[PDF] Introduction au Calcul Différentiel et Intégral

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Introduction au Calcul Différentiel et

Intégral

(avec des problèmes resolus)

©ARIANNOVRUZI

Department of Mathematics and Statistics

University of Ottawa

November 25, 2019

Contents

1 Revision des concepts de base

6

1.1 Notations et quelques résultas élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1 Nombres, intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2 Fonctions, domaine de définition, image et graphe de fonctions . . . . . . .

7

1.1.3 Opérations avec les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4 Équations, inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2 Examples de fonctions: leurs propriétés et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1 Fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2 Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.5 Fonctions rationnelles et algèbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3 Modélisation. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1 Quelques notions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2 Limite, continuité. Applications

26

2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.1 Quelques définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.2 Assymptôtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.3 Limites de forme indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.1 Notations and quelques propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3 Applications de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.1 Séries géometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.1.1 Notations, définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . .

42

2.3.1.2 Séries de paiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.1.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.2 Composition de l"intérêt et nombree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.3.2.1 Composition de l"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.2.2 Nombree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.3.2.3 Composition continue de l"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.3 Fonctions exponentielle et logarithmique. Propriétés élémentaires . . . . .

49

2.3.3.1 La fonction exponentielleet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

2.3.3.2 La fonction logarithmiquelnx. . . . . . . . . . . . . . . . . .49

2.3.3.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
2

3 Calcul différentiel. Applications58

3.1 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.2 Quelques définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1.3 Dérivée et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.1.4 Une première application: équation de la droite tangente . . . . . . . . . .

63

3.1.5 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.1.6 Dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.1.7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.2 Autres applications de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.2.1 Applications kinématiques: vitesse, accélération . . . . . . . . . . . . . .

72

3.2.2 Applications financières: marginaux, élasticité de la demande . . . . . . .

74

3.2.3 Taûx liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.2.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.3 Optimisation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3.1 Definitions. Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3.2 Intervalles de monotonie. Classification des points critiques I . . . . . . . .

81

3.3.3 Intervalles de concavité. Classification des points critiques II . . . . . . . .

84

3.3.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.3.5 Modélisation et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.3.6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.4 Tracer le graphe d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.4.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

4 Calcul intègral

102

4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.2 Integrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.2.2 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.2.3 Téchniques d"intégration (intègrales indéfinies) . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.2.3.1 Changement de variable / substitution . . . . . . . . . . . . . . .

106

4.2.3.2 Intérgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

4.2.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.3 Intègrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

4.3.1 Définitions et premiers résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

4.3.2 Théorème fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

4.3.3 Téchniques d"intègration (intègrales définies) . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.3.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.4 Application de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

4.4.1 L"aire d"une région bornée par deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

4.4.2 Les surplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

4.4.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123
3

4.5 Valeur future et valeur présente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

4.5.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

5 Calcul multi-dimensionnel

126

5.1 Rappels de quelques éléments de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

5.2 Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

5.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

5.4 Continuité et les dérivées des fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . .

130

5.4.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

5.4.2 Les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

5.4.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

5.5 Le plan tangent et l"apporiximation avec le plan tangent . . . . . . . . . . . . . . .

133

5.5.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

5.6 Optimisation à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5.6.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

6 Solutions des problémes choisis

140

6.1 Solutions des problémes choisis du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

6.2 Solutions des problèmes choisis du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6.3 Solutions des problèmes choisis du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

6.4 Solutions des problèmes choisis du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

6.5 Solutions des problèmes choisis du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175
4

Préface

Ce document est écrit pour les étudiants de l"Université de Ottawa qui prennent le cours "Méth-

odes Mathématiques I MAT1700", en Français. Ce document represente mon expérience de

l"enseignement du cours MAT1700 pendant plusieurs années. Il apporte des rappels des éléments

de base de calculs, une introduction au calcul différentiel et intégral en dimensions un, ainsi qu"une

introduction au calcul différentiel et l"optimisation des fonctions de plusieurs variables. De plus,

ce document apporte un nombre significatif d"exemples et de problèmes, visant à améliorer la

compréhension des notions de base et l"application des outils de calculs dans domaines différents,

tels que gestion, finance et physique. 5

1 Revision des concepts de base

A la fin du ce chapitre l"étudiant

Xaura une revision des nombres réels, des fonctions, des équations et des inéquations, Xsera introduit à la modélisation et la solution de problèmes réels simples.

1.1 Notations et quelques résultas élémentaires

1.1.1 Nombres, intervalles

L "ensembledes nombres entiers positi vesest noté par N. Donc,N=f1;2;:::g. L"ensemble de tous les nombres entiers est noté parZ. Donc,Z=f:::;2;1;0;1;2;:::g. Remarquons queNest inclu dansZ. Nous écrivonsNZ. L"ensemble des nombres rationnels est noté parQ. Donc,Q=pq ; p;q2Z . Notons que ZQ. L"ensemble des nombres réels est noté parR. Remarquons queRcontientQ, et beaucoup plus de nombres, tels que,p2,e, etc.

Siaest un nombre réel, on écrita2R.

En terme de l"inclusion, on a

NZQR: Les nombres réels sont ordonnés, c"est-à-dire un est plut petit (ou ég al)que l"autre.

Notemment, sia;b2R, on écrit:

a < b ssi ba >0 (ou ab <0); ab ssi ba0 (ou ab0): Pour a;b2R, aveca < b, les intervalles deRavec des extremitésaetb, sont notées par (a;b);[a;b);(a;b];[a;b]:

Si un, ou les deux, deaetbsont1, on note

(1;a);(1;a];(b;+1);[b;+1);(infty;+1) les intervalles respectives. 6

1.1.2 Fonctions, domaine de définition, image et graphe de fonctions

P ardéfinition, une fonction est une loi, ou correspondanc e,qui à tout élém entd"un ensemble

Xassocie un seul élément de l"ensembleY. Symboliquement, une fonctionfest presentée par f:X7!Y; x!y=f(x); oùXest l"espace (ensemble) du départ,Yl"espace d"arrivée,fest la loi qui àx2Xassocie la valeury2Y. Généralement on écrity=f(x)sans préciser les ensemblesXetYde la fonctionf.

Exemple 1.1Soitfune fonction donnée par

f:R7!R; x!y= 3x1: Ici,X=R,Y=R, etf(x) = 3x1, associe à toutx2Rla valeur uniquef(x) = 3x1. Notons, qu"en général, la fonctionfn"associe pas nécessairement une valeurf(x)à tout x2X.

Exemple 1.2Soitfdonnée par

f:R7!R; x!y=px: Ici,X=R,Y=R, etf(x) =px, associe à toutx0(et pas à toutx) la valeur unique f(x) =px. •Domaine et l"image d"une fonction L"ensemble desx2Xpour lesquelsf(x)est défini s"appelle "domaine def", et est noté parDom(f). L"ensembles des valeursf(x)pour tous lesx2Dom(f)est appellé "l"image def" et est noté parIm(f). Donc,Im(f) =ff(x); x2Dom(f)g. Une fonc tionpeux être donnée par un tableau ou par un graphe. Mais plus souv ent,ce qui sera le cas dans ce cours, une fonction est donnée par une formule de la formey=f(x). Par exampley= 3x21, donc icif(x) = 3x21. On remarque qu"ici on précise uniquement la loif. Pour être précis il faut donner aussi les espace du depart, d"arrivée, le domaine et l"image def. Souvant, dans ce cours, l"ensemble

XestYserontR.

Quelques e xamplesde fonctions élémentaires sont les sui vantes. 7

1.f(x) =c, avecc2R, dite "fonction constante"

2.f(x) =ax+b, aveca;b2R, dite "fonction linéaire

3.f(x) =ax2+bx+c, aveca:b;c2R, dite "fonction quadratique"

4.f(x) =jxj, dite "fonction valeur absolue"

5.f(x) =1x

6.f(x) =x, avecx6= 0,2R, dite "fonction puissance"

Exemple 1.3Soitf(x) = 3x+7. Icif:X7!YavecX=Y=R. De plus,Dom(f) =R parce quef(x)est bien définit pour toutx. Que vautIm(f)? IciIm(f) =R. En effet, soity2R. Peut-on trouverx2Rtel que f(x) =y? Pour ceci on resout3x+ 7 =y, d"oùx= (y7)=3. Donc, quoi qu"il soityil existe unxtel quef(x) =y. Ceci montre queIm(f) =R. Exemple 1.4Soitf(x) =px1. Icif:X7!YavecX=Y=R. Dans ce cas

Dom(f) =fx2R; x10g=fx1g= [1;+1).

QuevautIm(f)? IciIm(f) = [0;+1). D"abordIm(f)[0;+1)parcequepx10 pour toutx2Dom(f). Montrons qu"au faitIm(f) = [0;+1). Pour ceci soity2Ret trouvonsx2Dom(f)tel quef(x) =y, doncpx1 =y, oux=y2+ 1. Donc, quoi qu"il soity2[0;+1)il existe unx=y2+ 11tel quef(x) =y. Ceci montre que

Im(f) = [0;+1).

•Graphe d"une fonction Étant donné une fonction, le graphe defest l"ensemble des pointsG(f) =f(x;f(x); x2

Dom(f)g, dans le plan cartésien.

En général, le graphe d"une fonction est une courbe. Si la fonction est linéaire alors son graphe est une droite, et si la fonction est quadratique alors son graphe est une parabole. On trace le graphe d"une fonction en traçant les points(x;f(x)), pour certainxet ensuit on lie les points obtenus de façon lisse. Example 1.5Traçons le graphe de la fonctionf(x) =x22x. On évaluef(x)pour certainsxcomme dans le tableau ci-bas x21 0 1 2 3 f(x)8 3 01 0 3 Ensuite, on trace les points(x;f(x))et on les lie de facçon lisse comme dans Figure 1. Étant donné y=f(x), on dit que(0;f(0))est l"intercepte vertical def. Les intercepts horizontalles defsont tous les points(x;0)avecxsatisfaisantf(x) = 0. 8

Figure 1:Le graphe de f(x) =x22x

1.1.3 Opérations avec les fonctions

Opération algèbriques

-Étant donné deux fonctionsfetg, et deux constantsa;b2R, on peux definir les fonctions nouvelles (af+bg)(x) =af(x) +bg(x);(fg)(x) =f(x)g(x);fg (x): -Avec les fonctions on peux faire toute opération algèbrique, c.à.d. on peut combiner les fonctions par les opérations de l"addition, soustraction, multiplication, division, puissances et racines.

Composit iondes fonctions

-Soientfetgdeuxfonctionsdonnées. Ondéfinitlesfonctions, ditescomposées, comme suit fg(x) =f(g(x)); gf(x) =g(f(x)): La fonctionfgest appellée "fonction composée defavecg". Remarque 1.1Pourquoi on considère la composition d"une fonction? Soittle temps après l"an2000,p(t) = 50 +e0:01tla population (en million) d"un pays etR(p) = 2:1 + ln(1 + 3p)le revenu en fonction de la population. Alors

Rp(t) =R(p(t) = 2:1 + ln(1 + 50 +e0:01t);

donne le revenu en fonction de l"annéet. -En génénal,fg6=gf. 9 •La fonction inverse -On dit "f est inversible" s"il existe une fonction notéef1, appelée "fonction inverse def", satisfaisant f

1f(x) =x;8x2Dom(f); ff1(y) =y;8y2Im(f):

-Pour quef1existe il faut et il suffit quefsoit injective. On dit "fest injective" sif(x1)6=f(x2)pour toutx1;x22Dom(f)avecx16=x2.f est injective s"il satisfait la regle de la droite horizontale: le graphe defintersecte une droite horizontale quelconque au plus à un point. -De façon pratique, pour trouverf1, on resoutydans l"équationf(y) =x. Alors, y=f1(x).

Exemple 1.6Soientf(x) =x+ 1etg(x) =1x

. Alors fg(x) =f(g(x)) =g(x) + 1 =1x + 1 =1 +xx gf(x) =g(f(x)) =1f(x)=1x+ 1:

Clairement,f(x)6=gf(x).

Exemple 1.7Soitf(x) =px

1x. Pour trouverf1(x)on resoutf(y) =x. On a

f(y) =x;it oury

1y=x;par la suit on resoutycomme suit

y1y=x2; y=x2(1y); y(1 +x2) =x2; y=x21 +x2; f

1(x) =x21 +x2:

1.1.4 Équations, inéquations

Une équati onest un objet mathématique de la forme f(x) = 0; avecf(x)une fonction. Par example,f(x) = 3x22x+ 1, ouf(x) = 4x31xx 24.
10 Resoudre une équationf(x) = 0signifie trouver tous lesx2Rtels quef(x) = 0. Toutxsatisfaisantf(x) = 0est appellé "racine def". Example 1.8Soitf(x) =x23x+2. Resolvonsl"équationf(x) = 0. Doncx23x+2 = 0. Utilisant la formule des racines deax2+bx+c= 0on obtient x=bpb

24ac2a=3p3

241221=312

= 1;2:

Une inéquat ionest un objet de la forme

f(x)< g(x); ou f(x)g(x) (ou f(x)> g(x); ou f(x)g(x)); avecf(x),g(x)deux fonctions. Resoudre une inéquation, par example,f(x)0, signifie trouver tous lesx2Rtels que f(x)0.

Example 1.9Resolvons l"inéquation12x <1 +x2

On procède comme suit

12x <1 +x2

;[on multiplie les deux côtès par2] (12x)2<1 +x;

24x <1 +x;[on isolexd"un côté, disons à gauche]

4xx <12;

5x <1;[on divise par5; le signe de l"inégalité change]

x > 15=15 x > 15

Donc, la solution estx2[15

;+1).

1.1.5 Problèmes

Problème 1.1.1Trouvez le domaine et l"image des fonctions suivantes: (a)f(x) =x (b)f(x) =x+ 1 (c)f(x) =x2 (d)f(x) =p1 +x2.(e)f(x) =px7 (f) sf(x) =px 21
(g)f(x) =12xx+ 2 11 (h)f(x) =( x1; x <2

23x; x2(i)f(x) =1x

27x+ 6

(j)f(x) =px21 Problème 1.1.2Trouvez la compositionfgetgfdes fonctions suivantes (a)f(x) =x,g(x) =x (b)f(x) =x+ 1,g(x) =1x (c)f(x) = 1x,g(x) =x2 (d)f(x) =p1 +x2,g(x) = 1.(e)f(x) =x2,g(x) =x1 (f)f(x) =1x ,g(x) =px1 (g)f(x) =11 +x,g(x) =1xx Problème 1.1.3Calculezf1dans les cas suivants et calculer son domaine de définition: (a)f(x) = 2x1 (b) sf(x) =12x (c)f(x) =px1 (d)f(x) =1x 2+ 1 (e)f(x) =rx

1x(f)f(x) =x31

(g)f(x) =x (h)f(x) =x1 (i)f(x) =1x1 (j)f(x) =pxquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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