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GEORGES DOSTOR Distances du centre de gravité aux points remarquables du triangle Nouvelles annales de mathématiques 3e série tome 2 (1883) p 368-370
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l'aide d'un calcul vectoriel Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet Introduisons A' milieu de [BC] :
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Le centre de gravité de la surface d'un triangle est au point de concours des médianes évidemment sur l'axe Ox ; il suffit de calculer son abscisse X
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Ensuite calcul du centre de gravité G voir tableau Excel partie supérieure 2 Le système initial d'axes centraux Oxy sera tracé de façon à simplifier au
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22 déc 2007 · Médianes centre de gravité d'un triangle 3 Bissectrices 4 Hauteurs calculer le carré de la distance des deux centres : OI
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Un triangle homogène lancé dans la gravité centre de masse de chaque objet individuellement et de calculer à nouveau le centre de masse du système
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19 nov 2018 · centre de gravité) IR 4) Pour tout p q ? N calculer I(p q) = ?? R xpyq dx dy Exercice 2 Soit R le rectangle [1a] × [1b] de R2
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Soit f une homothétie-translation de rapport ? et G le centre de gravité du triangle ABC Si G' = f(G) a pour coordonnées barycentriques normalisées (? ?
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Le calcul du moment d'inertie passe toujours par celui du centre de gravité Dans cet exemple le centre de gravité avait
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En effet chaque médiane partage un triangle en deux triangles de même aire Le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet CG = 2/
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C'est le point d'application de la résultante des forces de gravite ou de pesanteur Le centre de gravite d'un rectangle d'un triangle et un cercle :
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Centre de gravité d' un triangle démonstration pdf Centre gravité du TRIANGLE Centre géométrique isobarycentre Centre de masse centre d'inertie Centroid
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Le centre de gravité de la surface d'un triangle est au point de concours des médianes Le centre de gravité de la surface de la sphère du volume de la sphère
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Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet Introduisons A' milieu de [BC] : B' A' C' C B
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et C sont alignés sur une droite que nous choisissons comme axe x Par conséquent il suffit de calculer la coordonnée x OC = du centre de gravité
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22 déc 2007 · Médianes centre de gravité d'un triangle Ce document PDF : http://www debart fr/ pdf /geometrie_triangle pdf Grâce au calcul :
Centre de gravité du triangle - ChronoMath
Un triangle a donc trois médianes et ces droites sont concourantes en un point appelé centre de gravité car c'est le point d'équilibre du triangle
Centre de gravité du triangle - Gerard Villemin - Free
Nombres curiosités théorie et usages: centre de gravité du triangle relations géométriques et calculer les coordonnées du centre de gravité
Comment calculer le centre de gravité d'un triangle ?
Le centre de gravité (G) du triangle quelconque se trouve à l'intersection des trois médianes (AMA , BMB , CMC). Le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet. au (1/3, 2/3) de la médiane.Comment calcule le centre de gravité ?
Si un objet est constitué d'un ensemble de masses ponctuelles, alors si nous additionnons le produit de chacune de ces masses avec la distance de cet élément de masse de l'axe de rotation, puis divisons cette somme par la somme de toutes les masses de notre système, alors cette fraction est égale au centre de gravité.Comment montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC ?
Pour tout point M du plan, le centre de gravité G du triangle ABC est l'unique point minimisant MA2 + MB2 + MC2, somme des carrés des distances de M aux sommets du triangle.- Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul. Notons que le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle est, lui, le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
La géométrie du triangle I
Droites remarquables dans le triangle : médianes, bissectrices, hauteurs.Sommaire
I. Droites remarquables dans le triangle
1. Rappel : barycentre de trois points
2. Médianes, centre de gravité d'un triangle
3. Bissectrices
4. Hauteurs
5. Médiatrices
6. Triangle orthique
Axe orthique
Cercle de Taylor
: http://debart.pagesperso-orange.fr Ce document PDF : http://www.debart.fr/pdf/geometrie_triangle.pdf Page HTML : http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/geometrie_triangle.html Document no 26, réalisé le 17/11/2002 - mis à jour le 22/12/2007I. Droites remarquables dans le triangle
Droites Point de concours Cercle Triangle Coefficients barycentriques Médianes Centre de gravité Cercle des neuf points Triangle médian (1, 1, 1)Bissectrices Centre du cercle
inscritCercle inscrit
Cercles d'Apollonius (a, b, c)
Hauteurs Orthocentre Cercle de Taylor Triangle
orthique [tan(Â), tan(B), tan(C)]Médiatrices Centre du cercle
circonscrit Cercle circonscrit Triangle tangentiel [sin(2Â), sin(2B), sin(2C)] La géométrie du triangle - droites Page 2/19 FExtrait du programme de 4e
Contenu Compétences exigibles Commentaires
Droites
remarquables d'un triangleConstruire les bissectrices,
les hauteurs, les médianes, les médiatrices d'un triangle ; en connaître une définition et savoir qu'elles sont concourantes.Certaines de ces propriétés de concours
pourront être démontrées ; ce sera connaissances de la classe ou celles de 5e.On pourra étudier la position du point de
concours de la médiane sur chacune d'elles.1. Rappel : barycentre de trois points
Soit (A, ) ; (B, ) et (C, ) trois points pondérés tels que + + 0, il existe un point unique G tel que GA GB GC le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, ) ; (B, ) et (C, ). On dit que le point G a pour coordonnées barycentriques , , . Si + 0, + 0 et + 0 le théorème d'associativité permet de dire : ) et (C, ) alors G est le barycentre de (A, ) +) , ) et (C, ), alors G est le barycentre de (B, + ), ) et (B, ), + ) et (C, ) ;Coordonnées barycentriques
Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés. Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :Pour tout point M du ĮȕȖ
2. Médianes et centre de gravité d'un triangle
Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes au centre de gravité de ce La géométrie du triangle - droites Page 3/19 F triangle. Le centre de gravité est situé aux 3 2 de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Voir ci-dessous une démonstration de cette propriété. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la démonstration page 4 sachant que dans le triangle BCC11). Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles Placer le point A1 image de B par la translation de vecteur GC 1BA GC . BGCA1 est1 sont alignés sur
la médiane issue de A. Placer le point B1 image de A par la translation de vecteur GC 1AB GCAGCB1 est un
1 sont alignés sur la
médiane issue de B. 1BA GC 1AB . BA1B1A est un parallélogramme. Les diagonales [BB1] et [AA1] se coupent en leur milieu G. Placer le point C1 image de A par la translation de vecteur GB 1AC GB . AGBC1 est et C1 sont alignés sur la médiane issue de C.Dans le parallélogramme BGCA1 on a
1CA GBD'où
1AC 1CA . AC1A1C est un parallélogramme. G milieu de la diagonale AA1 de ce parallélogramme est aussi le milieu CC1 Les trois médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle. La géométrie du triangle - droites Page 4/19 FSomme des vecteurs
GA GB GC GA GB 1GC = 2 GC' (règle du parallélogramme pour l'addition des deux vecteurs et 1)G est le milieu de [CC1] donc
1GC GC et on a GA GB GC G est l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC. Donc GC + 2 GC'Le point G est situé aux
3 2 En 1S, la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire pour tout point M : MA MB MC = 3 MG La géométrie du triangle - droites Page 5/19 FParallélogramme de centre G
Classe de quatrième
BC. I est le milieu de [BG] et J est le milieu de [CG].En déduire que G est situé aux
3 2 , on montre 3 2 . Ce point situé aux 3 2 point G, centre de gravité du triangle. La géométrie du triangle - droites Page 6/19 F Partage en trois de la diagonale d'un parallélogrammeClasse de quatrième
[AD] du parallélogramme ABCD en trois segments égaux.Démonstration :
G est aux
3 2 Voir : figure d'Euclide dans parallélogramme au collègeTriangle médian
pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC. Le triangle médian est l'homothétique du triangleABC par l'homothétie de centre G et de rapport
2 1 La géométrie du triangle - droites Page 7/19 F ngles d'aireségales.
Aire et médiane
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales. Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques d'aireségales.
Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales. Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales. Théorèmes de la médiane - Théorème d'ApolloniusGrâce au calcul :
AB AC AA' BA' AA' CA' ) = 2 AA' avec BA' CA' 0F on obtient la forme vectorielle du "théorème de la médiane" dans le triangle ABC : AB AC = 2 AA' En géométrie analytique ou avec le produit scalaire on peut en vérifier les formes numériques :AB2 + AC2 2 +
2 2BC (formule d'Apollonius de Perge - 2e théorème de la médiane).Avec le produit scalaire : AB2 - AC2 = 2
AA' CB et AB2 - AC2 = 2 BC AH où le point H est le pied de la hauteur issue du point A.D'où
22ACAB
(troisième théorème de la médiane) ;En effet : AB2 - AC2 = (
AB AC AB AC ) = 2 AA' CA AB ) = 2 AA' CBLa projection de
AA' sur CB est HA' , d'où AA' CB HA' CB HA' BCThéorème des trois médianes
a) Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés. b) Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ? c) Et si on l'applique à un triangle rectangle ? La géométrie du triangle - droites Page 8/19 FPieds des médianes :
D'un triangle ABC, seuls ont survécu I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].Reconstituez le triangle ABC.
3. Bissectrices
Figure 5
La bissectrice d'un angle est la droite qui le partage en deux angles de même mesure.Théorème de la bissectrice
Une bissectrice intérieure de l'angle d'un triangle partage le côté opposé en deux segments
de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents. Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I,centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).
Le cercle inscrit est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle. Son centre, le point I, est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c) avec a = BC, b = AC et c = AB.Son rayon est égal à
cba S 2 , où S désigne la surface du triangle. Les points d'intersection des bissectrices avec le cercle circonscrit sont les milieux des arcsdéterminés par les sommets : A2 est le milieu de l'arc BC, B2 est le milieu de l'arc AC, C2 est
le milieu de l'arc AB. Les bissectrices sont les droites qui partagent en deux l'angle à un sommet du triangle. Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I,centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).
Le point I est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c) avec a = BC, b = AC et c = AB.Monter que
AI est la somme de deux vecteurs de mêmes normes. La géométrie du triangle - droites Page 9/19 F D'après la définition du barycentre I et en prenant le point A pour origine on a : (a+b+c) AI = b AB + c AC . Les vecteurs b AB et c AC ont la même norme bc. Donc AI cba b AB cba c AC 1AB 1AC Ces deux vecteurs ont même norme et AB1IC1 est un losange : la diagonale [AI] est laCercle inscrit, aire et périmètre
L'aire du triangle est donc S = (a + b + c) ×
2 r = p × r avec le demi-périmètre p = 2 cba I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ; son rayon est r = cba ABC sin. p S où l'aire du triangle est S = 2 sin.ABC Si le calculer le carré de la distance des deux centres : OI2 = R2 2Rr.Bissectrices extérieures et cercles exinscrits
Les bissectrices extérieures partagent en
deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.En un sommet les bissectrices intérieure et
extérieure sont orthogonales.Le point I1 (figure 3 : Feuerbach)
intersection de la bissectrice intérieure issue de A et des deux bissectrices extérieures issues de B et C est barycentre de (A, -a) ; (B, b) ; (C, c).I1 est le centre du cercle C1 exinscrit dans
le triangle, son rayon est r1 = ap S : OI12 = R2 2Rr1. Le point I2 intersection de la bissectrice intérieure issue de B et des deux bissectrices extérieures issues de A et C est barycentre de (A, a) ; (B, -b) ; (C, c). I2 est le centre du cercle C2 exinscrit dans le triangle, son rayon est bp S La géométrie du triangle - droites Page 10/19 F Le point I3 intersection de la bissectrice intérieure issue de C et des deux bissectrices extérieures issues de A et B est barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, -c). I3 est le centre du cercle C3 exinscrit dans le triangle, son rayon est cp S Le centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle I1I2I3 formé par les centres des cercles exinscrits. Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle I1I2I3. L'ensemble des points équidistants des droites (AB), (BC) et (AC) est formé des quatre points I, I1, I2 et I3.Bissectrices intérieure et extérieure
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