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Suites récurrentes linéaires `a connaˆ?tre

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17 oct. 2016 ?n ? N aun+2 + bun+1 + cun = 0. ?n ? N

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Suites récurrentes linéaire d'ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ?n ? N un+1 = aun + b Cas particuliers

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I Suites récurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = aun + b Ces suites sont parfois qualifiées de suites arithmético-géométriques La terminologie est mal-

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Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 1 ?
Récurrence linéaire à 1 terme, u_o donné et : (1) u_n₊₁ = au_n + b : Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme u_n₊₁ = au_n + b où a, b et u_o sont des nombres réels donnés, s'étudient très simplement : Le cas a = 1 correspond à une suite arithmétique de raison b.
Comment résoudre une suite récurrente ?
Etude pratique des suites récurrentes
1Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)2Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l . 3Etape 3 : Déterminer un intervalle I stable par f sur lequel f est monotone, et tel que u0?I u 0 ? I .
Qu'est-ce qu'une suite récurrente d'ordre 2 ?
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
Une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ?n ? N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ?= 0.

C1. SUITES RÉCURRENTES D"ORDRE1

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES

D"ORDRE1

Julie Scholler - Bureau B246

janvier 2020.

Suite récurrente

On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrented"ordre p?N?s"il existe une fonctionftelle que ?n?N,un+p=f(un+p-1,un+p-2,...,un,n)Suite récurrente linéaire à coefficients constants On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrente linéaire à coefficients constantsd"ordrep?N?s"il existe des réels a

1,...,ap,bet une fonctionftels que

u n+p-a1un+p-1-a2un+p-2- ··· -apun=f(n) I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Suites récurrentes linéaire d"ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ?n?N,un+1=aun+bCas particuliers a=0 :suite constante égale àbà partir du rang 1• b=0 :suite géométrique de raisona• a=1 etb=0 :suite constante

a=1 etb?=0 :suite arithmétique de raisonb→Suites arithmético-géométriquesI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne :

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

Évolution de capital :

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1Questions

Compte épargne :

•Combien d"argent aura-t-on sur le compte au bout d"un an (12 périodes)? •Au bout de combien de temps aura-t-on 1000 euros sur le compte? Évolution de capital : comportement sur le long terme I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Point d"équilibreUnpoint d"équilibreou une valeur stationnaire d"une équation aux différences finies est une valeur deu0pour laquelle le système est stationnaire, c"est-à-direun+1=un, pour tout entier positifn.Point fixe Un point d"équilibre est un point fixe de la fonctionfdéfinissant la relation de récurrence.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Terme général d"une suite arithmético-géométrique

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

On pose?l"unique solution de l"équation?=a?+b.

Alors la suite de terme généralun-?est une suite géométrique de raisona pour tout entiernpositif ou nul, on a u n=an(u0-?) +?=an-1(u1-?) +? I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Limite

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

La suite(un)n?Nconverge si et seulement si|a|<1.

Si elle converge, alors sa limite est?=b1-a.Point d"équilibre Quand une suite arithmético-géométrique converge, sa limite est le point d"équilibre de l"équation aux différences finies vérifiée par la suite.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

u n→+∞+∞•

Évolution de capital

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1 I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Modèle de Cobweb

Demande :Qdt=α-βPt(α,β >0)

Offre :Qst=-γ+δPt-1(γ,δ >0)

Équilibre :Qdt=QstI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements

Cas particuliers

Casa=1 :

divergence régulière?××××××

Casa=-1 :

divergence oscillatoire, oscillations entretenues?××× I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements : cas oùa>1

•a>1 etu0> ?: divergence régulièreu 0uquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 1 ?

Comment résoudre une suite récurrente ?

Etude pratique des suites récurrentes

Qu'est-ce qu'une suite récurrente d'ordre 2 ?

C1. SUITES RÉCURRENTES D"ORDRE1

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES

D"ORDRE1

Julie Scholler - Bureau B246

Suite récurrente

1,...,ap,bet une fonctionftels que

Exemples

Compte épargne :

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

Évolution de capital :

Compte épargne :

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

On pose?l"unique solution de l"équation?=a?+b.

Limite

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

La suite(un)n?Nconverge si et seulement si|a|<1.

Exemples

Compte épargne

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

Évolution de capital

Modèle de Cobweb

Demande :Qdt=α-βPt(α,β >0)

Offre :Qst=-γ+δPt-1(γ,δ >0)

Les différents comportements

Cas particuliers

Casa=1 :

Casa=-1 :

Les différents comportements : cas oùa>1