[PDF] MODÉLISATION ET SIMULATION DU TRAFIC ROUTIER PAR

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eConference Internationale de MOdelisation, Optimisation et Simulation - MOSIM'14 - 7 au 9 Novembre 2014 -

Nancy - France

"De l'economie lineaire a l'economie circulaire»Modelisation et simulation du trac routier par Reseaux de Petri

Lots Triangulaires

R. GADDOURI, L.BRENNER, I. DEMONGODIN

Aix Marseille Universite, CNRS, ENSAM, Universite de Toulon, LSIS UMR 7296, 13397, Marseille, France radhia.gaddouri@lsis.org, leonardo.brenner@lsis.org, isabel.demongodin@lsis.org R ESUM E :Cet article decrit comment l'evolution dynamique du trac routier peut ^etre predite au niveau mesoscopique par Reseaux de Petri Lots Triangulaires (RdPLots Triangulaires). Dans ce contexte, nous

comparons la modelisation et l'analyse du trac routier par RdPLots Triangulaires avec le Modele Cellulaire de

Transmission (CTM). Les resultats de simulation de deux formalismes sur un exemple d'autoroute montrent

l'ecacite, la facilite et la precision du formalisme evenementiel RdPLots Triangulaire par rapport au CTM;

au regard de la reduction du nombre de pas de simulation et de la variation de la longueur de congestion.

MOTS-CL

ES :Reseaux de Petri Lots, Modelisation, Simulation, Congestion, CTM, Trac routier

1 INTRODUCTION

De nombreuses recherches sont menees pour contr^oler et predire la congestion dans les systemes de trans- port routier par des techniques recentes telles que la limitation variable de la vitesse, les systemes de regu- lation des rampes d'acces (Nget al.2013) (Canudas,

2011). Cela a abouti a un large eventail de modeles

(Hoogendoornet al.2001) decrivant les dierents as- pects du trac routier: l'approche microscopique re- pose sur une description du comportement individuel des vehicules; l'approche macroscopique, basee sur l'analogie avec la theorie hydrodynamiques, etudie la circulation collective des vehicules; l'approche meso- scopique se situe au niveau intermediaire de details entre l'approche microscopique et macroscopique.

Les vehicules et le comportement des conducteurs

ne sont pas etudies d'une maniere individuelle mais plut^ot par agregation. Au niveau mesoscopique, il ex- iste tres peu de modeles evenementiels pour la mod- elisation et la simulation de l'evolution dynamique du trac routier (Nget al.2013). Nous citons le Modele

Cellulaire de Transmission (CTM) (Daganzo, 1994),

l'un parmi les modeles les plus connus pour la modeli- sation et la simulation du trac routier. La revue de la litterature revele que le CTM presente plusieurs avan- tages notables. Le modele est relativement simple et susamment precis pour planier des d'analyse nes. En outre, son caractere macroscopique/mesosocpique conduit a une ecacite de calcul (Donget al.2012). Toutefois, parmi la classe qui se compose de formal- ismes de dynamique evenementielle et des modeles hybrides, on trouve les reseaux de Petri continus et hybrides, bien adaptes a la modelisation et l'analysedes systemes uidiques. Plusieurs auteurs utilisent et etendent ces formalismes hybrides pour la mod- elisation et l'analyse des systemes de trac routier. Les reseaux de Petri hybrides sont utilises par (Feb- braroet al.2009) d'un point de vu macroscopique pour la representation et le contr^ole des zones ur- baines a feux. Les reseaux de Petri uides sont aussi bien adaptes pour le contr^ole et la modelisation des systemes de trac (Bobbioet al.2006). Pour representer les goulots d'etranglement de vehicules et contr^oler la vitesse, (Demongodin, 2009) a deni les reseaux de Petri avec lot contr^olable comme modele mesoscopique. (Gaddouriet al.2014b) ont etendu ce formalisme, pour reduire la congestion et opti- miser le ux des vehicules dans le trac routier, par l'association de nouvelles caracteristiques liees a la place lot. Cette nouvelle place, appeleeplace lot Bi- partiesintegre une relation ux-densite triangulaire, la vitesse de propagation de la congestion et la den- site critique, deux concepts utilises dans les systemes de trac routier. Dans ce papier, une comparaison entre les resultats de simulation de deux formalismes mesoscopiques Rd-

PLots Triangulaire et CTM, est presentee.

La section 2 rappelle les denitions et les concepts de base du RdPLots Triangulaire. La section 3 presente le modele CTM. Un exemple de modelisation et sim- ulation d'une autoroute par les deux formalismes et l'analyse des resultats obtenus, font l'objet de la sec- tion 4.

2 Reseaux de Petri Lots Triangulaires

Un reseau de Petri Lots Triangulaire (RdPLots Tri- angulaire) est une extension du reseau de Petri Lots

MOSIM'14 - 5 au 7 novembre 2014 - Nancy - France

Generalise (Demongodin, 2001) et du RdPLots avec

lot contr^olable (Demongodin, 2009) par l'association des nouvelles caracteristiques a la place lot, ap- peleeplace lot Bi-parties, integrant une relation ux- densite triangulaire, une vitesse de propagation de la congestion et une densite critique, concepts observes dans les systemes de transport routier.

2.1 Denitions et notations

Tout d'abord, nous etendons la denition du Rd-

PLots Generalise (Demongodin, 2001) en enrichissant la fonction caracteristique de la place lotpipar un nouveau parametre correspondant au ux maximal maxi(Gaddouri et al, 2014b). Les noeuds du Rd- PLots Triangulaire sont representes dans la gure 1 )j )j transition discrète 3.5 transition continue transition lot

Vi , dmaxi , Si , )maxi

place lot Bi-parties: place continue place discrète Figure 1: Noeuds du RdPLots Triangulaire Denition: Un reseau de Petri Lots Triangulaire est un 6-tupleR= (P;T;Pre;Post; ;Tempo) tels que:

P=PD[PC[PBBest un ensemble ni de

places divise en trois types de classes: places dis- cretes, places continues et places lot Bi-parties.

T=TD[TC[TBest un ensemble ni de tran-

sitions divise en trois types de classes: transi- tions discretes, transitions continues et transi- tions lots.

Pre;Post: (PDT!N)[((PC[PBB)T!

R

0) sont, respectivement, les matrices de pre-

incidence et post-incidence, designant le poids sur les arcs de place vers les transitions et de transitions vers les places. :PBB!R4>0associe a chaque place lot

Bi-partiespi2PBBle quadruplet

(pi) = (Vi;dmaxi;Si;maxi) qui represente, respective- ment, la vitesse, la densite maximale, la longueur et le ux maximum depi.

Tempo:T!R0associe un nombre non negatif

pour chaque transition: {Sitj2TD, alorsTempo(tj) =djduree associee a la transition discrete; {Sitj2TC[TB, alorsTempo(tj) = j ux maximum associe a la transition continue ou lot.

Lamatrice d'incidencede RdPLots Triangulaire est

denie parC=PostPre.Denition: Le marquage de RdPLots Triangu- laire a un instantest deni parm() = [m1():::mi():::mn()]Ttels que: sipi2PDalors m i2N, i.e, le marquage d'une place discrete est un entier non negatif; sipi2PCalorsmi2R0, i.e, le marquage d'une place continue est un reel non negatif; sipi2PBBalorsmi=fh;:::;rg, i.e, le marquage d'une place lot Bi-parties est un ensemble ordonne de lots.

Nous denissons unedensite critiquede la place lot

Bi-parties qui correspond au

ux maximal de cette place lot Bi-parties. A noter que dans le reseau de

Petri lots Generalise, le

ux maximal est lie a la den- site maximale. Pour une place lot Bi-parties, la den- site maximale correspond a un ux nul.

DenitionPour une place lot Bi-parties, avec

(pi) = (Vi;dmaxi;Si;maxi), la densite critiquedcriiest denie par: d crii=maxiV i(1) Nous etendons egalement pour la place lot Bi-parties, l'etat accumule dans le reseau de Petri Lots General- ise. Cet etat est maintenant formalise par une equa- tion lineaire entre le ux et la densite des lots, qui ont une densite superieure a la densite critique. Cette equation a une pente negative appeleevitesse de prop- agation de la congestion.

DenitionPour une place lot Bi-partiespi, avec

(pi) = (Vi;dmaxi;Si;maxi),la vitesse de propagation de congestionest associee api, noteeWiest denie par: W i=maxiVid maxiVimaxi(2)

A partir de ces denitions, la relation

ux-densite de la place lot Bi-parties peut ^etre etablie maintenant:

DenitionLarelation

ux-densitequi regit la dy- namique des lots contr^olables a l'interieur de la place lot Bi-partiespiavec (pi) = (Vi;dmaxi;Si;maxi) est denie comme suit: r=dr:Viif 0drdcriiW i:(dmaxidr) ifdcrii< drdmaxi(3)

2.2 Dynamiques des lots contr^olables

La dynamique d'un RdPLots Triangulaire est basee

sur un comportement a temps continu et a evene- ments discrets. An d'integrer les phenomenes de congestion/decongestion qui introduisent des retards variables des unites sur un composant de ux continu.

Une relation

ux-densite (equation.3) est associee a une place lot Bi-partiespi. Ainsi les lots contr^olables composant la placepidoivent respecter cette relation

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ux-densite (Gaddouriet al.2014 a)). Un lot con- tr^olable est deni comme suit:

DenitionUnlot contr^olableCr() a un in-

stant, est deni par un quadruplet,Cr() = (lr();dr();xr(); vr()) oulr()2R0est sa longueur,dr()2R0sadensite,xr()2R0sa positionetvr()2R0est la vitesse de ce lot. Le ux instantanedeCr() est deni par:'r() = v r():dr(). Quelques contraintes sur les caracteristiques des lots doivent ^etre respectees: 0lr()xr()Si(con- traintes sur la position et la longueur), 0dr() d maxi(contrainte sur la densite) et 0vr()Vi (contrainte sur la vitesse). Un lot contr^olableCr, qui a sa position egale a la longueur de la place, c'est- a-direxr() =Si, est dit unlot contr^olable de sortie. l'evolution des lots contr^olables a l'interieur de la place lot Bi-parties permute entre trois comporte- ments lineaires possibles (comportement libre, de con- gestion et de decongestion). Toutes ces places intro- duisent une dynamique hybride caracterisee par deux etats qui peuvent se resumer comme suit :

Denition

Etats des lots.SoitCr() =

(lr();dr();xr();vr()) un lot contr^olable de la placepi. Crest diten etat libresi sa densite est inferieure a la densite critique depi:dr()dcrii();

Crest diten etat de congestionsi sa densite

est superieure a la densite critique depi:dr()> d crii().

Pour la comprehension de l'evolution de lots con-

tr^olables, rappelons tout d'abord quelques notions dediees a la place lot qui peuvent egalement ^etre appliquees a une place lot Bi-parties (Demongodin,

2001, 2009) et (Demongodin and Guia, 2010). Les

denitions des ux d'entree et de sortie des places lots Bi-parties sont identiques a ceux denis pour les places lots dans les reseaux de Petri Lots Generalise (Demongodin, 2001).

DenitionLe

ux d'entree resp. de sortie d'une place continue ou lotpia un instantest la somme de tout ux entrant (resp., sortant) de la place et peut ^etre ecrit, respectivement, comme suit:ini() =P t j2piPost(pi;tj)'j() =Post(pi;)'() et outi() =P t j2piPre(pi;tj)'j() =Pre(pi;)

DenitionA un instant donne, diverses fonctions

statiques peuvent ^etre appliquees sur les lots com- posant le marquage de la placepi:Creation.Si le ux d'entree depiest non nul, c'est-a-dire,ini()6= 0, un lot contr^olableCr() = (0;dr();0;vr()) avec d r() =ini()=Vietvr() =Vi, est cree et ajouteau marquage depi.Destruction.Si la longueur du lot,Cr(), est nulle,lr() = 0, et si ce n'est pas un lot cree,xr()6= 0, le lotCr() est detruit, note C r() =0, et retire du marquage depi.Fusion- nement.Si deux lots avec la m^eme densite et la m^eme vitesse sont en contact, ils peuvent ^etre fusionnes.

Soient deux lotsCr() = (lr();dr();xr();vr())

etCh() = (lh();dh();xh();vh()), telle que x r() =xh() +lr(),dr() =dh() etvr() = v h(). Dans ce cas, le lotCr() devientCr() = (lr() +lh();dr();xr();vr()), le loth() est detruit.

Eclatement.Il est toujours possible d'eclater

un lot en deux lots en contact avec la m^eme densite et la m^eme vitesse. Remarque:La densite et la vitesse des lots ne peu- vent pas ^etre variees dans le temps, tandis que leur valeur peut changer lorsqu'un evenement se produit. En d'autres termes, ces deux caracteristiques sont des constantes tandis que la longueur et la position sont lineaires dans le temps. Par consequence, pour tout lotCr() = (lr();dr();xr();vr()), on deduit:_dr= _vr= 0: A l'interieur d'une place lot Bi-parties (BB-place), diverses equations regissent la dynamique des lots: l'entree, le deplacement et la sortie. Entre deux evenements, un lot peut se deplacer dans trois dif- ferents comportements: le comportement libre, le comportement de congestion et le comportement de decongestion (Gaddouriet al.2014 a)).

2.2.1 Comportement libre.

Un lot contr^olableCr() = (lr();dr();xr();

v r()) depiest dans uncomportement libre, s'il se de- place librement a sa vitesse de transfertvr(). Trois dierentes dynamiques peuvent se produire:i) En- tree.un lot contr^olable cree,Cr() = (0;dr();

0;vr()), sans contact avec un autre lot, entre li-

brement dans la placepiconformement a: _xr=_lr=vr();ii) Deplacement.un lot contr^olable, C r() = (lr();dr(); xr();vr()), qui est un lot libre, se deplace librement a l'interieur de la place p iconformement a: _xr=vr();_lr= 0.iii) Sor- tie.un lot contr^olable de sortieCr() = (lr(); d r();Si;vr()), qui a son ux egal ou inferieur au ux de sortie depi, sort librement de la placepicon- formement a: _xr= 0;_lr=vr().

2.2.2 Comportement de congestion.

Un lot contr^olableCr() = (lr();dr();

x r();vr()) de la place lot Bi-partiespiest en comportement de congestion, s'il ne peut pas se deplacer avec sa propre vitesse, c'est-a-dire, il com- mence la congestion. Par exemple, a un instant soit un lot contr^olable de sortieOCr() depi, ou le ux de sortie depiest inferieur au ux de lot de sortie (outi()< 'r()). Dans ce cas,OCr() sort en comportement de congestion. Il est eclate en deux

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lot en contact:Cr() = (lr();dr();Si;vr()) etOCr0() = (0;dr0();xr0();vr0()) avec: d r0() =dmaxiouti=Wi;vr0() =outi=dr0() et x r0() =Si. A partir l'instant, l'evolution de deux lotsCretOCr0est regie par (Eq.21) et (Eq.22) dans (Gaddouri et al, 2013)

2.2.3 Comportement de decongestion.

Un lot contr^olable de sortie congestionneOCr() =

(lr();dr(); xr();vr()) depiest encomportement de decongestion, s'il peut se deplacer avec une vitesse plus elevee. Par exemple, soit a un instant, un lot de sortie congestionneOCr() depiqui a un ux superieur au ux de lot de sortie (outi()> r()). Dans ce cas,OCr() suit un comporte- ment de decongestion. Il est eclate en deux lots en contact :Cr() = (lr();dr();Si;vr()) et OC r0() = (0;dr0();xr0();vr0()) avec:dr() = d maxiouti=Wi,vr() =outi=dr() etxr() =Siet v r0() =Vi,dr0() =outi=Vietxr0() =Si.

2.3 Dynamique du RdPLots Triangulaire

La dynamique de RdPLots Triangulaire est basee sur une approche a evenements discrets avec des evo- lutions continues lineaires ou constantes entre deux evenements temporises.

DenitionL'etat invariantdu RdPLots Triangu-

laire correspond a une periode de temps telle que: le marquage des places discretes est constant; le ux de franchissement instantane des transitions contin- ues et lots est constant; le marquage reserve des places discretes et continues est constant. L'etat invariant change si et seulement si un de ces evenements suivants se produit:

Evenements internes:i.1)un lot devient lot de

sortieCr=OCr;i.2)deux lots se rencon- trent;i.3)un lot de sortie est detruitOCr=0.

Evenements externes:e.1)une transition dis-

crete est franchie:tj;e.2)une place continue devient videmni= 0;e.3)une transition discrete devient validemni=a;e.4)un lot devient lot de sortie (i.e. evenementi.1)au dessus);e.5)un lot de sortie est detruit (i.e. evenementi.3)au dessus);

Evenements contr^oles:c.1)le

ux des transitions lots est modie: j() =j();c.2)la vitesse de la place lot Bi-parties est modie:Vi=vi().

La dynamique de Reseaux de Petri Lots Triangu-

laire est basee sur une approche a evenements discrets avec evolutions continues lineaires ou constantes en- tre deux evenements temporises. L'etat du systeme est calcule seulement quand il subit une discontinu- ite. Cette dynamique teste l'existence des evenements contr^oles a la date courante, determine l'etat des lots et des transitions (valides ou non valides) pour cal- culer le ux de franchissement instantane des transi-

tions lots et continues. Ensuite, tous les evenementstemporises qui changent l'etat global du systeme sont

calcules, et la date de l'evenement le plus proche dans le temps est retenue. Finalement le nouveau mar- quage est calcule. Cette dynamique s'arr^ete quand la liste des evenements est vide ou quand un etat invari- ant qui existe deja est retrouve. La gure 2) montre l'algorithme de simulation de RdPLots Triangulaire.

Marquage initial

Détermination des transitions valides

Calcul de flux de franchissement instantané (IFF) de transitions et

Calcul de dates des prochains événements

proche dans le temps

Calcul du nouveau marquage

Détermination de caractéristiques et états des lots Détermination de caractéristiques dynamiques des places lot Modification du flux maximal des transitions continues et lots

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