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Sur le produit vectoriel

Daniel PERRIN

Introduction

On etudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version elementaire decrite en terme d'orthogonalite et de sinus et celle qui prend comme point de depart une application bilineaire alternee. Dans tout ce qui suit, on travaille dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, oriente, noteE. On note (xjy) le produit scalaire des vecteurs x;yetkxkla norme du vecteurx. On rappelle que l'angle (non oriente1) =dx;ydes vecteurs non nulsx;yest le nombre de [0;] deni par cos= (xjy)kxkkyk.

1 Rappels et preliminaires

1.1 L'identite de Lagrange

Il s'agit d'une identite polynomiale qui est, en fait, le ressort principal de ce qui suit.

1.1 Lemme.Soienta;b;c;x;y;zdes nombres2ou des indeterminees. On a

l'identite suivante 3: (ax+by+cz)2+[(bzcy)2+(cxaz)2+(aybx)2] = (a2+b2+c2)(x2+y2+z2): Demonstration.Il sut de faire le calcul, qui est sans diculte.

1.2Remarque.Bien entendu, quand on aura deni le produit vectoriel, cette

identite s'ecrira :

(ujv)2+ku^vk2=kuk2kvk2;1. Il n'y a pas de denition satisfaisante d'angles orientes dans l'espace. Avec la

denition ci-dessus, le cosinus d'un angle peut ^etre negatif, mais le sinus est obligatoi- rement positif.

2. D'un anneau commutatif, par exempleR.

3. Voir l'epreuve sur dossier de CAPES du 28 juin 2013.

1 et c'est essentiellement la relation cos

2+ sin2= 1.

1.2 Cosinus et sinus

On se donne une base orthonormeei;j;kdeEet on considere les vecteurs u=xi+yj+zketv=x0i+y0j+z0k. On sait qu'alors on a (ujv) = xx

0+yy0+zz0,kuk2=x2+y2+z2etkvk2=x02+y02+z02. On en deduit la

valeur du cosinus : cosdu;v=xx0+yy0+zz0px

2+y2+z2px

02+y02+z02.

Pour le sinus on a le resultat suivant :

1.3 Lemme.Avec les notations precedentes, on a :

sin

2du;v=(yz0zy0)2+ (zx0xz0)2+ (xy0yx0)2(x2+y2+z2)(x02+y02+z02).

Demonstration.Cela resulte de la formule qui donne le cosinus, de la relation cos

2+ sin2= 1 et de l'identite de Lagrange.

2 L'approche elementaire du produit vecto-

riel

2.1 Denition

2.1 Proposition-Denition.Il existe une unique application :EE!

Equi associe a deux vecteursu;vun vecteur noteu^v, veriant les proprietes suivantes :

1) Siu;vsont colineaires on au^v= 0.

2) Siu;vne sont pas colineaires, le vecteuru^vest orthogonal auetv,

la baseu;v;u^vest directe et on a : ku^vk=kukkvksindu;v: Demonstration.L'existence et l'unicite se montrent ensemble. Le cas co- lineaire est clair. Sinon, l'orthogonal du plan vectoriel (u;v) est une droite vectorielle donc engendree par un vecteurwnon nul. Il y a sur cette droite deux vecteurs opposes dont la norme est donnee par la formule ci-dessus et seul l'un des deux donne une base directe avecu;v. 2

2.2 Expression en coordonnees

On se donne une base orthonormee directei;j;ket deux vecteursu;v de coordonnees (x;y;z) et (x0;y0;z0) sur cette base. On a alors le resultat (fondamental) suivant :

2.2 Theoreme.Les coordonnees deu^vdans la basei;j;ksont :

(yz0zy0;zx0xz0;xy0yx0): Demonstration.Le cas ou les vecteurs sont colineaires est evident. Montrons que le vecteurwdont les coordonnees sont donnees ci-dessus verie les trois conditions denissantu^v.

1) Il est orthogonal au;v. Il s'agit de montrer qu'on a, par exemple :

x(yz0zy0) +y(zx0xz0) +z(xy0yx0) = 0: On peut faire le calcul (facile) directement, ou noter que c'est le developpement du determinant (evidemment nul) suivant : x y z x y z x 0y0z0 par rapport a sa premiere ligne.

2) Le fait que la base soit directe signie exactement que le determinant de

u;v;west positif, c'est-a-dire le determinant x y z x 0y0z0 yz

0zy0zx0xz0xy0yx0

Mais, en developpant par rapport a la derniere ligne, on trouve simplement : (yz0zy0)2+ (zx0xz0)2+ (xy0yx0)2 qui est bien positif.

3) Il reste a montrer que la norme du vecteurwest bienegale akukkvksindu;v,

mais c'est exactement la formule donnant le sinus vue en 1.3.

2.3Remarque.La denition ou l'expression en coordonnees donnent les for-

mulesj^k=i,k^i=j,i^j=k.

2.3 Bilinearite

2.4 Corollaire.L'application : (u;v)7!u^vest bilineaire, ce qui signie

qu'on a, pouru;v;w2Eet;2R: (u+v)^w=(u^w) +(v^w) et la relation analogue en echangeant les facteurs. Elle est aussi alternee (ce qui signie qu'on au^u= 0) et antisymetrique (v^u=u^v). 3 Demonstration.Tout est clair avec l'expression en coordonnees.

2.5Remarque.Il y a une autre voie pour montrer les resultats precedents qui

consiste a prouver d'abord la bilinearite puis l'expression en coordonnees. Le point delicat est de montrer que, pouruxe, l'application u:v7!u^v est lineaire. On montre pour cela qu'elle est composee de trois applications lineaires : u=hkukr(u;=2)pu oupuest la projection orthogonale deEsuru?,rla rotation d'axeuet d'angle=2 ethl'homothetie de rapportkuk. Voir par exemple le livre de

Michele AudinGeometrie(Belin editeur).

3 L'approche bilineaire

3.1 Theoreme-Denition.1) Il existe une unique application bilineaire

alternee :EE!Equi associe a deux vecteursu;vun vecteur noteu^v et qui veriei^j=k,k^i=jetj^k=ipour toute base orthonormee directei;j;k.

2) Si les vecteursu;vont pour coordonnees(x;y;z)et(x0;y0;z0)sur une

base orthonormee directei;j;k, les coordonnees deu^vsur cette base sont (yz0zy0;zx0xz0;xy0yx0):

3) Le vecteuru^vest orthogonal au;v, sa norme est egale akukkvksindu;v

et, si les vecteursu;vsont independants,u;v;u^vest une base directe de E. Demonstration.En verite, toutes les proprietes (existence, unicite, norme, etc.) decoulent du calcul en coordonnees. On choisit donc une base ortho- normee directei;j;ket on ecrit les vecteursu;vsur cette base :u=xi+ yj+zketv=x0i+y0j+z0k. On note d'abord que les conditions impliquent que est antisymetrique. En eet, on calcule (u+v)^(u+v) = 0 =u^u+u^v+v^u+v^v et on obtientu^v=v^u. En particulier on aj^i=ket les formules analogues. On peut alors calculeru^vsur la base et on voit aussit^ot que les coor- donnees sont celles annoncees ci-dessus. Cela montre l'unicite de . De plus, on a alors le point 3) par les m^emes arguments que ceux utilises en 2.2. Pour l'existence, on verie que l'application denie par les formules en coordonnees est bien bilineaire alternee. Il reste a voir que, pour toute base orthonormee directeu;v;won aw=u^v, etc. Mais, on a vu queu^v 4 est orthogonal au;v, qu'il est de norme 1 (caru;vsont de norme 1 et orthogonaux, de sorte que le sinus de leur angle est 1), et queu;v;u^vest directe et donc,u^vn'est autre quew. Le raisonnement est identique pour les autres.

3.2Remarque.On voit que les deux chemins menent au m^eme objet puisque,

dans chaque cas, on retrouve les proprietes qui ont servi de point de depart pour l'autre cas. Le choix n'est plus qu'une question de go^ut. 5quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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