Cours de mathématiques - Exo7
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Comment étudier une suite récurrente ?
Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1=f(un) u n + 1 = f ( u n ) , où f:D?R f : D ? R est continue et u0?I u 0 ? I . Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…) Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l .Comment définir une suite par récurrence ?
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.Quel est la formule de récurrence ?
On pourrait écrire la relation de récurrence suivante : Un+1 = Un + 3 avec U0 = ? 5. Définition : Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.- Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Les suites
IntroductionL"étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l"évolution de séquences de nombres (réels, complexes
...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l"on place
une sommeSà un taux annuel de 10%. SiSnreprésente la somme que l"on obtiendra aprèsnannées, on a
S0=S S1=S×1,1 ...Sn=S×(1,1)n.
Au bout den=10ans, on possédera doncS10=S×(1,1)10tS×2,59: la somme de départ avec les intérêts cumulés.
1. Définitions
1.1. Définition d"une suiteDéfinition 1.
Unesuiteest une applicationu:N→R.
Pourn∈N, on noteu(n)parunet on l"appellen-èmetermeouterme généralde la suite.La suite est notéeu, ou plus souvent(un)n∈Nou simplement(un). Il arrive fréquemment que l"on considère des suites
définies à partir d"un certain entier natureln0plus grand que 0, on note alors(un)n⩾n0.Exemple 1.
(pn)n⩾0est la suite de termes : 0, 1,p2, p3,... ((-1)n)n⩾0est la suite qui alterne+1,-1,+1,-1,... La suite(Sn)n⩾0de l"introduction définie parSn=S×(1,1)n,(Fn)n⩾0définie parF0=1,F1=1et la relationFn+2=Fn+1+Fnpourn∈N(suite de Fibonacci). Les premiers
termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...Chaque terme est la somme des deux précédents.1n
2 n⩾1. Les premiers termes sont 1,14 ,19 ,116LES SUITES1. DÉFINITIONS2
1.2. Suite majorée, minorée, bornéeDéfinition 2.
Soit(un)n∈Nune suite.
(un)n∈Nestbornéesi elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : m+1.3. Suite croissante, décroissante
Définition 3.
Soit(un)n∈Nune suite.
(un)n∈Neststrictement croissantesi∀n∈Nun+1>un. (un)n∈Neststrictement décroissantesi∀n∈Nun+1Remarque.
(un)n∈Nest croissante si et seulement si∀n∈Nun+1-un⩾0.Si(un)n∈Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si∀n∈Nun+1u
n⩾1.Exemple 2.
La suite(Sn)n⩾0de l"introduction est strictement croissante carSn+1/Sn=1,1>1.La suite(un)n⩾1définie parun= (-1)n/npourn⩾1, n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par1/2
(borne atteinte enn=2), minorée par-1 (borne atteinte enn=1).LES SUITES2. LIMITES31234561
1 2 12 -1++La suite1n
n⩾1est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1(borne atteinte pourn=1), elle est
minorée par 0 mais cette valeur n"est jamais atteinte.Mini-exercices. 1.La suite nn+1
n∈Nest-elle monotone? Est-elle bornée? 2.La suite
nsin(n!)1+n2 n∈Nest-elle bornée? 3.Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune
des phrases. (a) La suite(un)n∈Nest majorée par7. (b) La suite(un)n∈Nest constante. (c) La suite(un)n∈Nest
strictement positive à partir d"un certain rang. (d)(un)n∈Nn"est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu"une suite croissante est minorée ?Majorée ? 5.Soit x>0 un réel. Montrer que la suitexnn!
n∈Nest décroissante à partir d"un certain rang.2. Limites2.1. Introduction
Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d"abonnement de train à50euros et on obtient chaque
billet à 10 euros. La publicité affirme " 50% de réduction ». Qu"en pensez-vous? Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entiern⩾1 : u n=20n v n=10n+50 u nest le prix payé au bout denachats au tarif plein, etvncelui au tarif réduit, y compris le prix de l"abonnement. La
réduction est donc, en pourcentage : 1-vnu n=un-vnu Il faut donc une infinité de trajets pour arriver à 50% de réduction!50%LES SUITES2. LIMITES4
2.2. Limite finie, limite infinie
Soit(un)n∈Nune suite.Définition 4.La suite(un)n∈Na pourlimiteℓ∈Rsi : pour toutε >0, il existe un entier naturelNtel que sin⩾Nalors
|un-ℓ|⩽ε:∀ε >0∃N∈N∀n∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε)
On dit aussi que la suite(un)n∈Ntend versℓ. Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut deℓ, à partir
d"un certain rang.ℓℓ+εℓ-ε++++++++ Nnu nDéfinition 5. 1.La suite (un)n∈Ntend vers+∞si :
2.La suite (un)n∈Ntend vers-∞si :
1.On note lim
n→+∞un=ℓou parfoisun----→n→+∞ℓ, et de même pour une limite±∞.
2. lim n→+∞un=-∞ ⇐⇒limn→+∞-un= +∞. 3.On raccourcit souvent la phrase logique en :
∀ε >0∃N∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε).Noter queNdépend deεet qu"on ne peut pas échanger l"ordre du " pour tout » et du " il existe ».
4.L"inégalité|un-ℓ|⩽εsignifieℓ-ε⩽un⩽ℓ+ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase :∀ε >0∃N∈
N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|< ε), où l"on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte.Définition 6.
Une suite(un)n∈Nestconvergentesi elle admet une limitefinie. Elle estdivergentesinon (c"est-à-dire soit la suite
tend vers±∞, soit elle n"admet pas de limite).On va pouvoir parler delalimite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :Proposition 1.
Si une suite est convergente, sa limite est unique.Démonstration.On procède par l"absurde. Soit(un)n∈Nune suite convergente ayant deux limitesℓ̸=ℓ′. Choisissons
ε >0 tel queε <|ℓ-ℓ′|2
Comme lim
n→+∞un=ℓ, il existeN1tel quen⩾N1implique|un-ℓ|< ε.De même lim
n→+∞un=ℓ′, il existeN2tel quen⩾N2implique|un-ℓ′|< ε.NotonsN=max(N1,N2), on a alors pour ceN:
|uN-ℓ|< εet|uN-ℓ′|< εLES SUITES2. LIMITES5Donc|ℓ-ℓ′|=|ℓ-uN+uN-ℓ′|⩽|ℓ-uN|+|uN-ℓ′|d"aprèsl"inégalitétriangulaire. On en tire|ℓ-ℓ′|⩽ε+ε=2ε <|ℓ-ℓ′|.
On vient d"aboutir à l"inégalité|ℓ-ℓ′|<|ℓ-ℓ′|qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et
doncℓ=ℓ′.2.3. Propriétés des limitesProposition 2.
1.limn→+∞un=ℓ⇐⇒limn→+∞(un-ℓ) =0⇐⇒limn→+∞|un-ℓ|=0,
2.limn→+∞un=ℓ=⇒limn→+∞|un|=|ℓ|.Démonstration.Cela résulte directement de la définition.Proposition 3(Opérations sur les limites).
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites convergentes. 1.Si limn→+∞un=ℓ, oùℓ∈R, alors pourλ∈Ron alimn→+∞λun=λℓ.
2.Si limn→+∞un=ℓetlimn→+∞vn=ℓ′, oùℓ,ℓ′∈R, alors
lim n→+∞(un+vn) =ℓ+ℓ′ lim n→+∞(un×vn) =ℓ×ℓ′ 3.Si limn→+∞un=ℓoùℓ∈R∗=R\{0}alors un̸=0pour n assez grand etlimn→+∞1u
n=1ℓ .Nous ferons la preuve dans la section suivante. Nous utilisons continuellement ces propriétés, le plus souvent sans nous en rendre compte.Exemple 3.
Siun→ℓavecℓ̸=±1, alors
u n(1-3un)-1u2-1.Proposition 4(Opérations sur les limites infinies).
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites telles quelimn→+∞vn= +∞.1.limn→+∞1v
n=0 2. Si (un)n∈Nest minorée alorslimn→+∞(un+vn) = +∞. 3. Si (un)n∈Nest minorée par un nombreλ >0alorslimn→+∞(un×vn) = +∞. 4. Si limn→+∞un=0et un>0pour n assez grand alorslimn→+∞1u n= +∞.Exemple 4.La suite(pn)tend vers+∞, donc la suite(1pn
)tend vers 0.2.4. Des preuves!
Nous n"allons pas tout prouver mais seulement quelques résultats importants. Les autres se démontrent de manière
tout à fait semblable. Commençons par prouver un résultat assez facile (le premier point de la proposition 4 "Silimun= +∞alorslim1u n=0.»Démonstration.
Fixonsε >0. Commelimn→+∞un= +∞, il existe un entier naturelNtel quen⩾Nimpliqueun⩾1ε.
On obtient alors 0⩽1u
n⩽εpourn⩾N. On a donc montré que limn→+∞1un=0.Afin de prouver que la limite d"un produit est le produit des limites nous aurons besoin d"un peu de travail.
Proposition 5.
Toute suite convergente est bornée.
LES SUITES2. LIMITES6
Démonstration.Soit(un)n∈Nune suite convergeant vers le réelℓ. En appliquant la définition de limite (définition4 )
avecε=1, on obtient qu"il existe un entier naturelNtel que pourn⩾Non ait|un-ℓ|⩽1, et donc pourn⩾Non a
NDonc si on pose
on a alors∀n∈N|un|⩽M.Proposition 6.Si la suite(un)n∈Nest bornée etlimn→+∞vn=0alorslimn→+∞(un×vn) =0.Exemple 5.
Si(un)n⩾1est la suite donnée parun=cos(n)et(vn)n⩾1est celle donnée parvn=1pn , alors limn→+∞(unvn) =0.Démonstration.
La suite(un)n∈Nest bornée, on peut donc trouver un réelM>0tel que pour tout entier naturelnon
ait|un|⩽M. Fixonsε >0. On applique la définition de limite (définition4 ) à la suite(vn)n∈Npourε′=εM. Il existe
donc un entier naturelNtel quen⩾Nimplique|vn|⩽ε′. Mais alors pourn⩾Non a :On a bien montré que lim
n→+∞(un×vn) =0.Prouvons maintenant la formule concernant le produit de deux limites (voir proposition3 ).
Démonstration de la formule concernant le produit de deux limites.Le principe est d"écrire : u nvn-ℓℓ′= (un-ℓ)vn+ℓ(vn-ℓ′)D"après la proposition
6, la suite de terme généralℓ(vn-ℓ′)tend vers0. Par la même proposition il en est de même de la
suite de terme général(un-ℓ)vn, car la suite convergente(vn)n∈Nest bornée. On conclut quelimn→+∞(unvn-ℓℓ′) =0,
ce qui équivaut à limn→+∞unvn=ℓℓ′.2.5. Formes indéterminéesDans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite, il faut faire une étude au cas par cas.
Exemple 6.
1."+∞-∞» Cela signifie que siun→+∞etvn→ -∞il faut faire faire l"étude en fonction de chaque suite
pour déterminer lim(un+vn)comme le prouve les exemples suivants. lim n→+∞(en-ln(n)) = +∞ lim n→+∞n-n2=-∞ lim n+1n -n =0LES SUITES2. LIMITES7
2. " 0 ×∞» lim n→+∞1lnn×en= +∞ lim n→+∞1n×lnn=0
lim n→+∞1n×(n+1) =1
3.», "00
», " 1∞», ...
2.6. Limite et inégalitésProposition 7.
1.Soient (un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites convergentes telles que :∀n∈N, un⩽vn. Alors
lim2.Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites telles quelimn→+∞un= +∞et∀n∈N,vn⩾un. Alorslimn→+∞vn= +∞.
3.Théorème des " gendarmes » : si (un)n∈N,(vn)n∈Net(wn)n∈Nsont trois suites telles que
∀n∈Nun⩽vn⩽wnetlimn→+∞un=ℓ=limn→+∞wn, alors la suite(vn)n∈Nest convergente etlimn→+∞vn=ℓ.ℓw
n++++++++++++ u n++++++++++++ v n++++++++++++Remarque.
1.Soit (un)n∈Nune suite convergente telle que :∀n∈N,un⩾0. Alors limn→+∞un⩾0.
2.Attention, si(un)n∈Nest une suite convergente telle que :∀n∈N,un>0, on ne peut affirmer que la limite est
strictement positive mais seulement quelimn→+∞un⩾0. Par exemple la suite(un)n∈Ndonnée parun=1n+1est à
termes strictement positifs, mais converge vers zéro.Démonstration de la proposition
7 1.En posantwn=vn-un, on se ramène à montrer que si une suite(wn)n∈Nvérifie∀n∈N,wn⩾0et converge,
alorslimn→+∞wn⩾0. On procède par l"absurde en supposant queℓ=limn→+∞wn<0. En prenantε=|ℓ2
dans la définition de limite (définition 4 ), on obtient qu"il existe un entier naturelNtel quen⩾Nimplique |wn-ℓ|< ε=-ℓ2 . En particulier on a pourn⩾Nquewn< ℓ-ℓ2 =ℓ2 <0, une contradiction.ℓℓ+ε2 =ℓ2 ++++++N w n⩽ℓ2 <00 2.Laissé en exercice.
3.En soustrayant la suite(un)n∈N, on se ramène à montrer l"énoncé suivant : si(un)n∈Net(vn)n∈Nsont deux suites
telles que :∀n∈N,0⩽un⩽vnetlimn→+∞vn=0, alors(un)converge etlimn→+∞un=0. Soitε >0etNun
entier naturel tel quen⩾Nimplique|vn|< ε. Comme|un|=un⩽vn=|vn|, on a donc :n⩾Nimplique|un|< ε.
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