Fonctions à deux variables
25 jan. 2012 Pour calculer ces dérivées partielles on dérive en considérant l'une des deux variables comme une constante (on dit qu'on dérive la fonction f ...
Fonctions de deux variables
Ca se dessine ou se visualise. Page 6. Dérivées partielles. Pour une fonction de deux variables il y a deux
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variables h = f ? g. Pour se ramener au théorème général et ne pas s'embrouiller il est
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres Les dérivées partielles premières étant des fonctions de deux variables on peut ...
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres Les dérivées partielles premières étant des fonctions de deux variables on peut ...
Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
Pour calculer la dérivée partielle de f suivant la première variable x on fixe Considérons une fonction de deux variables scalaires.
5. Dérivées de fonctions de plusieurs variables
Fonction de deux variables. ? Soit f une fonction de deux variables définie de R2 dans R. ? Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont.
Fonctions de plusieurs variables
gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V des dérivées partielles dans toutes les directions et `a tous les ordres.
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 Théor`eme 1 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0 0). Si les dérivées partielles ?f. ?x.
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
For fonctions de plusieurs variables la situation est tr`es différente. des axes de reference on parle de dérivée partielle de la fonction par.
Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y
Dérivée partielle — Wikipédia
Pour pouvoir calculer la dérivée partielle d’une expression constituée d’unefonctiondontlesargumentssontdesexpressionsnontrivialecomme par exemple Bfpu2;uv;cospuvqq Bu il faut faire appel à la règle de dérivation en chaîne qui exprime les dérivées partielles de la composition de deux fonc-
Fonctions de deux variables - unicefr
Pour une fonction d´erivable f d’une variable on se rappelle que l’´equation de la tangente au graphe au point (af(a)) est y = f(a)+(x ?a)f0(a) Si f est `a deux variables c’est presque pareil l’´equation du plan tangent au point (abf(ab)) est z = f(ab)+(x ?a)f0 x(ab)+(y ?b)f0 y(ab) Exemple
Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
De même la fonction partielle f y est la fonction qui à tout réel yassocie f(x;y) Ces fonctions partielles sont des fonctions de R vers R on peut donc les étudier comme telles (dérivée tableau de ariationv limites ) 2 Limites et continuité Dé nition 6 : Soit fune fonction dé nie sur un ouvert Ude R2 et M 0 = (x 0;y
Qu'est-ce que la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables ?
En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l' analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l' analyse vectorielle.
Comment calculer la dérivée partielle d'une fonction?
Pour tout réel y y fixé, la fonction x ? e x cos y x ? e x cos y est dérivable sur R R, ce qui justifie l'existence de la dérivée partielle par rapport à la première variable dans le premier exemple. La justification est identique pour les autres fonctions et on trouve respectivement :
Quelle est la fonction de deux variables?
Dans ce cas, on a une fonction de 2 variables f u v?,? Dans laquelle les deux variables uet vdépendent à leur tour de deux autres variables (disons xet y).
C'est quoi la dérivée partielle ?
C'est une notion de base de l' analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l' analyse vectorielle. La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée .
Fonctions de deux variables
D´edou
Mai 2011
D"une `a deux variables
Les fonctions mod`elisent de l"information d´ependant d"un param`etre. On a aussi besoin de mod´eliser de l"information d´ependant de plusieurs param`etres, et c"est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu"on sait faire pour les fonctions d"une variable s"´etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.Exemple de fonctions de deux variables
Comme les fonctions d"une variable, celles de deux variables s"´ecrivent avec "?→". En voici une :d:= (x,y)?→ |x-y|. Je l"appelledparce que d(x,y) est la distance entrexety. En voici une autre :p:= (R,R?)?→RR?R+R?. C"est la fonction qui donne la r´esistance d"un montage en parall`ele de deux r´esistances. C"est pour ¸ca que j"ai appel´e les variablesRetR?, mais j"aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y)?→xyx+y.Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables.Domaine de d´efinition
Certaines fonctions sont d´efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d"autres non. On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications deR2dansR?, ce qui permet de d´efinir le domaine de d´efinition par la formule :DDf:={(x,y)?R2|f(x,y)?=?}.Exemple
Posonsf:= (x,y)?→ln(x-y2)-2?y-x2.
C"est une partie du plan et ¸ca se dessine.Exo 2Dessinez le domaine de d´efinition de
f:= (x,y)?→xln(x+y)-y⎷y-x.Graphe
Le grapheGrfd"une fonctionfde deux variables, c"est une partie deR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}.Exemple
a) Le graphe de (x,y)?→x+y+ 1 est le plan passant par (0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2). b) Le graphe de (x,y)?→?1-x2-y2est "l"h´emisph`ere nord" de la sph`ere unit´e.Ca se dessine ou se visualise.D´eriv´ees partielles
Pour une fonction de deux variables, il y a deux d´eriv´ees, une "par rapport `ax" et l"autre "par rapport `ay". Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b)?→(x?→f(x,b))?(a) (a,b)?→(x?→f(a,x))?(b). La premi`ere est not´eef?xou parfois∂f∂xet la seconde est not´eef?y ou parfois ∂f∂y. On a donc f ?x(a,b) = (x?→f(x,b))?(a)f?y(a,b) = (x?→f(a,x))?(b).Calcul de la premi`ere d´eriv´ee partielle
Pour calculer la premi`ere d´eriv´ee partielle, on consid`ereycomme un param`etre et on d´erive comme d"habitude.ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?x(x,y) =y-ysinxy.Exo 3Calculezf?x(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Calcul de la seconde d´eriv´ee partielle
Pour calculer la seconde d´eriv´ee partielle, on consid`erexcomme un param`etre et on d´erive "eny".ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?y(x,y) =x+ 2y-xsinxy.Exo 4Calculezf?y(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Le gradient
Si on met les deux d´eriv´ees partielles ensemble, on obtient le gradientdef, qu"on note?f, ce qui se lit aussi "nablaf" :Posonsf:= (x,y)?→xy+y2.On af?x(x,y) =yet
f ?y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc (10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)?→xey-3yx2en (1,1).Le dessin du gradient
Le gradient?f(M) defau pointMest un ´el´ement deR2qu"on voit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u on veut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voir l"origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a un gradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradient d"une fonction est un "champ" de vecteurs.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+ 2y2, on a?f(2,1) = (4,4) et ¸ca se dessine.Exo 6Pourf:= (x,y)?→xy-y2, dessinez?f(1,1).
Le sens du gradient
A une variable, la d´eriv´ee dit dans quel sens varie la fonction et `a quelle vitesse : plus la d´eriv´ee est grande, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation"). A deux variables, le gradient pointe dans la direction o`u la fonction augmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation").Points critiques
On a compris qu"une fonction d´erivable d"une variable atteint ses bornes l`a o`u sa d´eriv´ee s"annule (ou au bord de son DD). A deux variables c"est pareil, sauf que la d´eriv´ee est remplac´ee par le gradient.D´efinition Les points critiques d"une fonctionfde deux variables sont les points o`u son gradient s"annule.Points critiques : exemples
Exemple
Les points critiques def:= (x,y)?→x3-3x+y2sont ceux qui v´erifient les deux ´equations 3x2-3 = 0 et 2y= 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (-1,0).Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)?→x2-4x+y3-3y.Courbes de niveau
Les courbes de niveau d"une fonctionfde deux variables sont les lieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise : Niv c:={M?R2|f(M) =c}.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucest le cercle de rayon⎷ccentr´e en l"origine.Courbe de niveau par un point
SiAest un point du domaine de d´efinition def, il y passe une courbe de niveau def, celle de niveauf(A). L"´equation de la courbe de niveau defpassant parAest f(M) =f(A).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation de la courbe de niveau passant parAestx2+y2= 25 , c"est donc le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine.Exo 8 Pour la mˆeme fonction, quelle est la courbe de niveau passant par (1,2)?Courbe de niveau et gradient
L`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe de niveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau est perpendiculaire au gradient. "Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partir perpendiculairement `a la courbe de niveau".Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveau passant parAest le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine. Et on a ?f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au rayon.Plan tangent au graphe
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"´equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) est y=f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"´equation du plan tangent au point (a,b,f(a,b)) est z=f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation du plan tangent est z= 25 + 6(x-3) + 8(y-4).Approximation lin´eaire
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"approximation lin´eaire au pointaest la fonction dont le graphe est la tangente, `a savoir : x?→f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"approximation lin´eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plan tangent, `a savoir : (x,y)?→f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exo 9 Calculez l"approximation lin´eaire def:= (x,y)?→x2+y2enA:= (3,4).
D´eriv´ees partielles sup´erieures
Pour faire des approximations quadratiques et autres, il faut des d´eriv´ees sup´erieures. Bien entendu, on peut par exemple d´eriver deux fois, et ce de quatre fa¸cons. Ces quatre d´eriv´ees sont not´eesf??x2,f??xy,f??yx,f??y2sauf que les deux du milieu sont toujours ´egales, donc on n"´ecrit jamaisf??yx.Exo 10 Calculezf??xyetf??yxpourf:= (x,y)?→exy+xsiny.Extrema
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du
rectangle, soit en des points critiques.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→x2+y2-2x-4ysur le On af(x,y) = (x-1)2+ (y-2)2-5. On voit qu"elle atteint son maximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et son minimum (-5) en (1,2) qui est un point critique.Exo 11Trouver le maximum et le minimum de la fonction
f:= (x,y)?→x2+y2-3x-3ysur le rectangle d´efini par les deuxInterm`ede : mauvaise foi
On a dit :
Sifest une fonction d´erivable sur un rectangle, alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit en des points critiques.Exo 12 Donner une interprˆetation fausse (et de mauvaise foi!) de cet´enonc´e.
Extrema sur le bord
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle.On trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinant
les quatre cˆot´es, et en gardant le meilleur de ce qu"on trouve.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur le Cette fonction est nulle sur deux des quatre cˆot´es du rectangle. Sur le bord d"en haut, on a la fonctionx?→2x+ 2x3qui est croissante et varie de 0 `a 4. Sur le bord de droite, on a la fonction y?→y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4.Extrema tout court : exemple
Exemple
On consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur Sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4. Pour trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle, on calcule ses points critiques, qui sont d´efinis par y2-y+ 3x2y= 2xy-x+x3= 0.En dehors des axes, on trouve
y+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r´esolvant ce syst`eme, on trouve, dans notre rectangle, le point critique ( 25,1⎷5 En ce point,fprend la valeur n´egative10⎷5-42125 ⎷5 qui est donc son minimum.
Extrema tout court : exercice
Exo 13
Calculer le maximum et le minimum de
f:= (x,y)?→2xy2-xy+x3ysur le mˆeme rectangle d´efini par lesquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] biographie art spiegelman
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