[PDF] La fonction exponentielle

La fonction exponentielle s

Comment trouver la règle d'une fonction exponentielle. Par la table de valeur : Exemple 1 : = Trouvez a et b à partir de la table de valeurs suivante :.

FONCTIONS EXPONENTIELLES

Propriété : La fonction exponentielle de base q est définie strictement positive

Les Exponentielles

Définition 1 : On appelle fonction exponentielle la fonction f définie sur R par f(x) est l'unique Théor`eme 1 : Pour tous a et b réels on a :.

Fonction exponentielle et fonction logarithmique

125 il suffit donc de trouver l'exposant qu'il faut donner à 5 pour obtenir 125. 5. 3. = 125 ? log5. 125 = 3 rép: b) 7

Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle

Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle b. ( ) 3. 9 2. = - + x. f x x e . EXERCICE 19.2 Calculer les fonctions dérivées des fonctions ...

FONCTION EXPONENTIELLE

a) Etudier les limites de f à l'infini. b) Calculer la dérivée de la fonction f. c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. d)

FONCTION EXPONENTIELLE

Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp. Démonstration du a et b : ... a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Dresser le ...

Les fonctions

Dans chaque cas détermine la règle de la fonction exponentielle associée au graphique ou à la table de valeurs. a) b) c). . -1. 0. 4. .

FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp » : 2

f est donc solution de l'équation différentielle y? = y. D'autre part si x = b = 0

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont b) x < y ? eln x < eln y ? ln x < ln y ...

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FONCTION EXPONENTIELLE I Définition Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ? telle que et Démonstration de l'unicité (exigible BAC) :

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a) Calculer la dérivée de la fonction f b) Dresser le tableau de variation de la fonction f c) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant

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Définition 1 : On appelle fonction exponentielle la fonction f définie sur R par f(x) est l'unique antécédent y de x par la fonction ln c'est-`a-dire ln(y)

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp

sur R telle que ?a ? R ?b ? R f(a + b) = f(a)f(b) et f?(0) = 1 Cette fonction est la fonction exponentielle Démonstration : ?x ? R ?b ? R

La fonction est exponentielle : Si lorsqu'on prend une valeur de Y et on la divise par celle qui la précède on doit trouver toujours la même valeur

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? - a - Déterminer f D l'ensemble de définition de la fonction f b - Trouver les limites de f aux bornes des intervalles de l'ensemble de définition f

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B La fonction exponentielle Fondamental : Existence et unicité de la fonction exponentielle Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que :

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Définition Une fonction exponentielle de base exprimée sous sa forme la plus simple est une fonction de la forme : Définition et propriétés

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24 nov 2015 · Le but de ce chapitre est de construire une des fonctions mathématiques les plus importantes Elle est en effet présente dans toutes les

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Exercices d'applications et de réflexions avec solutions : fonctions exponentielles PROF : ATMANI NAJIB 2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la Vie

Comment trouver A et B dans une fonction exponentielle ?
Règle d'une fonction exponentielle Comment trouver la règle d'une fonction exponentielle. Pour trouver b, il suffit de prendre un nombre de la colonne y et le diviser par celui qui le préc?. Dans notre cas, b = 206 ÷ 200 = 207,8 ÷ 206 = 1.03.
Comment trouver la formule d'une fonction exponentielle ?
Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table de valeurs, on peut laisser tomber la forme y=a1(c1)b(x?h) y = a 1 ( c 1 ) b ( x ? h ) puisque la forme y=a2(c2)x y = a 2 ( c 2 ) x lui est équivalente.
Comment justifier qu'une fonction exponentielle est définie sur R ?
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d'après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(R) . signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).
Définition de la fonction exponentielle
L'exponentielle est définie comme l'unique fonction continue et dérivable sur \\mathbb{R} qui vérifie f'=f et f(0)=1. On note cette fonction \\exp. Pour tout réel x, on note \\exp(x)=e^x. On lit exponentielle x ou exponentielle de x mais pas exponentielle puissance x.

DERNIÈRE IMPRESSION LE24 novembre 2015 à 11:22

La fonction exponentielle

Table des matières

1 La fonction exponentielle2

1.1 Définition et théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . 3

1.3 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Autres opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Étude de la fonction exponentielle5

2.1 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Compléments sur la fonction exponentielle10

3.1 Dérivée de la fonctioneu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Exemples types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Fonctions d"atténuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Chute d"un corps dans un fluide. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Fonctions gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

Le but de ce chapitre est de construire une des fonctions mathématiquesles plus importantes. Elle est en effet présente dans toutes les sciences. Sa construction à partir d"une équation différentielle est passionnante, bien qu"historiquement elle ne se soit pas construite ainsi.

1 La fonction exponentielle

1.1 Définition et théorèmes

Théorème 1 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp ROCDémonstration :L"existence de cette fonction est admise.

Démontrons l"unicité.

La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x)

Commef?=f, on a :

=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler. UnicitéOn suppose que deux fonctionsfetgvérifient les conditions du théorème, soit f=f?,g?=getf(0) =g(0) =1. La fonctiongne s"annule donc pas, on définit alors surRla fonctionhparh=f g. On dériveh: h ?=f?g-fg? g2=fg-fgg2=0

La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)

g(0)=1

On a donc :?x?R,f(x)

g(x)=1. On en déduit quef=g. L"unicité est ainsi prouvée. Nous noterons dans la suite cette fonction exp.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle

Algorithme :Déterminer un algorithme permettant de visualiser la fonction exponentielle à partir de sa définition sur l"intervalle[-A;A]. On fera une approche de la fonction exponentielle à l"aide d"une approximation affine :f(a+h)≈f(a) +hf?(a). L"approximation sera d"autant meilleure queh sera petit Comme la fonction exponentielle vérifief?=f, cette approximation affine de- vient alors : f(a+h)≈f(a) +hf(a)≈f(a)(1+h) On commence à tracer le point (0; 1) carf(0)=1, puis avec un pasP, on trace de proche en proche les points à droite(X;Z)et les points à gauche(-X;T)du point (0; 1) dans l"intervalle[-A;A].

On obtient la courbe suivante pour :A=2 etP=1/10.

On prendra comme fenêtre :

X?[-2 ; 2]etY?[-0,5 ; 7]

Variables:A,P: entiers

X,Z,T: réels

Entrées et initialisation

LireA,P

0→X

1→Z

1→T

Effacer dessin

Tracer le point(X;Z)

Traitement

pourIde 1 àA/Pfaire

X+P→X

Z(1+P)→Z

T(1-P)→T

Afficher le point(X;Z)

Afficher le point(-X;T)

fin

1.3 Relation fonctionnelle

Théorème 2 :Soitaetbdeux réels, on a alors : exp(a+b) =exp(a)×exp(b) Remarque :Cette relation s"appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé- finir l"exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l"exponentielle est égale à sa dérivée. Démonstration :Posons la fonctionh(x) =exp(x+a) exp(a). Montrons alors que la fonctionhn"est autre que la fonction exponentielle. Il suffit alors de montrer queh?=heth(0) =1 :

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

h?(x) =exp?(x+a)exp(a)=exp(x+a)exp(a)=h(x) h(0) =exp(0+a) exp(a)=1 La fonctionhest donc la fonction exponentielle. On en déduit alors : exp(x+a) exp(a)=exp(x)?exp(x+a) =exp(x)×exp(a)

1.4 Autres opérations

Théorème 3 :Soitaetbdeux réels etnun entier naturel, on a alors les relations suivantes : exp(-a) =1exp(a)exp(a-b) =exp(a)exp(b)exp(na) =[exp(a)]n Démonstration :Les démonstrations sont immédiates. La première se montre à l"aide de la fonction?du 1.1 et la dernière propriété se montre par récurrence.

1.5 Notation

Définition 1 :: Du fait des propriétés similaires entre la fonction exponentielle et la fonction puissance, on pose :

e=exp(1)e≈2,718...ex=exp(x)

On a ainsi les propriétés :

Remarque :On peut avoir une approximation du nombreeà l"aide de ce petit programme :

On trouve pour :

P=10-2,E≈2,705

P=10-3,E≈2,717

Variables:A,P: entiersE: réel

Entrées et initialisation

LireP

1→E

Traitement

pourIde 1 à 1/Pfaire

E(1+P)→E

fin

Sorties: AfficherE

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2. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

2 Étude de la fonction exponentielle

2.1 Signe

Théorème 4 :La fonction exponentielle est strictement positive surR Démonstration :On sait que exp(x)?=0 pour tout réel. De plus la fonc- tion exponentielle est continue car dérivable surR. S"il existait un réelatel que exp(a)<0, d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existeraitun réelquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Comment trouver A et B dans une fonction exponentielle ?

Comment trouver la formule d'une fonction exponentielle ?

Comment justifier qu'une fonction exponentielle est définie sur R ?

La fonction exponentielle

Table des matières

1 La fonction exponentielle2

1.1 Définition et théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . 3

1.3 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Autres opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Étude de la fonction exponentielle5

2.1 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Compléments sur la fonction exponentielle10

3.1 Dérivée de la fonctioneu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Exemples types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Fonctions d"atténuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Chute d"un corps dans un fluide. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Fonctions gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

1 La fonction exponentielle

1.1 Définition et théorèmes

Démontrons l"unicité.

Commef?=f, on a :

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)

On a donc :?x?R,f(x)

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle

On obtient la courbe suivante pour :A=2 etP=1/10.

On prendra comme fenêtre :

X?[-2 ; 2]etY?[-0,5 ; 7]

Variables:A,P: entiers

X,Z,T: réels

Entrées et initialisation

LireA,P

0→X

1→Z

1→T

Effacer dessin

Tracer le point(X;Z)

Traitement

X+P→X

Z(1+P)→Z

T(1-P)→T

Afficher le point(X;Z)

Afficher le point(-X;T)

1.3 Relation fonctionnelle

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.4 Autres opérations

1.5 Notation

e=exp(1)e≈2,718...ex=exp(x)

On a ainsi les propriétés :

On trouve pour :

P=10-2,E≈2,705

P=10-3,E≈2,717

Variables:A,P: entiersE: réel

Entrées et initialisation

1→E

Traitement

E(1+P)→E

Sorties: AfficherE

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2. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

2 Étude de la fonction exponentielle

2.1 Signe

e=exp(1)e≈2,718...ex=exp(x)

P=10-2,E≈2,705

P=10-3,E≈2,717