Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
déterminer l'équation d'un cercle passant par trois points. A(1 ; 1) B(1 ; -1) et C(2 ; 0). Poser que l'équation du cercle est de la forme :.
Construction de cercles donnés par trois conditions
2) On peut choisir Y = 0 comme équation de D. Le cercle défini par Les centres des cercles passant par deux points A B distincts.
Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
Cercle passant par 3 points (Obs. Lyon - phm - 2006/02/05 - cercle_3pts.wpd). 1/2 Le centre du cercle est à l'intersection des deux droites.
Dans un repère (orlj)
y) est un point du cercle.
Linversion 1 Cercle-droite
1.2 Équation complexe d'un cercle. Soit C(? r) le cercle de centre ? et de rayon r. C'est l'ensemble des points M tel que d(?
Chapitre8 : Cercles et sphères
Le cercle de centre ? et de rayon R est l'ensemble des points M de ? tels d'un cercle tout segment joignant deux points de ce cercle et passant par son.
Construction de cercles
12 août 2009 passant par deux points. PDC (4 solutions). 7. Cercle passant par un point tangent à une droite et à un cercle. CCC (8 solutions).
Première S 2010-2011 Exercices préparation composition troisième
de cercles passant par deux points. On se place dans un repère orthonormé du plan. Soit C et C' deux cercles du plan dont on donne les équations.
CERCLES DANS LE PLAN
Le programme est bref et assez vague : “En dimension 2 : cercles. Equation polaire d'un cercle passant par l'origine. Puissance d'un point par rapport à un
PRODUIT SCALAIRE DANS 2 Etude analytique (2) -Applications
2) Equation réduite d'un cercle 2)Ecrire l'équation du cercle circonscrit au triangle ... 2.3 Tangente à un cercle ( ) passante par un point à.
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déterminer l'équation d'un cercle passant par trois points A(1 ; 1) B(1 ; -1) et C(2 ; 0) Poser que l'équation du cercle est de la forme :
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On peut considérer le point comme étant un cercle de 2) Equation réduite d'un cercle 2)Ecrire l'équation du cercle circonscrit au triangle
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Le cercle est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point fixe La distance et le point fixe sont appelés respectivement rayon et centre du
Fiche explicative de la leçon : Équation dun cercle - Nagwa
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à déterminer l'équation d'un cercle à partir de son centre et d'un point sur le cercle ou du rayon
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(12) Le point appartient-il à l'ensemble de points d'équation: Méthode 1: Déterminer une équation de la droite passant par le point 1;2 et
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´Equations paramétriques d'une droite La droite passant par A = (x0y0) de vecteur directeur v = (v1v2) est l'ensemble des points P(t) = (x(t)y(t)) de
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1/2 P 2 C 1 P M P M' 3 y = a'x+b' y = ax+b Centre et rayon d'un cercle passant par trois points donnés (Phm 2006/02/05)
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2 Donner une équation de la forme az + az = b pour une droite D passant par un point d'affixe z0 et orthogonale à un vecteur d'affixe u = 0
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Exercice 1 On donne la droite d d'équation 3x-2y-6=0 et le point A(4; 3) Calculer l'équation du cercle c qui passe par le point P(-2;
[PDF] Construction de cercles donnés par trois conditions
Les centres des cercles passant par deux points A B distincts sont les points de la médiatrice de [AB] Pour un centre donné il y a un unique cercle convenable
Comment déterminer l'équation d'un cercle passant par deux points ?
Soient a et b deux réels. Une équation du cercle de centre ?(a;b) et de rayon r est (x?a)2+(y?b)2=r2.Comment trouver l'équation d'un cercle passant par trois points ?
Cercle passant par 3 points
Ainsi, le centre O du cercle cherché doit être à l'intersection de la médiatrice de [AB] et celle de [BC], ce qui donne OA = OB = OC et donc O est aussi sur la médiatrice de [AC].- Soit un cercle C de centre I(a ; b) et de rayon R et une droite D parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = m. Si m ]b – R ; b + R[ alors la droite D coupe le cercle en deux points. Si m = b – R ou m = b + R alors la droite D coupe le cercle en un seul point.
Construction de cercles donnes par trois conditions Daniel Perrin
1 Introduction
Le but de ce texte est d'examiner la construction de cercles du plan euclidienPdonnes par trois conditions. Cet objectif est essentiellement geometrique, mais pour comprendre la problematique du sujet (et notam- ment le pourquoi du nombre 3 de conditions) il faut se souvenir qu'un cercle du plan a une equation de la forme : x2+y22x2y+
= 0 ou le pointO= (;) est le centre du cercle et ou le rayon est donne par la formuleR2=2+2 . Cela montre que l'espace des cercles est (une variete) de dimension 3, precisement, c'est l'ouvert deR3forme des triplets ) tels que2+2 >0. Les conditions auxquelles peut ^etre soumis un cercle peuvent ^etre de dierentes natures. Nous nous limiterons ici a deux types de conditions : le cercle passe par un point donne, le cercle est tangent a une droite donnee. On peut en imaginer bien d'autres (par exemple ^etre tangent a un cercle donne, voire a une courbe donnee, etc.).1.1 Proposition.1) L'ensemble des cercles dePpassant par un pointm2
Pest l'intersection de
avec un plan aneHdeR3. C'est un ouvert non vide deH.2) L'ensemble des cercles dePtangents a une droite donneeDest l'in-
tersection de avec une quadriqueQdeR3. C'est un ouvert non vide de Q. Demonstration.1) Posonsm= (X;Y). Les cercles cherches correspondent aux triplets (;; ) veriantX2+Y22X2Y+ = 0 et cette equation est lineaire en;; donc denit un plan deR3. Dans ce plan, c'est un ouvert non vide (si l'on xe;il y a un unique solution).2) On peut choisirY= 0 comme equation deD. Le cercle deni par
) est alors tangent aDsi et seulement si son rayon est egal a la distance du centre aD, donc si l'on ajj=Rou encore2=R2, soit 1 2= . Cette equation etant de degre 2 est celle d'une quadrique (ici un cylindre a base parabolique). Tout point de cette quadrique veriant6= 0 donne un cercle convenable.1.2Remarque.On montre que l'ensemble des cercles tangents a un cercle
donne est l'intersection de et d'une quadrique. Par exemple, si le cercle donne est de centre (0;0) et de rayonRles cercles tangents sont donnes par4R2(2+2
R2)2.1.3 Commentaire.L'ensemble des cercles veriant trois conditions du type
ci-dessus est donc l'intersection de trois surfaces (plans ou quadriques) et il est, en general, ni (et de cardinal8). On peut donc legitimement se poser la question de construire (a la regle et au compas) le ou les cercles veriant trois de ces conditions.2 Cercles passant par trois points
Le resultat est bien connu :
2.1 Proposition.SoientA;B;Ctrois points distincts deP.
1) SiA;B;Csont alignes il n'y a aucun cercle passant parA;B;C.
2) SiA;B;Cne sont pas alignes, il y a un unique cercle passant par
A;B;C: le cercle circonscrit au triangleABC.
Demonstration.C'est bien connu! Le ressort de la preuve est le lemme sui- vant :2.2 Lemme.Les centres des cercles passant par deux pointsA;Bdistincts
sont les points de la mediatrice de[AB]. Pour un centre donne il y a un unique cercle convenable.3 Cercles tangents a trois droites
Le resultat est presque aussi connu :
3.1 Proposition.SoientD;E;Ftrois droites distinctes du plan.
1) Si les droites sont paralleles ou concourantes, il n'y a aucun cercle
tangent aux trois droites.2) Si deux des droites sont paralleles et si la troisieme coupe les deux
autres, il y a deux cercles tangents aux trois droites.3) Si les trois droites determinent un triangleABCil y a quatre cercles
tangents aux trois droites : le cercle inscrit et les cercles exinscrits. 2 Demonstration.Le ressort de la preuve est l'analogue du lemme 2.2 :3.2 Lemme.Les centres des cercles tangents a deux droites distinctes sont :
Les points de la parallele equidistante si les droites sont paralleles. Les points des bissectrices des deux droites si elles sont secantes. Pour un centre donne il y a un unique cercle convenable.4 Cercles tangents a une droite et passant
par deux pointsLa, les choses deviennent interessantes :
4.1 Theoreme.SoientA;Bdeux points distincts etDune droite.
1) SiAetBsont surD, ou de part et d'autre deD, il n'y a aucun cercle
tangent aDpassant parAetB.2) SiAest surDmais pasBil y a un unique cercle tangent aDpassant
parAetB.3) SiA;Bsont du m^eme c^ote deDil y a un deux cercles tangents aD
passant parAetB. Demonstration.Le premier point est evident et le deuxieme facile (le centre du cercle est sur la mediatrice de [AB] et sur la perpendiculaire aDpassant parA). Pour le troisieme, on commence par traiter le cas, facile, ou les droites Det (AB) sont paralleles. Sinon, on appelleCle point d'intersection deDet (AB) etTle point de contact cherche. Alors, on aCACB=CT2(puissance deCpar rapport au cercle) et on construitTcomme moyenne geometrique. Il y a deux solutions. On nit en utilisant la perpendiculaire aDenTet la mediatrice de [AB], voir gure 1. Pour la discussion, l'approche analytique est commode. On peut supposer que la droiteDa pour equationy= 0, que les points sontA= (0;a) avec a6= 0 etB= (b1;b2) et on cherche sous la formex2+y22x2y+ = 0.On a vu qu'on devait avoir
=2. Le pointAest sur le cercle si et seulement si on a 2=a2+2a et en ecrivant queBest sur le cercle il reste une equation du second degre en: (ab2)22ab1a+a(b21+b22ab2) = 0 dont le discriminant reduit est =ab2(b21+(ab2)2). Le dernier facteur est >0 carAetBsont distincts. On voit qu'il y a une solution unique sib2est nul (BsurD), aucune sib2<0 et deux sib2>0. 3 D A B C T' O' T"O"Figure1 { Deux points une droite
5 Cercles tangents a deux droites et passant
par un pointCette fois, le resultat est le suivant :
5.1 Theoreme.SoientD1;D2deux droites secantes enIetAun point non
situe sur les droites. Alors, il existe deux cercles passant parAet tangents a D1etD2.
Demonstration.On procede par abandon de contraintes. On trace un cercle0tangent aux deux droites, situe dans l'angle qui contientA, sans se
preoccuper qu'il contienneA. Pour cela, on prend le centreOsur la bis- sectrice des droites, on le projette surD1enTet 0est le centre de centre Oqui passe parT, voir gure 2. Ce cercle coupe la droite (IA) enA0etA00 et il sut de considerer les cercles homothetiques de0dans les homotheties
de centreIenvoyant respectivementA0etA00surA, voir gure 2.5.2Remarque.Pour la dicile question des cercles tangents a trois cercles
donnes, voir par exemple le paragraphe 4.3.2 de : http://www.math.u-psud.fr/ perrin/Livregeometrie/DPPartie6.pdf 4 D 1 D 2 0 I O T A A' A" O'O"Figure2 { Deux droites et un point
5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] triangle inscrit dans un rectangle
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