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R. Martinez

AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQUE

Grandeur périodique : Une grandeur périodique est une grandeur qui se répète identiquement à elle même et

régulièrement dans le temps.

Période :

durée constante notée T, exprimée en seconde (s) qui sépare deux instants consécutifs où la grandeur se

reproduit identiquement à elle même. A l"oscilloscope : T = base de temps × nbre de divisions

Fréquence :

la fréquence f d"une grandeur périodique, exprimée en Hertz (Hz) est le nombre de périodes par

secondes.

Mathématiquement : f =

T1

Valeur moyenne d"une grandeur périodique :

La valeur moyenne d"une grandeur périodique ( notée U, < u >, ou Umoy ) se détermine grâce à la formule : Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique en position DC

Valeur efficace d"une grandeur périodique :

La valeur efficace d"une grandeur périodique se détermine grâce à la formule : " racine carrée de la valeur moyenne du carré de la tension » Ex. : signal sinusoïdal : signal rectangulaire : ou signal triangle :

Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique TRMS (true root mean square)

en position (AC + DC)

Propriété d"un signal périodique :

Une tension non alternative périodique u est une la somme d"une composante alternative u a et d"une composante continue U :

On note : U

eff la valeur efficace du signal non alternatif périodique U a la valeur efficace de la composante alternative U moy la valeur de la composante continue

Il existe une relation entre ces grandeurs :

[]Aire représente l"aire algébrique comprise entre la courbe et l 'axe des temps sur un intervalle d"une période.

T : période en secondes (s)

= [] T

Aire = ∫

+Ta a dttuT)(1

Ueff = ><2u= ∫

+Ta a dttuT)(12

Ueff = 2

maxU

Ueff = Umax

Ueff = 3

maxU

Ueff = 22amoyUU+

R. Martinez

Grandeur alternative :

Une grandeur alternative est une grandeur périodique de valeur moyenne nulle.

Décomposition d"un signal périodique :

Toute grandeur périodique de fréquence f peut se décomposer en la somme : - d"un terme constant égal à la valeur moyenne du signal

- d"une composante sinusoïdale de fréquence f appelée le fondamental (ou harmonique de rang 1)

- de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de f ( 2f, 3f, 4f, ..., nf ) appelées harmoniques de

rang 2, 3, 4, ...., n u(t) = + U

1maxsin(2π.f.t + φ1) + U2maxsin(2π.2f.t + φ2) + U3maxsin(2π.3f.t + φ3)+ U4maxsin(2π.4f.t + φ4)+...

Représentation temporelle d"un signal périodique

La représentation temporelle est la représentation couramment utilisée, c"est celle de l"oscilloscope.

Elle nous renseigne sur la forme du signal, son amplitude, sa fréquence. Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la composition fréquentielle du signal.

Représentation fréquentielle

(ou spectre d"amplitude d"un signal périodique) Elle est donnée par un analyseur de spectre et certains oscilloscopes.

Elle nous renseigne sur la composition du signal.

Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la forme du signal.

Taux de distorsion harmonique :

il sert à chiffrer la déformation d"un signal qui devrait être sinusoïdal

Compris entre 0 et l"infini, c"est le rapport de la valeur efficace du signal privé de sa composante continue et de

son fondamental sur la valeur efficace du fondamental : Rem. : on définit aussi le taux de distorsion de l"harmonique n par

1t (ms)0

u(t)

1f (kHz)0

Un (V)

Valeur

moyenne fondamental harmoniques La valeur efficace peut se calculer à partir de la valeur moy. et des valeurs efficaces des harmoniques :

Ueff 2 = ∑

12 2 n nEffUu

Umoy2 + U1 2 + U2 2 + U3 2 + U4 2 + ...

d = Effn nEffUU122

EffnEffEffEffUUUU122

32
2 dn =

EffnEffUU1

R. Martinez

Série de Fourier :

Tout signal périodique u(t) de fréquence f peut s"écrire : u(t) = + )sin()cos(

11∑∑

nn nntnbtnaww avec

Remarques :

pour un signal pair u(t) = u(-t) , les bn = 0 pour un signal impair u(t) = - u(-t) , les an = 0

Série de Fourier des principaux signaux :

Ta a n dttntuTa)cos()(2w Ta a n dttntuTb)sin()(2w t t E E u(t) = )(sin)cos1(2

1tnnnE

nwpp∑ ...)5sin5 13sin 3

1(sin4+++tttEwwwp

αT T

u(t) = )(cos)sin(2

1tnnnEE

nwapapaa∑

Ex. pour

α = 4/15

u(t) u(t)

R. Martinez

t E u(t) = )(cos 2) 2sin( 12tn nn E nwpp∑ u(t) = ++-0221212cos4pptpE w p t t u(t) u(t) u(t)

R. Martinez

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