le point (3, 3ʌ/4) :
Il estsituédansle 4èmequadrant.
angle 3ʌ/4 estdansle secondquadrant
etrestnégatif.CARTÉSIENNES ET POLAIRES
En coordonnéesCartésiennes,chaquepointaune
représentationunique. Alorsque, encoordonnéespolaires,chaquepointa une infinité dereprésentations. Par exemple, le point (1, 5ʌ/4) deexercice précédentpeut : (1, 3ʌ/4), (1, 13ʌ/4), or(1, ʌ/4). Unpointde coordonnéespolaires(r, ș) (r, ș+ 2nʌ) et(-r, ș+ (2n + 1)ʌ)oùnestunentierrelatif quelconque. Lepassage descoordonnées polairesauxCartésiennesLe pole correspond àorigine.
polairecoincide avecdes abscisses positives.
Sile point P a pour coordonnées
polaires (r, ș), sescoordonnéesCartésiennes(x, y) sont :
cos sin xr yr TCARTÉSIENNES ET POLAIRES
Pour trouverretșquandx etysont connus,onutilise leséquations:
Elle sont déduitesdeséquations
précédentesousimplement"lues» sur lafigure.2 2 2tanyr x yx
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
Exercices
1.Convertirles coordonnées polaires dupoint (2, ʌ/3) en
coordonnées Cartésiennes.2.Représenterle point decoordonnées Cartésiennes(1, 1)
en termes de coordonnéespolaires.Solution 1
Puisquer= 2etș= ʌ/3,
Donc,le point est(1, ) en coordonnées Cartésiennes.1cos 2cos 2 1323sin 2sin 2. 332
xr yr T ST 3Solution 2
Sionchoisitr> 0:
Commele point (1, 1) se trouve dansle 4èmequadrant, onpeutchoisirș= ʌ/4ouș= 7ʌ/4.Aussi,uneréponsepossible est: ( , ʌ/4)
Uneautreréponsepossible est: ( ,7ʌ/4)
2 2 2 21 ( 1) 2
tan 1 r x y y x 22Base comobile
Le vecteur position du point M dans R: OMest souvent noté r, on noteurle vecteur unitaire de même direction: r= rur= r (cosux+ sinuy), uvecteur unitaire orthogonal à ur(sens direct). (M, ur, u) forme un repère orthonormé direct comobile. u= cos(+/2) ux+ sin(+/2) uy= -sinux+ cosuy On voit facilement, en dérivant les coordonnées de uret upar rapport à que : ORepère O, et de base
orthonormée directe (ux, uy). Le point Oest le pole et O,ux coordonnées polaires.Les coordonnées cartésiennes xet yen
fonction des coordonnées polaires ret ș:Courbespolaires
r= f(ș) [ou, plus généralement,F(r, ș
moins une représentation polaire (r, ș), dont les coordonnées r =2 ?cette courbe est constituée de tous les
points (r, ș) avec r = 2.r représente la distance du point
au pole.Donc, la courbe r = 2 est le cercle de
centre O et rayon 2.En général, équation r = areprésente
un cercle de centre O et rayon |a|.Exercice
Tracer la courbe polaire ș= 1.
Solution
Cettecourbe est constituéedetous lespoints (r, ș) tells que polaireșsoit1 radian. ladroitepassantparO et faisantun angle de1radian avec polaire.Notonsque :
Lespoints (r, 1) de
cettedroiteavecr> 0 sont dansle 1erquadrant.Les points (r, 1) avec r< 0 sont
dansle 3èmequadrant.Exercice
a.Tracerlacourbe polairer= 2 cos ș. b.Trouver une équationCartésiennedecettecourbe.Solution :
Pour commencer,nousindiquonslesvaleurs derpour certaines valeurs deș.On traceles pointscorrespondantpour (r, ș).
Puis, on jointcespoints pourtracerla
courbecommesuit.La courberessembleà un cercle.
On a seulementutilisé les valeurs deșcomprises entre0 et ʌsionlaisseșcroître au-delà deʌ, onretrouvelesmêmes points.La courbesembleêtreun cercle.
Pourconvertirpolaire enCartésienne, onutilise:
x= rcos ș,donccos ș= x/r.
quation r= 2 cos șdevientr= 2x/r.
Ce qui donne: 2x =r2= x2+ y2oux2+ y2 2x= 0
En complétantlecarré, onobtiend: (x 1)2+y2=1estcellecercle decentre(1, 0) et derayon1.
La figure montre que le cercle a
quationr =2 cosș.angle OPQestun angle
droit, doncr/2 =cos ș.Symétrie
Quandontrace une courbepolaire, ilest
quelquefoiscommode de tirer parti des symétries.Sipolaireestinvariante
lorsqueșestremplacéparș, lacourbe estsymétriquepar rapportpolaire.Lacourbeprécedentestsymétriquepar
polaire, puisquecos(ș)=cos ș. Cette propriété desymétrieaurait pu êtreutiliséepour tracerlacourbe. On a juste besoin de placer les points pour0 șʌ/2 et ensuite de faire une réflexion polaire pourobtenirle cerclecomplet.Autressymétries
Siéquation estinvariantelorsquerest
remplacéparr, ou quandșestremplacé parș+ ʌ, lacourbe estsymétriquepar rapportaupole.Ceci veut dire que lacourbe estinvariante
parrotationorigine.Siéquation estinvariantequandșest
remplacéparʌș, lacourbe est symétriquepar rapport à laverticaleș= ʌ/2.Exemple : parabole
Comme sinș= sin(ʌș), lacourbe estsymétriquepar rapport à la verticaleș= ʌ/2. Les valeursprisespar rsont:Cecicorrespond à la courbetracéeau dessus
(paraboleverticale).On le vérifieenpassant à cartésienne.
O r 01 /2 13/21/2
r(1 sin) =1, donc : r=1 + rsin En élevant au carré on a : r2=(1 + rsinsoit : x2+ y2= (1 + y) Après développement : x2+ y2=1 +2y+ yon voit que : x2=1 +2y= 2(1/2 + y) y sommet Sde la parabole. Si on note Y= yY= x2/2
Onretrouvedelaparabole.
SExercice
Tracerlacourbe r =1 +sinș.
Solution
On commence par tracer le graphedela fonction 1 +sinșenCartésiennes
haut.rcorrespondant à
une valeur deș, et son sens de variation.Par exemple, on voit que, lorsque
șaugmente de 0 à ʌ/2, r (la
distance de O) augmente de 1 à 2.On en déduit la forme de la partie
correspondante de la courbe polaire.Lorsque șaugmente de ʌ/2à ʌ,
la figure montre que rdécroit de 2à 1.
On endéduitla formede la partie
suivantede la courbe.Quandșcroitdeʌà3ʌ/2,r
décroitde1 à0.Finalement, quandșpassede
3ʌ/2à2ʌ, rcroitde0 à1.
La courbe obtenue est appeléecardioïdeà cause de sa formede coeur.Cettecourbe est symétriqueș= ʌ/2,du
fait quesin(ʌș) = sin șTANGENTES AUX COURBES POLAIRES
paramétriquesdelacourbe: vecteurtangentetlapente. x =r cos ș= f (ș) cos ș y =r sin ș= f (ș) sin ș dx/d=dr/dcos ș-rsin ș dy/d=dr/dsin ș+ rcos șExemple
r= a(où a est une constante positive). Montrer que le vecteur unitaire tangent à la courbe au point Mest le vecteur que nous avons noté u.Solution :
En remplaçant dans les équations de la page précédente on obtient : -à-dire ru, donc le vecteur tangent est de norme ret le vecteur unitaire tangent est u dx/d=-rsin ș dy/d=rcos ș Les tangenteshorizontalesse trouventaux points pour lesquelsdy/dș= 0 (pourvuque dx/dș0). De même, les tangentesverticalessontaux points où dx/dș= 0 (pourvuque dy/dș0).TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
sin cos cos sin dy drrdydd dx drdxrdd TT TTTTNotons que, au pole, r =0, si dr/d
donnant la pente se simplifie en : r =2cosșpasse par le pole (r= 0) quand șʌ/2.TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
tan if 0dy dr dx dT ztan if 0dy dr dx dT zComme le sinus est non nul en /2,
on en déduit que la droites șʌ/2 (verticale) est tangente à la courbe r =2cosșExercice :
2. Calculer les valeurs maximales et minimales de ret indiquer en
quels points ces valeurs sont atteintes.3. Déterminer les points où la tangente est verticale, et ceux où la
cartésienne.Solution
1.Quand on change șenș, cosșne change pas et donc rest
invariant.2.cosșvarie entre -1 (pour ș= ) et 1 (pour ș= 0). Donc les
valeurs extrêmes du dénominateur sont 1 et 5 et ra pour valeur max 10 (pour ș= 0) et min 2 (pour ș= ). Les points dx/dș= 0 pour sinș-à-dire ș= 0 ou (points extrémaux (10,0) et (2,)). dy/dș= 0pour 3cosș--à-dire cosș= 2/3, et donc r= 10/(5/3) = 6. x= rcosș= 6(2/3) = 4 et: y= rsinșavec sinș= (1 -4/9)0,5 donc yy= - 6 4 24. Equation cartésienne :
r(3 2sin) =10, donc :3r=10 + 2rsin
En élevant au carré on a : 9r2=(10 + 2rsinsoit :9(x2+ y2) = (10 + 2x)
Après développement : 9x2+ 9y2=100 +40x+ 4xon voit que :100 =5(x28x) + 9y2= 5(x4)2+ 9y2
x X= x- (X/6)2+ (y2= 1Onretrouvedeaveca=6etb=25.
Exercice
a.Pour la cardioïder =1 + sin ș, trouverla pentede la tangentequandș= ʌ/3. b.Trouverles points de la cardioïdepour lesquelsla tangenteesthorizontaleouverticale. Solution a)x =r cos ș= (1 + sin ș)cos ș= cos ș+ ½ sin2ș y = r sin ș= (1 + sin ș)sin ș= sinș+ sin2șOn aussiutiliser:
/ cos 2sin cos / sin cos2 cos sin2 sin cos2 dy dy d dx dx d T T T TT TT 2 sin cos cos sin cos sin (1 sin )cos cos cos (1 sin )sin cos (1 2sin ) cos (1 2sin )1 2sin sin (1 sin )(1 2sin )
drrdyd drdxrd T TTTT T T T
T T T T
T T T T
T T T T
Solution
La pentede la tangenteau point oùș= ʌ/3estdonc: 3 1 2 cos( /3)(1 2sin( /3)) (1 sin( /3))(1 2sin( /3) (1 3) (1 3/2)(1 3)1 3 1 31(2 3)(1 3) 1 3
dy dx SSSolution b)
On voitque :
Donc, ily a des tangenteshorizontalesen:
(2, ʌ/2), (½, 7ʌ/6),(½, 11ʌ/6) et verticalesen: (3/2, ʌ/6),(3/2, 5ʌ/6) Quandș= 3ʌ/2, dy/dșet dx/dșsonttousles deuxnuls, ilfaut allery voirde plus près. dy d cos(12sin)0when S 2,3 2,7 6,11 6 dx d (1sin)(12sin)0when 3 2, 6,5 6 dy d cos(12sin)0when S 2,3 2,7 6,11 6 dx d (1sin)(12sin)0when 3 2, 6,5 6 pour pour Enș= 3ʌ/2, r = 1+sinș= 0 (pole), et dr/dș= cosșestégalement nul.
(3 /2)limdy dx 2 sin cosquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calculer les coordonnées dun point sur un cercle
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