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LE NOMBRE D"OR EN MATH

´EMATIQUE

Pierre de la Harpe

1er novembre 2008

ABSTRACT. This is a popularization essay of mathematics, in French, about the number

known as the golden ratio:?≈1.61803···. Several definitions of this number are shown to

be equivalent. The golden ratio is then shown to be relevant to some elementary geometric problems (proportions in a regular pentagon), and also to arithmetic considerations of both elementary and more advanced nature (diophantine approximation, Hilbert"s 10th problem). The mathematical background expected from the reader varies a lot from place to place. R

´ESUM´E. Texte de vulgarisation math´ematique `a propos du nombre d"or?≈1.61803···.

On y montre d"abord l"´equivalence de plusieurs d´efinitions de ce nombre. Puis on d´ecrit le

rˆole du nombre d"or dans divers probl`emes g´eom´etriques (proportions dans un pentagone

r´egulier), ainsi que dans diverses consid´erations arithm´etiques ´el´ementaires et plus avanc´ees

(approximation diophantienne, 10`eme probl`eme de Hilbert). Les pr´erequis math´ematiques sous-entendus varient consid´erablement de place en place. Chic J"ai

Compris

L"essentiel

Et c"est pour demain

Si le diable est dans les d´etails

1

Un choix de d´efinitions

En math´ematiques, le nombre d"or peut ˆetre d´efini de plusieurs mani`eres, diff´erentes,

mais toutes ´equivalentes au sens o`u elles d´efinissent le mˆeme nombre. Le choix des d´efinitions qui suivent, ainsi que leur ordre, rel`eve donc d"une bonne dose d"arbitraire.

D´efinition 1.Le nombre d"or est le nombre

?=⎷5 + 1 2 La notation choisie, la lettre grecque?, prononcer "fi", est l"un des usages courants (un autre estτ, prononcer `a mi-chemin entre "tau" et "tao"). Certains auteurs affirment que le choix de?honore le sculpteur grec Phidias, du V`eme si`ecle avant J´esus-Christ.1 Un fib est un po`eme de 6 vers comptant 20 syllabes, les 6 vers ayant dans l"ordre 1,1,2,3,5 et 8

syllabes. Wikip´edia mentionne l"existence de fibs en sanscrit remontant `a plus de 2000 ans. Pour un site

de fibs, dus `a Marc Lebel, voir http://mlebelm.ca/index.php?Fibs-a-la-fibonacci

2 PIERRE DE LA HARPE

Approximations d´ecimales.Pour les flemmards : de 4<5<9, on d´eduit d"abord

2<⎷5<3, et par suite 1,5< ? <2. En poussant les calculs un peu plus loin, d"abord

4,84<5<5,29 =?2,2<⎷5<2.3 =?1,6< ? <1,65,

puis

4,9729<5<5,0176 =?2,23<⎷5<2.24 =?1,615< ? <1,62,

etc., par exemple jusqu"`a ce qu"on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia) ?≈1,6180339887···,ou encore un peu plus : Voir http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi10000dps.txt (par ex- emple) pour les 10000 premi`eres d´ecimales de?. C"est une cons´equence de la proposition 2 (voir plus bas) qu"il n"est pas possible d"´ecrire une valeur exacte en notation d´ecimale avec un nombre fini de chiffres. D´efinition 2.Le nombre d"or est la solution positive de l"´equationx2-x-1 = 0. Equivalence avec la d´efinition 1.L"´equationx2-x-1 = 0 a deux solutions qui sont1+⎷5 2 et

1-⎷5

2 , comme on le v´erifie par exemple en ´ecrivant x-1 +⎷5 2 x-1-⎷5 2 x-12 2 ⎷5 2 2 x

2-x+14

-54 =x2-x-1. Par ailleurs, il est (presqu") ´evident que le nombre

1+⎷5

2 est positif et que le nombre1-⎷5 2 est n´egatif.? Remarques.Ainsi,?2-?-1 = 0 ; il est parfois avantageux d"´ecrire cela sous la forme 1? =?-1.

Notons par ailleurs que

1? =-2⎷5 + 1 =-2(⎷5-1)( ⎷5 + 1)( ⎷5-1)=-2(⎷5-1)4 =1-⎷5 2 c"est-`a-dire que l"autre racine de l"´equation de la d´efinition 2 est pr´ecis´ement 1? =1-⎷5 2 ≈ -0.618···. D´efinition 3.Le nombre d"or est la proportion?telle que, ´etant donn´e deux nombres positifsLet?tels queL > ? >0, le rapport deL+?`aLest ´egal au rapport deL`a?.

Equivalence avec la d´efinition 2.SiL+?L

=L? =?, alors??+??? =?, donc?+1? =?, ou encore ?+ 1 =?2, de sorte que?est bien le nombre de la d´efinition 2. R´eciproquement, soit?le nombre de la d´efinition 2. Choisissons arbitrairement un nombre? >0 et posonsL=??. On v´erifie facilement queL+?L =L? =?, de sorte que? est bien le nombre de la d´efinition 3.?

LE NOMBRE D"OR EN MATH

´EMATIQUE 3

Faisons d"abord de la g´eom´etrie ...

Proposition 1.Dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur1, les diagonales ont longueur?.

D´emonstration.Consid´erons un pentagone r´egulier de sommetsP,Q,R,S,T, dont les cˆot´es

ont longueur long(PQ) = long(QR) = long(RS) = long(ST) = long(TP) = 1. Les cinq diagonales ont aussi mˆeme longueur, que nous notonsτ: long(PR) = long(QS) = long(RT) = long(SP) = long(TQ) =τ.

Il s"agit de montrer queτ=?.

INDISPENSABLE : dessiner une figure en lisant la suite ! Premi`erement, notonsUl"intersection des diagonalesQSetRT. Les trianglesUTQet URSont leurs cˆot´es parall`eles deux `a deux ; ils sont donc semblables, et on a long(QU)long(US)=long(QT)long(RS)=τ.

Deuxi`emement, le quadrilat`erePQUTest un losange (cˆot´es oppos´es parall`eles et de mˆeme

longueur) ; par suite : long(QU) = long(PT) = 1.

Il en r´esulte que

Vu la d´efinition 3, on a bienτ=?.?

Cette proposition montre donc l"´equivalence des d´efinitions pr´ec´edentes avec la d´efinition

suivante. D´efinition 4.Le nombre d"or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur des cˆot´es dans un pentagone r´egulier. Remarque.Le nombre d"or apparaˆıt ainsi de mani`ere tr`es simple dans une figure, le pentagone r´egulier, qui a exerc´e depuis la nuit des temps une tr`es grande fascination. La d´ecouverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc consid´erable pour les g´eom`etres de la Gr`ece ancienne ; voir [OsWa]. Exercice.Si vous savez ce qu"est un cosinus, montrez que 2cos π5

[Indication : dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur 1, on trouve un triangle

rectangle dont l"hypoth´enuse est de longueur 1 et un cˆot´e de l"angle droit de longueur?/2.]

Remarque,pour les lecteurs qui savent manipuler l"exponentielle d"un nombre complexe.

Voici une autre mani`ere de d´emontrer la relation de l"exercice pr´ec´edent : siz=e2iπ/5

4 PIERRE DE LA HARPE

etγ=?z+1z ?= 2cos(2π/5), alorsz4+z3+z2+z+ 1 = 0 etγ2+γ-1 = 0, et par suite cos(2π/5) =⎷5-14 . On en d´eduit d"abord que 2cos2(π/5) = 1 + cos(2π/5) =3+⎷5 4 et finalement que 2cos(π/5) =?3+ ⎷5 2 =1+⎷5 2 Voici une traduction trigonom´etrique des quatre lignes qui pr´ec`edent, sans nombre com- plexe. Choisissons l"origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l"ordre cyclique :z0,z1,z2,z3,z4. Montrons d"abord que la sommeS=z0+z1+z2+z3+z4de ces quatre vecteurs est nulle.

En effet, la moiti´e de la somme de deux sommets cons´ecutifs est le milieu du cˆot´e qui les

joint, par exemple 12 (z0+z1) =-ρz3, o`uρd´esigne la distance entre l"origine et le milieu d"un cˆot´e. Par suite S=12 (z0+z1) +12 (z1+z2) +12 (z2+z3) +12 (z3+z4) +12 (z4+z0) ce qui impliqueS= 0.

Les coordonn´ees des sommets s"´ecrivent

z

0= (1,0)

z

1= (cos2π5

,sin2π5 )z4= (cos2π5 ,-sin2π5 z

2= (cos4π5

,sin4π5 )z3= (cos4π5 ,-sin4π5 etS= 0 implique (†) 1 + 2cos2π5 + 2cos4π5 = 0.

Posons provioisrementx= 2cosπ5

. Alors 2cos2π5 =x2-2 et 2cos4π5 = (x2-2)2-2 = x

4-4x2+ 2, de sorte que la relation (†) s"´ecrit

1 +x2-2 +x4-4x2+ 2 =x4-3x2+ 1 = 0.

A priori, on trouve les deux solutionsx2=12

(3±⎷5). Or le signe-ne convient pas, car π5 <π3 ?cosπ5 >cosπ3 = 1?2cosπ5 >1?x2>1. On trouve donc bienx2=12 (3+⎷5), et donc aussix=12 (1 +⎷5) =?, comme promis. Exercice.On consid`ere dans le plan un cercle centr´e en un pointO, deux rayonsOPet OBperpendiculaires de ce cercle, le milieuDdu rayonOB, la bissectrice de l"angleODP qui coupe le rayonOPen un pointN, la perpendiculaire `aOPenNqui coupe le cercle en un pointQ, et le point sym´etriqueTdeQpar rapport `a la droite portant le rayonOP.

Montrer que

long(QT)long(PQ)=?, c"est-`a-dire queP,QetTsont trois des cinq sommets d"un pentagone r´egulier inscrit dans le cercle de d´epart. (La construction est celle donn´ee `a la page 27 de [Cox-69] ; c"est une variante de la construction d"Euclide. Pour trouver la solution de l"exercice, il faut bien sˆur commencer par faire un dessin !) Remarque.Le nombre d"or se retrouve naturellement dans plusieurs rapports de lon- gueurs qui apparaissent dans undod´eca`edre r´egulier, ce poly`edre de l"espace qui poss`ede

LE NOMBRE D"OR EN MATH

´EMATIQUE 5

douze faces dont chacune est un pentagone r´egulier, et vingt sommets en chacun desquels se rejoignent trois faces. On retrouve ces mˆemes rapports dans le poly`edre cousin qui est l"icosa`edre r´egulier ; il a

20 faces qui sont des triangles ´equilat´eraux et 12 sommets en chacun desquels se rejoignent

5 faces. Par exemple, les douze points de l"espace de coordonn´ees cart´esiennes

sont les sommets d"un icosa`edre r´egulier. Ces deux poly`edres, et les trois autres poly`edres r´eguliers (t´etra`edre, cube, octa`edre) fournissent la mati`ere du livre XIII (le dernier) des

´El´ementsd"Euclide.

Le nombre d"or entre ´egalement dans la description despavages de Penrose,ces fasci- nants recouvrements du plan par des pav´es d´ecouverts vers 1970. Dans l"une des vari- antes de ces pavages, chaque pav´e est un triangle isoc`ele dont les angles sont ou bien π/5,π/5,3π/5, ou bienπ/5,2π/5,2π/5 (rappel : pour un angle,π/5 = 36o). L"un des

int´erˆets de ces pavages, il en existe d"innombrables, est de ne poss´eder aucune sym´etrie de

translation. Mais ceci est toute une histoire, autre et superbe, qui n´ecessiterait `a elle seule tout une note, et nous nous bornerons ici `a signaler un article de Martin Gardner [Gar-77] ainsi que quelques sites ou`ebes o`u en trouver davantage [Pen1, Pen2, Pen3]. ... et ensuite de l"arithm´etique Rappelons qu"un nombre (ou "nombre r´eel")xest ditrationnels"il existe deux entiers a,b, avecb >0, tels quex=ab . Une telle ´ecriture est diter´eduitesi les entiersaetbsont premiers entre eux,c"est-`a-dire s"ils n"ont pas d"autre diviseur commun que 1. Ainsi, si x= 1,75, alorsx=74 est une ´ecriture r´eduite et les entiers 7,4 sont premiers entre eux, alors quex=148 n"est pas une ´ecriture r´eduite puisque 14 et 8 sont 2 comme diviseur commun. Il est facile de v´erifier que, pour un nombre rationnelxdonn´e, il existeexactement une paire r´eduitea,btelle quex=ab Un nombre r´eel estirrationnels"il n"est pas rationnel. Par exemple, siπest d´efini2 comme le rapport entre le p´erim`etre et le diam`etre d"un cercle, on sait queπest un nombre irrationnel ; la premi`ere d´emonstration de ce fait, due `a Lambert, date de 1761. (On sait mˆeme queπest un nombre transcendant, ce qui fut d´emontr´e par Lindemann en 1882, et ce qui apporte la "r´eponse moderne" `a une question

c´el`ebre qui se posait depuis l"antiquit´e grecque, `a savoir laquadrature du cercle,mais ceci

aussi est une autre histoire.) De mˆeme on sait que le nombre e= 1 +12! +13! +14! +14! +15! +17! +18! +··· ≈2,71828182845904523536···2

Il y a bien sˆur d"autres d´efinitions possibles, par exempleπest le rapport entre l"aire d"un disque et

le carr´e de son rayon.

6 PIERRE DE LA HARPE

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