[PDF] Quantificateurs logiques et rédaction mathématique

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SORBONNE UNIVERSITÉ

FOS Sciences - Semestre 1DU RESPE

Année 2018-2019

Quantificateurs logiques et rédaction mathématique

1 Rappels de rédaction

Lorsqu"on répond à une question, ou qu"on rédige une démonstration, quelques phrases sont à

utiliser de manièresystématique.

1) Pour les démonstrations:

P ourdéfinirune variablex, on peut utiliser : "Soitx", "On définitx", "Considéronsx"... Il faut toujoursêtretrès précis: décrivez toujours le cadre dans lequel vous travaillez.

Lorsque v ousfaites référe nceà un autre théorème, il faut le dire !P arexemple, si on utilise

le théorème de Pythagore pour une démonstration, il faudra écrire "par le théorème de

Pythagore, on a...". Les résultats que vous utilisez ne sortent pas par magie!

P ourdécrire une implication, un résultat, on écrit "par conséquen t","on a", "on a le r ésultat

suivant", etc...

2) Pour les exercices:

Indiquez ce que v ousc hercherd ansl"exercice. P arexemple, si on v ousdemander de calculer le nombre total de grenouilles dans un lac, écrivez : "Nombre total de grenouilles dans le

lac". Cela peut paraître un peu excessif au début, mais cela aide le professeur à suivre votre

raisonnement! Définissez toujou rsv otrev ariable:"soit x?R, soitn?N", etc...

Citez les théorèmes et ré sultatsque v ousconnaissez. P arexemple : "D"après le théorè me

fondamental de l"algèbre", "D"après le premier principe de la thermodynamique", etc...

F aitestoujoursune phrase de conclusion.

-Encadrezles résultats importants. A retenir :il faut toujours rédiger un exercice ou une démonstration dans le but qu"une personneaveuglepuissetout comprendre. Il faut donc écrire beaucoup, avec des détails, et

être très précis! C"est très agréable à lire pour les professeurs, et cela vous aidera beaucoup.

Maurin Lise1

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Année 2018-2019

2 Quantificateurs logiques

Référence :"Bien commencer ses études supérieures en mathématiques", Henri Lemberg,

édition Vuibert, collection STUDIO SUP, 1997.

2.1 QuantificateursSymboleFrançaisExemple

?pour tout?x?R,?n?J1,7K?il existe?y?Q?!il existe un unique?!x?R,x2= 0¬négation¬P(x),¬p?conjonction, "et"P(x)? Q(x), p?q∩intersection d"ensemble, "et"]-5,3]∩]3,4[=??disjonction, "ou"P(x)? Q(x), p?q?union d"ensemble, "ou"{1,2,3} ? {6,7,8}={1,2,3,6,7,8}?impliquex

2= 0?x= 0?équivalencex

2= 2?x? {-⎷2,⎷2}→implique (énoncé)"être un nombre premier"→"être divisible par 1"↔équivalence (énoncé)"respirer"↔"être vivant"2.2 Formules

•On noteraP(x)ouQ(x)uneformulevérifiée parx. Une formule définit toujours un en- semble. exemple :P(x) =" x est un enfant".A={x|P(x)}est l"ensemble des enfants. •On définit lenégationd"une formuleP(x)qui définit l"ensembleA={x|P(x)}par a formule "négation"¬P(x):¯A={x|¬P(x)}

Maurin Lise2

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Année 2018-2019

•On définit laconjonctionde deux formulesP(x)etQ(x)définissant respectivementAet

Bpar la formuleP ? Q, qui définit l"ensemble :

A∩B={x|xvérifieP(x)etQ(x)}

exemple :P(x) ="xest un étudiant" etQ(x) ="xest une fille".P(x)? Q(x) ="xest une étudiante", etA∩Best l"ensemble des étudiantes. •On définit ladisjonctionde deux formulesP(x)etQ(x)définissant respectivementAetB par la formuleP ? Q, qui définit l"ensemble :

A?B={x|xvérifieP(x)ouQ(x)}

exemple :P(n) ="nest un entier naturel divisible par 3 et inférieur à 14" etQ(n) ="nest un

entier naturel divisible par 5 et inférieur à 14".P(n)? Q(n) ="nest un entier naturel inférieur

à 14 divisible par 3ou5 ", etA?B={3,5,6,9,10,12}.

2.3 Énoncés :

•On notera p ou q unénoncé. C"est une phrase, qui peut être soit vraie (V), soit fausse (F).

exemple :q = "Tout réel au carré est positif" est un énoncé, qui a pour valeurV. exemple :p = "Marseille est la capitale de la France" a pour valeurF.

•On note¬p la négation d"un énoncé, p?q la conjonction de deux énoncés, p?q la dis-

jonction de deux énoncés. •On note p→q lorsque p implique q, et p↔q lorsque p est équivalent à q. exemple :p = "être vivant" et q = "respirer". On a clairement p↔q.

exemple :p = "être divisible par 2" et q = "être divisible par 4". On a q→p mais pas l"inverse.

Maurin Lise3

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Année 2018-2019

DEVOIR MAISON

À rendre pour le jeudi 20 décembredernier délai. L"attention sera portée sur la rédaction.

[Q1] :Traduire en français : "?x?R, x2≥0". [Q2] :Traduire en français : "?n?N,?m?N,m=n+ 1". [Q3] : a)Écrire en langage mathématiques la formule suivante : "nest un entier naturel pair". b)Écrire en langage mathématiques la formule suivante : "nest un entier naturel impair". Par la suite, on note A l"ensemble des entiers naturels pairs et B l"ensemble des entiers natu- rels impairs. c)Décrire en français l"ensembleA∩B. d)Décrire en français l"ensembleA?B. [Q4] :Écrire en français la négation¬p de l"énoncé p="être une fille". [Q5] : a)Décrire en français l"ensembleA={x?R|x≥3}. b)Quel est le complémentaire deA={x?R|x≥3}?

[Q6] :On considère l"énoncé q="À Noël, je mangerai de la dinde ou du poulet". Choisir la

négation¬q parmi les énoncés suivants. Il n"y a qu"une seule bonne réponse. (A) À Noël, soit je ne mangerai pas de dinde, soit je ne mangerai pas de poulet. (B) À Noël, je mangerai de la dinde ou du poisson. (C) Je ne mangerai pas à Noël. (D) À Noël, je ne mangerai ni de dinde, ni de poulet. [Q7] :On considère les énoncés p="Dominique est un garçon" et q="Camille est une fille".

Compléter le tableau suivant :pqp?qVV

VF VF F

Maurin Lise4

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