[PDF] Fonction exponentielle Soit u une fonction continue

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Fonction exponentielle

Table des matières

I Introduction de l"exponentielle2

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

I.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

II Etude de la fonction exponentielle3

II.1 Limite aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

II.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4

II.3 Fonction exp(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.4 Croissance comparée de l"exponentielle et des fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IIIRésolution d"équations5

IVExerçice de bac6

Bref histoirique :Le professeur Carl B. Boyer, indique qu"Archimède a expriméde grands nombres en

utilisant une formulation qui s"apparente à une exponentielle dans son traité sur les grains de sables (Psam-

mites). Apollonius de Perga s"est aussi approché des exponentielles, en s"intéressant aux grands nombres

avec l"usage de ses "tetrades".

Au Moyen Age, Thomas Brawardine, a fait un pas en direction del"étude des fonctions transcendantales.

Nicole Oresme l"a suivi en généralisant sa théorie des proportions. Il a aussi étudié, entre autres choses, la

fonction x à la puissance racine de deux. http://nathalie.daval.free.fr-1-

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I Introduction de l"exponentielle

I.1 Définition

Définition 1

La fonction exponentielle

, est la fonction définie surRparexp(x) =ex,exétant l"unique nombre réel positif dont le logarithme vautx

Remarque 1

On dit que la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme, ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectice (y=x).

Conséquences directes :

•exp(x)>0.

•exp(1) =e

1=e≈2,718.

•ln(e

x) =x. •e ln(x)=x.

•Pour toutx?Ret touty >0 :y=e

x??ln(y) =x.

Propriété 1

Soituune fonction continue et définie surI, alors la fonctionx?→exp[u(x)] est définie et existe surI.

Exemple 1

Ensemble de définitionDfde la fonction définie parf(x) =ex+3: ÔLa focntionx?→x+ 3est définie, continue surR.

ÔD"où :Df=R.

I.2 Relation fondamentale

Propriété 2

Pour tous réelsaetb, on a la relation fondamentale suivante : exp(a+b) = exp(a)×exp(b) ou encoree a+b=ea×eb.

Démonstration :

Soientx,y?R. On a ln(e

x+y) =x+y= ln(ex) + ln(ey) = ln(ex×ey). En appliquant l"exponentielle de chaque côté, il vient : e ln(ex+y)=eln(ex×ey)??ex+y=ex×ey. http://nathalie.daval.free.fr-2-

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Propriété 3

Soientaetbdeux réels etnest un entier relatif, alors : 1 ea=e-a. e a eb=ea-b.

©(e

a)n=ean.

En résumé, l"exponentielle a la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en quo-

tients et les multiplications en puissances. (inversementau logarithme!).

Remarque 2

La propiété fondamentale se généralise au cas d"un produit de trois, quatre,nfacteurs : exp(a

1+a2+...+an) = exp(a1)×exp(a2)× ··· ×exp(an).

Exemple 2

Transformations d"expressions numériques :

Ôe2×e3=e6.

1 e5=e-5. e7 e2=e5.

Ô(e-2)-3=e6.

Exemple 3

Transformations d"expressions algébriques :

Ôex+3×e2x+1=e(x+3)+(2x+1)=e3x+4.

e3x-2×e-4x+2 ex2=e(3x-2)+(-4x+2)-(x2)=e-x-x2.

Ô(ex-2)2=e2x-4.

II Etude de la fonction exponentielle

II.1 Limite aux bornes

Propriété 4

On a les limites importantes suivantes :

?lim x→-∞ex= 0?limx→+∞ex= +∞.

Conséquence :La droitey= 0 est donc asymptote orizontale à la courbe représentativede la fonction

exp. http://nathalie.daval.free.fr-3-

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Exemple 4

Limite en+∞deex-1:

limx→+∞(x-1) = +∞ lim

X→+∞eX= +∞?

par composition :limx→+∞ex-1= +∞.

Limite en-∞deex+3:

limx→-∞(x+ 3) =-∞ lim

X→-∞eX= 0?

par composition :limx→-∞ex+3= 0.

II.2 Variations

Propriété 5

La fonction exponentielle est dérivable surRde dérivée (e x)?=ex.

Démonstration :

Ce point est une conséquence de la dérivation des fonctions composées :

On dérive la relation lne

x=x:(e x)? ex= 1 d"où (ex)?=ex. Sachant que la dérivée de la fonction exponentielle este xet qu"elle est définie surR, la dérivée est strctement positive, et la fonction est donc strictement croissante sur cet intervalle.

D"où le tableau de variations et la courbe :

x-∞0 +∞ f?(x)+ f? 0 signe+ 1234
-11 2 3 4-1-2-3-4-5 y= exp(x) e≈2,718

II.3 Fonctionexp(u)

Propriété 6

Soituune fonction définie dérivable surI, alors la fonctionx→exp[u(x)] est dérivable surIde dérivée

exp[u(x)] ?=u?(x)exp[u(x)].

On écrit aussi : (e

u)?=u?eu. http://nathalie.daval.free.fr-4-

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Exemple 5

Soitfla fonction définie parf(x) =ex2+1.

ÔLe polynômeudéfini paru(x) =x2+ 1est défini et dérivable surRde dérivéeu?(x) = 2x.

ÔDonc,fest dérivable surRetf?(x) = 2xex2+1.

Soitgla fonction définie surRparg(x) =ex-2.

ÔLe polynômevdéfini parv(x) =x-2est défini et dérivable surRde dérivéev?(x) = 1.

ÔDonc,gest dérivable surRetg?(x) =g(x) =ex-2. II.4 Croissance comparée de l"exponentielle et des fonctions puissance

Propriété 7

On a les limites classiques suivantes, pour toutn?N

©lim

x→+∞ ex x= +∞.

©lim

x→+∞ ex xn= +∞.

©lim

x→-∞xex= 0.

©lim

x→-∞xnex= 0.

Remarque 3

On dit que "l"exponentielle l"emporte sur la puissance". L"idée à retenir :Au voisinage de +∞, les fonctionsx→lnx,x→x

αetx→exprennent des valeurs qui

se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande.

III Résolution d"équations

Propriété 8

Pour toutuetv, on a les résultats suivants :

©L"équation exp(u) = exp(v) possède comme unique solutionu=v.

©Pour toutλ >0, l"équation exp(u) =λpossède comme unique solution le nombreu= ln(λ).

Exemple 6

Résolution dansRde l"équationex= 4:

Ôex= 4??ln(ex)) = ln(4)??x= ln4.

Résolution dansRde l"équation2ex×e(3x) = 5:

Ô2ex×e3x= 5??2ex+3x= 5??e4x=5

2??4x= ln?52?

??x=14ln?52? Résolution dansRde l"équationexp(-x2+ 9) = 1. Ôexp(-x2+ 9) = 1??ln[exp(-x2+ 9)] = ln(1)?? -x2+ 9 = 0??x2= 9??x=-3, oux= 3. http://nathalie.daval.free.fr-5-

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IV Exerçice de bac

EXERCICE

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par f(x) = e xlnx+e x x.

On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal d"unités graphiques 4 cm

sur l"axe des abscisses et 1 cm sur l"axe des ordonnées.

Partie A

L"objet de cette première partie est l"étude des limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de

définition.

1. Déterminer la limite defen +∞.

2. (a) Montrer que pour tout nombre réel strictement positifx,f(x) =e

x x(xlnx+ 1).

On rappelle que lim

x→0xlnx= 0. En déduire la limite defen 0. (b) Montrer que la courbeCadmet une asymptoteDdont on donnera une équation. Partie B : étude d"une fonction intermédiaire Soitgla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par g(x) = lnx+2 x-1x2

1. (a) On désigne parg?la dérivée de la fonctiong.

Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx,g ?(x) =x

2-2x+ 2

x3. (b) Étudier le signe deg ?(x). En déduire que la fonctiongest strictement croissante sur l"intervalle ] 0 ; +∞[. L"étude des limites n"est pas demandée.

2. (a) Démontrer que l"équationg(x) = 0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle

?1 2; 1 (b) Donner un encadrement d"amplitude 10 -2deα.

3. Déduire des questions B

1et B2le signe deg(x), pourxappartenant à l"intervalle ] 0 ; +∞[.

Partie C : étude des variations de la fonctionfet construction de la courbe associée

1. (a)f

?désignant la dérivée def, calculerf?(x) et montrer quef?(x) = exg(x), pour tout nombrex appartenant àl"intervalle ] 0 ; +∞[. (b) En déduire le signe def ?(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. (a) Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

(b) Calculer une valeur approchée à 10 -1près def(α), en prenant 0,6 pour valeur approchée deα.

3. (a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

x0,250,50,7511,251,51,7522,252,5 f(x) à

10-1près

(b) Construire l"asymptoteDet la courbeCpourxappartenant à l"intervalle ] 0 ; 2,5 ].

Partie D : calcul d"aire

1. Montrer que la fonctionF, définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ parF(x) = e

xlnxest une primitive def.

2. On désire calculer l"aire de la partieEdu plan comprise entre la courbeC, l"axe des abscisses et les

droites d"équations respectivesx= 1 etx= 2. (a) Hachurer la partieEsur le dessin. (b) Déterminer la valeur exacte de l"aire deEen unités d"aires, puis en cm 2. http://nathalie.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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