[PDF] Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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1 / 18 Titre

Constantes physiques

et géométries sphérique et pseudosphérique

Physical constants

and spherical and pseudospherical geometries

Auteur

Jean-François Labopin

Résumé

Après avoir défini des constantes mathématiques communes à la sphère et à la pseudosphère,

nous montrons que les portées de l"interactions forte, de l"interaction faible et du boson de

Higgs sont solidarisées par ces constantes sphéro-pseudosphériques. Une interprétation est que

les constantes physiques sont déterminées par une combinaison des deux géométries

non-euclidiennes. After having defined mathematical constants common to the sphere and the pseudosphere, we show that the ranges of the strong interaction, the weak interaction and the Higgs boson are united by these sphero-pseudospherical constants. One interpretation is that the physical constants are determined by a combination of the two non-Euclidean geometries

Mots clés

Constantes physiques, particules, interaction faible, interaction forte, boson de Higgs, constantes mathématiques, sphère, pseudosphère, géométrie non-euclidienne

TABLE page

Introduction ....................................................................2 Appellations et notations.................................................2 1 ère partie : Constantes sphéro-pseudosphériques...........3 2 ème partie : Pseudosymétrie............................................4 3 ème partie : Constantes a et b.........................................5 4 ème partie : Rayon infime et rayon ultime ......................6 5 ème partie : Pseudosphère physique................................7 6 ème partie : Portées de l"interaction forte........................9 7 ème partie : Portées de l"interaction faible....................10 8 ème partie : Portée du boson H°....................................16 Annexe : Rappels mathématiques .................................18 Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

2 / 18 Introduction

Pour expliquer la grande précision des constantes physiques, une hypothèse est que certaines constantes physiques sans dimension sont des constantes mathématiques encore inconnues.

L"analyse suivante étaye cette hypothèse.

Les valeurs des données sont celles de pdg.lbl.gov/2020.

Des rappels mathématiques sont en annexe.

Appellations et notations

Nous appelons et notons " portée llll(m) d"une masse m » la longueur l(m) =

ħ/mc où ħ est la

constante quantique et c la constante relativiste. Et nous appelons et notons " portée llll x d"une particule x » (boson ou fermion) la portée de la masse m x de cette particule x : lx = l(mx).

Les portées de l"interaction forte sont

llllpppp = ħ/mppppc = 1,4138169(17).10----15 m llllpppp° = ħ/mpppp°c = 1,4619326(54).10----15 m (écart : 3,4 %)

où les masses des bosons p± et p° sont mp = 139,57039(17) Mev/c2 = 2,4880682(30).10-28 kg m p° = 134,9768(5) Mev/c2 = 2,4061800(89).10-28 kg.

La portée forte moyenne, arithmétique, géométrique, harmonique, est respectivement égale à

(l p+lp°)/2 = 1,4378748(36).10-15 m, (lplp°)1/2 = 1,4376735(35).10-15 m, [(l p-1+lp°-1)/2]-1 = 1,437472(11).10-15 m

La moyenne géométrique de x et y est aussi la moyenne géométrique des moyennes

harmonique et arithmétique de x et y. La moyenne harmonique est l"inverse de la moyenne arithmétique des inverses, et [(x ±1+y±1)/2]±1 sont les moyennes arithmétique (signe +) et harmonique (signe -) de x et y.

Les portées de l"interaction faible sont

llllz° = ħ/mz°c = 2,163967(50).10----18 m llllw = ħ/mwc = 2,45496(37).10----18 m (écart : 13,5 %)

où les masses des bosons Z° et W± sont mz° = 91,1876(21) Gev/c2 = 1,625567(37).10-25 kg m w = 80,379(12) Gev/c2 = 1,43289(21).10-25 kg

La portée faible moyenne, arithmétique, géométrique, harmonique, est respectivement égale à

(l w+lz°)/2 = 2,30946(21).10-18 m, (lwlz°)1/2 = 2,30488(20).10-18 m [l w-1+lz°-1)/2]-1 = 2,30030(19).10-18 m La portée du boson de Higgs H° de masse mH° = 125,10(14) Gev/c2 = 2,2301(25).10-25 kg est llllH° = ħ/mH°c = 1,5774(18).10----18 m Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

3 / 18 Première partie

Constantes mathématiques sphéro-pseudosphériques rrrr min , ddddmin , rrrrmax , ddddmax

La Pseudosphère est la surface engendrée par la rotation de la courbe nommée " Tractoria »

autour de son asymptote (cf. rappels mathématiques en annexe). Le sommet de la Tractoria engendre l"équateur de la Pseudosphère.

La Sphère est la surface engendrée par la rotation du Semicercle autour de son diamètre.

Le sommet du Semicercle engendre l"équateur de la Sphère.

La Tractoria et le Semicercle confondent leurs sommets. La Pseudosphère et la Sphère

confondent leurs équateurs. Les intersections, autres que les équateurs, de la Pseudosphère et

de la Sphère sont deux parallèles (cf. annexe), que nous appelons " parallèles-intersections »,

de rayons égaux de valeur rrrr min solution de l"équation Argch(1/y) - (1-y2)1/2 = (1-y2)1/2 (premier membre : cf. équation de la Tractoria ; second membre : cf. équation du Semicercle) r rrr min = 0,288419908944991... (les points de suspension indiquent qu"il s"agit d"une constante mathématique) La valeur de l"asymptote de la Pseudosphère est ¥

La valeur dddd

min du diamètre de la Sphère est 2 d ddd min = 2 1 rrrrmin ddddmin

Les intersections de la Pseudosphère et de la plus grande sphère inscrite dans la Pseudosphère

sont deux parallèles de rayons égaux dont la valeur rrrr max est r rrr max = 1/ch(uo) = 0,55243412... où u o est solution de l"équation x = 1/th(x) : uo = 1/th(uo) = 1,19967864... (cf. annexe).

La valeur dddd

max du diamètre de cette sphère est : ddddmax = 2/sh(uo) = 1,32548683... Et le rayon de cette sphère a pour expression et valeur : dddd max/ddddmin = 1/sh(uo) = 0,66274341... 1 rrrrmax dddd max Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

4 / 18 Deuxième partie

Pseudosymérie

Soit (cf. annexe et figure suivante), dans le premier quadrant, la moitié de la Tractoria ou " demi-Tractoria » [ x T = Argch(1/yT) - (1-yT2)1/2 (0 £ yT £ 1) ] et, dans le deuxième quadrant, la moitié du Semicercle ou " demi-Semicercle » [ x

S = - (1-yS2)1/2 (0 £ yS £ 1) ] (#).

La demi-Tractoria et le demi-Semicercle ont une différence notable : le demi-Semicercle

possède une symétrie, la demi-Tractoria ne possède pas de symétrie. Soit alors deux cercles centrés sur l"axe des ordonnées et orthogonaux au demi-Semicercle en deux points symétriques S

1 et S2 du demi-Semicercle. Ces deux cercles coupent l"axe des

ordonnées en quatre points : d"une part en deux points d"ordonnées Y

1 et Y2 comprises entre

0 et 1, d"autre part en deux autres points d"ordonnées inverses.

La relation entre Y

1 et Y2 est ( 1 + Y1 )( 1 + Y2 ) = 2 (dll)

Considérons Y

1 et Y2 comme les ordonnées de deux points T1 et T2 de la demi-Tractoria.

Nous qualifions de " pseudosymétriques » les deux points T

1 et T2. Et nous dotons ainsi,

par isomorphisme, la dissymétrique demi-Tractoria d"une symétrie que nous appelons " pseudosymétrie ». 1 S 1 Y

1 T1

S2 Y2 T2 Nous qualifions aussi de " pseudosymétriques » les nombres Y

1 et Y2.

Nous notons x* le pseudosymétrique d"un nombre réel x compris entre 0 et 1. Par définition : Deux nombres x et x* pseudosymétriques sont deux nombres réels compris entre 0 et 1 tels que ( 1 + x )( 1 + x* ) = 2 Nous qualifions aussi de " pseudosymétriques » les inverses de x et x*. Il existe un unique couple pseudosymétrique d"entiers : { 2 ; 3 } (dll)

(#) Nous appelons " Tractocercle » cette union de la demi-Tractoria et du demi-Semicercle. Le Tractocercle engendre un

solide de révolution (la " Sphéro-Pseudosphère ») dont le volume est égal à p. Il y a correspondances d"une part entre la

dualité [ Tractocercle ; tractocercle "mobile" ] (cf. annexe) et la dualité [ observé ; observateur ] et d"autre part entre la

dualité [ Origine (développée du Semicercle) ; Chaînette ou cosinus hyperbolique (développée de la Tractoria) ] et la

dualité [ corpsucule ; onde ]. Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Troisième partie

Constantes mathématiques rrrr

min , rrrrmax , ddddmin , ddddmax et constantes physiques aaaa et bbbb Les deux constantes mathématiques sphéro-pseudosphériques r min et rmax, définies en première partie, sont quasi pseudosymétriques car : ( 1 + rrrr min )( 1 + rrrrmax ) = 2,000187... »»»» 2 (1)

Ceci implique notamment que la constante rrrr

min*, pseudosymétrique de rmin, est voisine de r max : ( 1 + r min )( 1 + rmin* ) = 2 ? rrrrmin* = 0,55228...

»< rrrrmax = 0,55243...

Or : r rrr min* »»»» rrrrmax.cos(aaaapppp)

Arcos(rrrr

min*/rrrrmax) = pppp/137,036035... = aaaapppp à 0,00003 % près où aaaa = 1/137,035999084(21) est la constante de structure fine, constante physique sans dimension dont une expression est a = K

C.qe2/ħc

où K C est la constante de Coulomb et qe la charge électrique élémentaire D"autre part, étant donné la constante physique bbbb définie par b bbb = llll mmmm/lllle = me/mmmmm = 1/206,7682826(60) où l m = 1,867594324(42).10-15 m et le = 3,861592709(23).10-13 m sont les portées du muon et de l"électron, de masses m m = 105,6583745(24) Mev/c2 = 1,883531609(43).10-28 kg et m e = 0,5109989461(31) Mev/c2 = 9,109383632(55).10-31 kg, on peut voir que : b bbb/aaaa = dddd

max/ddddmin ÛÛÛÛ ddddmaxaaaa = ddddminbbbb à 0,001 % près (2)

b/a = 0,662751547(19) d maxa = 1/103,3854 d max/dmin = 0,662743... dminb = 1/103,3841

Ce qui montre que le rayon de la plus grande sphère inscrite dans la Pseudosphère est égal à

b/a. Et, comme b = l m/le ? b/a = lm/ale = lm/re où re = ale = 2,8179403262(13).10-15 m est le rayon classique de l"électron, l m/re = 0,662751554(18) » dmax/dmin soit llll mmmm/re = ddddmax/2 à 0,001 % près

ce qui montre que la portée du muon est égale au rayon de la plus grande sphère inscrite dans

une pseudosphère de rayon égal au rayon classique de l"électron.

On peut noter ici que :

r

max-(a/3) = [(1/2)+(3/5)]/2 à 0,0003 % près et rmin+(4a/9) = [(1/3)+(1/4)]/2 à 0,001 % près

où (1/2 ; 3/5)* = (1/3 ; 1/4) et où, étant donné que a = C teqe2 où qe est la charge élémentaire, a/3 = C te(qe)(qe/3) et 4a/9 = Cte(2qe/3)(2qe/3) où qe/3 et 2qe/3 sont les charges des quarks. Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Quatrième partie

Rayon infime et rayon ultime (cf. [1])

Étant donné la constante de Hubble H

0, la constante relativiste c, la constante de la gravitation

G, et la théorie gravitationnelle (" théorie du big-bang »), un ordre de grandeur de la masse de

l"univers est c

3/2GH0 = (MP/2)(TPH0)-1 = 8,6.1052 kg où MP = (ħc/G)1/2 et TP = (ħG/c5)1/2 sont

" la masse de Planck » et " le temps de Planck » qui sont, avec " la longueur de Planck »

L

P = (ħG/c3)1/2, les grandeurs que Planck a trouvées en combinant les trois constantes

mécaniques fondamentales : c, G, ħ. La constante physique TPH0 = 1,3.10-61 est sans dimension, et : 2

TPH0 = p ━ [(4,98)p] / 2

Ce nombre 4,98, à 0,4 % près de 5, invite à définir et considérer la constante mathématique que

nous notons ?5? : 2 pppp ━ (5pppp) /2 = 4,64...10----62 = ????5???? Comme nous le montrons en [1], cette constante mathématique est un remarquable outil d"analyse des masses des particules via notamment la fonction m(x) = (M

P/2)?5?x qui fait

correspondre à toute masse m un nombre réel x. Ici, nous définissons, appelons et notons " rayon infime R infime et rayon ultime Rultime » les longueurs : R infime = LP????5???? = 7,500716(84).10----97 m R ultime = LP????5????----1 = 37 milliards d"années-lumière

Cette longueur de 37 milliards d"années-lumière serait le " rayon ultime » de l"univers dont la

" durée de vie » serait de 37 milliards d"années (son âge actuel est de 14 milliards d"années).

Étant donné les valeurs exactes convenues pour c et h (pdg.lbl.gov/2020), l"incertitude ne

dépend ici que de celle de G = 6,67430(15).10 -11 S.I. : LP = (ħG/c3)1/2 = 1,616255(18).10-35 m

Remarquons maintenant que

????5???? = 2aaaallllp2LP3/llllelllltttt4 à 0 % près où " à 0 % près » signifie que les intervalles d"incertitudes ne sont pas disjoints 2al p2LP3/lelt4 = 4,6399(11).10-62 ?5? = 4,640800...10-62

D"où, notamment, :

R infime = LP????5???? = 2aaaa(llllp2/lllle)(LP/lllltttt)4 à 0 % près Le rayon infime transporte en lui les portées du proton, de l"électron et du tau, ainsi que la portée L

P de la masse de Planck.

Le rayon infime est une constante physique quanto-gravitationnelle Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Cinquième partie

Pseudosphère physique

Nous appelons " pseudosphère physique » une pseudosphère de rayon R engendrée par une tractoria d"équation x/R = ± { [ Argch(R/y) ] - [1 - (y/R)

2]1/2 } où

d"une part R infime ££££ y ££££ R

en sorte que la variable y ne peut pas tendre vers 0 et la variable x ne peut pas tendre vers ±¥

et d"autre part

R = R(rrrr) = L

P????5????----rrrr

où 0 < rrrr < 1 ÛÛÛÛ L

P < R < Rultime

En bref, une pseudosphère physique est une pseudosphère tronquée c"est-à-dire une

pseudosphère dont la " longueur », mathématiquement infinie, est physiquement limitée par

l"existence du rayon infime. Et nous appelons et notons " demi-longueur L » d"une pseudosphère physique de rayon R la valeur positive de x quand y = R infime c"est-à-dire la longueur L définie par

L = R { [ Argch(R/R

infime) ] - [1 - (Rinfime/R)2]1/2 } y R R infime

L x

2L

La condition r > 0 Û R > L

P = 10-35 m >> Rinfime = 10-97 m Û R/Rinfime >> 1 Û Rinfime/R << 1 implique

Argch(R/R

infime) = Ln(2R/Rinfime) et [1 - (Rinfime/R)2]1/2 = 1 soit

L = R [ Ln(2R/R

infime) - 1 ] Û L/R = Ln(R/Rinfime) + Ln2 - 1 soit, compte tenu des définitions de R et de R infime,

L/R = [ Ln(2

????5????----rrrr----1) ] - 1 = (Ln????5????----1)rrrr + Ln????5????----1 + Ln2 - 1 = (141,225...)rrrr + 140,918...

Donc, par définition, :

140,91... < L/R < 282,14...

Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Quant à la demi-longueur L, elle est le produit de R et de L/R c"est-à-dire, si R est défini

comme ci-avant, un produit d"une fonction exponentielle et d"une fonction linéaire :

L = L(rrrr) = L

P ????5????----rrrr { [ Ln(2????5????----rrrr----1) ] - 1 } = L P ????5????----rrrr { (Ln????5????----1)rrrr + Ln????5????----1 + Ln2 - 1 }

En résumé

L R infime <<< R << L R R infime = LP?5? 10 ----97 m

LA PSEUDOSPHÈRE PHYSIQUE

On peut noter ici que les constantes physiques, telles qu"analysées dans cet article et en [1],

invitent à distinguer deux moitiés de l"univers en définissant d"une part le " domaine infime »

des longueurs allant de la longueur de Planck L

P = 10-35 m jusqu"au rayon infime

L P?5? = 10-97 m et d"autre part le " domaine macroscopique » des longueurs allant du rayon ultime L P?5?-1 = 37.109 al jusqu"à la longueur de Planck. Alors la longueur de Planck, loin

d"être une valeur extrême, est, au contraire, une valeur moyenne : la moyenne géométrique du

rayon infime L P?5? et du rayon ultime LP?5?-1. D"ailleurs, on sait que la longueur de Planck,

loin d"être " microscopique », est très supérieure par exemple au rayon gravitationnel de

l"électron qui est, à 0,3 % près, la moyenne géométrique de la portée faible et du rayon

infime : 2Gm e/c2 = 1,352955(30).10-57 m » (lw.Rinfime)1/2 = 1,35698(11).10-57 m. Et l"analyse des constantes physiques fait soupçonner que l"infime détermine le macroscopique. Or la

pseudosphère physique, d"équateur macroscopique et d"extrémités infimes, est un lien entre

infime et macroscopique. Et certaines relations entre constantes physiques suggèrent qu"il existe des particules qui ont la forme de pseudosphères physiques mais dont masse et charge

sont concentrées, ce qui fait que la ténue et fragile partie pseudosphérique de ces particules est

certainement indétectable voire détruite lors de leur observation au moyen des collisionneurs. Cette méthode d"observation suit l"actuelle mécanique quantique selon laquelle " pour voir plus fin il faut frapper plus fort ». Mais, comme nous le montrons en [1], le cadre relativiste

des théorie actuelles est vraisemblablement faussé à l"instar du cadre classique. Ce que nous

appelons aujourd"hui " mur de Planck » n"a probablement pas de sens physique. Et

l"exploration " en douceur » de l"infime, via sans doute des particules pseudosphériques,

pourrait être nécessaire à de plus justes interprétations des phénomènes jusqu"à présent

observés, tous macroscopiques selon les précédentes définitions. Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Sixième partie

Pseudosphère physique et portées de l"interaction forte Nous avons vu en troisième partie que la quasi pseudosymétrie de r min et rmax [cf. (1)] implique notamment que la constante r min*, pseudosymétrique de rmin, est voisine de rmax.

Mais la quasi pseudosymétrie de r

min et rmax implique aussi que la constante rrrrmax*, pseudosymétrique de r max, est voisine de rmin : ( 1 + r max* )( 1 + rmax ) = 2 ? rrrrmax* = 0,28829943...

»< rrrr

min = 0,28841990... Alors, étant données les deux portées de l"interaction forte la portée du boson p

±, lp = ħ/mpc = 1,4138169(17).10-15 m et

la portée du boson p°, l p° = ħ/mp°c = 1,4619326(54).10-15 m dont la différence est de 3,4 %, on peut remarquer que : L(r max*) = 1,412839(16).10-15 m L(rmin) = 1,437219(16).10-15 m

» l

p = 1,4138169(17).10-15 m » (lplp°)1/2 = 1,4376735(35).10-15 m

L(rrrr

max*) = llllpppp à 0,07 % près L(rrrrmin) = (llllppppllllpppp°)1/2 à 0,03 % près

à 0,02 % près avec la moyenne harmonique

à 0,04 % près avec la moyenne arithmétique (la moyenne géométrique étant la moyenne des moyennes harmonique et arithmétique, les écarts de ces deux moyennes à la moyenne géométrique sont les mêmes) Et 2rrrr min----rrrrmax* = 0,288540...

étant le symétrique arithmétique de r

max* par rapport à rmin : L(2r min-rmax*) = 1,462018(16).10-15 m

» lp° = 1,4619326(54).10-15 m

L(2rrrr

min----rrrrmax*) = llllpppp° à 0,006 % près [la précision étant la même avec les symétriques harmonique ou géométrique : L(r min2/rmax*) = 1,462029(16).10-15 m]

En résumé

r rrr ÎÎÎÎ [ rrrr

max* = 0,28829... ; 2rrrrmin----rrrrmax* = 0,28854... ] ÛÛÛÛ L(rrrr) ÎÎÎÎ [ llllpppp ; llllpppp° ]

Constantes physiques et géométries sphérique et pseudosphérique

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Septième partie

Pseudosphère physique et portées de l"interaction faible Ce qui précède invite à considérer les pseudosphères physiques de rayons

R(rmax*) = 7,778508(87).10-18 m

R(r min) = 7,911987(88).10-18 m R(2r min-rmax*) = 8,047758(90).10-18 m

La valeur des rayons des parallèles-intersections de la Pseudosphère étant rmin, les rayons des

parallèles-intersections de ces pseudosphère physiques ont pour valeurs rminR(rmax*) = 2,243448(25).10-18 m r minR(rmin) = 2,281975(25).10-18 m r minR(2rmin-rmax*) = 2,321134(26).10-18 m

Le rayon moyen rminR(rmin) de ces parallèles-intersections n"est ni égal ni très inférieur aux

moyennes

harmonique llllhar , géométrique llllgeo , arithmétique llllari des deux portées de

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