[PDF] Exponentielle exercices corrigés - AlloSchool

1 Fonction exponentielle Exercices corrigés 1. 1. Fesic 1996, exercice 2 1 1. 2. Fesic 1996, exercice 3 1 1. 3. Fesic 1996, exercice 4 2 1. 4. Fesic 2000, exercice 6 3 1. 5. Fesic 2000, exercice 4 3 1. 6. Banque 2004 4 1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5 1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 7 1. 9. Basiques 8 1. 10. Une fonction 9 1. 11. Un exercice standard 11 1. 12. Une suite de fonctions 12 1. 13. ln et exp 15 1. 14. Recherche de fonction 16 1. 15. Etude de fonction hyperbolique 18 1. 16. Une intégrale peu engageante... 20 1. 17. Tangente hyperbolique 22 1. 18. Tangente hyperbolique et primitives 24 1. 19. Antilles 09/2008 7 points 27 1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007 29 1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle et sinus hyperbolique, La Réunion, juin 2004 32 1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004 33 1. 23. Exp et aire 35 1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes 37 1. 1. Fesic 1996, exercice 2 Soit f la fonction définie sur *+ℝ par 3( )xef xx= et C sa courbe représentative. a. f est une bijection de *+ℝ sur 3;27e+∞. b. La droite (∆) d'équation 3x= est axe de symétrie de la courbe C. c. C admet une unique tangente parallèle à l'axe ()Ox et elle est obtenue au point d'abscisse 3x=. d. La tangente à C au point d'abscisse 1 a pour équation :2yex e= - -. Correction a. Faux : La fonction f est dérivable sur *+ℝ et ( )()43 xe xf xx-′=, or pour x ∈ [3,[+∞, '( ) 0f x≥ car 40 et 0xex>> et pour ][0 ,3x∈ ()0f x′<. f n'est pas monotone sur *+ℝ et elle ne réalise donc pas une bijection. b. Faux : Si la droite ∆ d'équation 3x= est axe de symétrie de la courbe C alors f doit être paire dans le repère ()(), , avec 3,0I i jI . Posons 3y Yx X== + alors ( )()()()333333XXeeY f Xf XXX+- +==≠ - =+- +. Donc f n'est pas paire dans le repère (); ,I i j avec I(3, 0). c. Vrai : ( )()43 0xe xf xx-′== pour x = 3 car 0xe>donc C admet une unique tangente parallèle à l'axe ()Ox et elle est obtenue au point d'abscisse x = 3. d. Faux : La tangente à C au point d'abscisse 1 a pour équation : ()()()1112 3y fxfex e′=⋅ - += - +. 1. 2. Fesic 1996, exercice 3 Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2( )21xexf xx-=-+ et C sa courbe représentative. a. lim ( )xf x→+∞= +∞. Exponentielle exercices corrigés

4 ()3211'( )1( )²²²xxxxxxeef xeeexex x xg xxxxx------= --- +=- - - =. Dans la mesure où on compare f et g sur l'intersection de leur domaine de définition (ℝ*+), les deux fonctions ont le même signe. D : FAUX La fonction f ' ne s'annule pas en 1, elle n'admet donc pas de minimum pour x = 1. Remarque : f(1) = 0, la courbe coupe donc l'asymptote en 1, ... mais aussi en -1. 1. 6. Banque 2004 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (); ,O i j . Soit f la fonction définie sur ℝ par : 21( )2,11,1 1,62xxf xeex=-+ +. 1. Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre [-5 ; 4] x [-4 ; 4]. Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur la copie. 2. D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : a. Sur les variations de la fonction f ? b. Sur le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 ? 3. On se propose maintenant d'étudier la fonction f. a. Résoudre dans ℝ l'inéquation e2x - 2,1ex + 1,1 > 0 (on pourra poser xe X= pour résoudre). b. Etudier les variations de la fonction f. c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0. 4. On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [-0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3. Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ? Correction 1.

2. a. f semble croissante. b. L'équation f(x) = 0 semble avoir une seule solution en 0. 3. a. e2x - 2,1ex + 1,1 > 0 donne 22,1 1,1 0XX-+ > ; cherchons les racines : 222,1 4,4 0,01 (0,1)∆ = - ==

5 d'où les racines 112,1 0,12,1 0,11,1,122XX+-==== ; on peut alors factoriser : 22,1 1,1 0 ( 1,1)( 1) 0 (1,1)(1) 0xxXXXXee- + > ⇔ -- > ⇔ -- >. Les solutions sont alors ];1[ ]1,1; []0 ;1[ ]1,1; [];0[ ]ln(1,1); [xxeex∈ -∞ ∪ +∞ ⇔ ∈ ∪ +∞ ⇔ ∈ -∞ ∪+∞. b. 221'( )22,11,12,11,12xxxxf xeeee=-+ = -+. Le signe de f' est celui calculé précédemment. c. 001(0)2,11,1.0 1,6 0,5 2,1 1,6 02fee= -++ = - + = ; 2ln(1,1)ln(1,1)1(ln(1,1))2,11,1ln(1,1) 1,6 0,00015882fee=-++ ≈ -. Comme f(ln(1,1)) < 0, f s'annule en 0 puis une seconde fois pour une valeur de x supérieure à ln(1,1). Il y a donc deux solutions. 4. Il suffit de prendre ymin < f(ln(1,1)) et ymax > 0 comme ci-dessous. Par exemple [-0,0002 ; 0,0002] convient très bien.

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5 points Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par ( ) ()()1 2xf xxe-= --. Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm). 1. a. Étudier la limite de f en +∞. b. Montrer que la droite ∆ d'équation y = 2x -2 est asymptote à C . c. Étudier la position relative de C et ∆. 2. a. Calculer ()'f x etmontrer que ( )()'2 1xxf xxee--=+ -. b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, ()'0f x>.

6 c. Préciser la valeur de ()' 0f, puis établir le tableau de variations de f . 3. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe C , la droite ∆ et les droites d'équations x = 1 et x = 3. 4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à ∆. b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite ∆.

7 b. Comme x est positif, 0xxe-> et 00011 0 10xxxxxeeee---> ⇒ - < ⇒ < = ⇒ - < ⇒ - > donc f' est positive. c. '(0) 0 2(1 1) 0f= + - =. 2. Comme 1x≥ il faut calculer 31( 1)xx e dx-- - -∫ : on pose 1' 1'xxu xuv eve--= -=⇒== - d'où 33333331131111( 1)( 1)223xxxxx e dxx ee dxeeeeeee-----------= - -- -= - -= - --= -∫∫. Comme l'unité d'aire est de 2 cm x 2 cm, soit 4 cm2, on a donc ()1323 4 0,87 cmee---≈. 3. a. La tangente à C est parallèle à ∆ lorsque '( ) 2f x= : mêmes coefficients directeurs ; on a donc '( )2 2220 ( 2)02xxxxxf x xeexeexex-----= + - = ⇔- = ⇔ - = ⇒ =. Le point A a pour coordonnées 2 et ()22(2) (2 1) 22fee--= - - = -. b. La distance du point A à la droite 0ax by c+ + = est 22AAax by ca b+ ++ ; ici ∆ a pour équation cartésienne 22 0x y- - = d'où notre distance est 22222.2 (2) 252 ( 1)ee--- - -=+ -, soit en cm : 225e-. 1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 5 points On considère la fonction f définie sur ℝ par ( )xxf xe x=-. On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal ( ; , )O i j , l'unité graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées. Partie A Soit g la fonction définie sur ℝ par ( )1xg x e x= - -. 1. Etudier les variations de la fonction g sur ℝ. En déduire le signe de g. 2. Justifier que pour tout x, 0xe x- >. Partie B 1. a. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et -∞. b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. 2. a. Calculer '( )f x, f' désignant la fonction dérivée de f. b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation. 3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0. b. A l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C). Correction Partie A x f 0 0 +∞ f' + -1 +∞

8 1. '( )1xg x e= - est positive lorsque 0x≥ ; (0) 1 0 1 0g= - - = : comme g est décroissante avant 0 et croissante après, g est toujours positive. 2. Comme ( ) 0g x≥, on a 10xxe xe x- ≥ ⇒ - > (ceci montre que f est définie sur ℝ). Partie B 1. a. 11lim ( ) limlim01xxxxxxf xe xex→+∞→+∞→+∞=== =+∞-- ; 11lim ( ) limlim10 11xxxxxxf xe xex→-∞→-∞→-∞==== ----. b. On a une asymptote horizontale en -∞ : 1y= - et une autre en +∞ : 0y=. 2. a. 2221() (1)(1 )'( )()()()xxxxxxxxe x x ex ee x xe xf xe xe xe x- - --- - +===---. b. f' est du signe de 1-x. 3. a. (0)'(0)( 0)y ffxy x- =- ⇔ =. b. 2( )(1)( )xxxxxxxg xx e xxx xe xf x xxe xe xe xe x-- - -- +- =- ===----. Comme g est positive, ainsi que xe x-, ( )f x x- est du signe de -x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T). 4.

1. 9. Basiques Exercice 1 Soient f et g les fonctions définies de ]0 ; +∞[ dans ℝ par : x f -∞ 0 1 +∞ f' - + -1 0 11e-

9 11( ) 221xxef xxe+= + ⋅- et 2( ) 252xxg xee=- +. a. Démontrer que 1 11( ) 222211xxxef xxxee= + += - +-- b. Factoriser g(x). c. Déterminer le signe de la dérivée de f. Correction a. 1 11 211222.( )2212( 1)1xxxxxeexxxf xeee- +++ += += +=--- 11 211222.( )2212( 1)1xxxxxxxeeeexxf xeee- + ++- += += +=--- ; b. 2( ) 252,xxxg xeeX e=- + =, 5² 4 2 2 25 16 9 3²∆ = - × × = - = =, 5 34X±=, 1122212xxX eX e= == =, 1( ) 2(2)()2xxg xee= --. c. 1 1( ) 221xf xxe= + +-, 22222222( )2( 1)2(21)25 2'( ) 2(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxxxxg xeeeeeeeef xeeeee- -- + -- += -====----- est donc du signe de g(x) et f est donc négative entre ln 2 et - ln 2, positive ailleurs. Exercice 2 Démontrer que quel que soit le réel x on a : ln(1) ln(1)xxeex-+ - + =. Correction 11ln(1) ln(1)ln1(1)11xxxxxxxxxxeeeexxeeeeee----+++ - + = ⇔= ⇔= ⇔ + = +++ 11xxee⇔ + = +. Exercice 3 Résoudre les systèmes : a. 2 3 53 2 3 24xyxy- =× + = b. ln ln2ln41x yxye ee+ = -= Correction 2 314 2 32,2 8, 33 2 3 33xyxxxyx- = -⇒ × == =× + =, 33328 313 9yyxxxy===⇔ ⇔=- = -=, S = {(3 ;2)}. 212ln ln2ln4lnln41.x yx yxyxye eeee--++ = -=⇔==, soit 11612xyx y=+ = - . Soit à résoudre l'équation : X² - SX + P = 0, 1111²0()² 02 1644X XXXx y+ + = ⇔ + = ⇔ = - = =. Or, bien évidemment, les valeurs négatives sont exclues car ln n'est pas définie sur -ℝ donc S = ∅. 1. 10. Une fonction On considère la fonction g définie sur ℝ par 2( ) ( 1)xg x xe-= +.

10 Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j , unité graphique 2 cm. 1. Calculer la dérivée g' de g. Montrer que g'(x) est du signe de (1 - x2). En déduire les variations de g. 2. Montrer que : a. lim ( )xg x→-∞= +∞. b. lim ( ) 0xg x→+∞= et préciser l'asymptote à C correspondante. 3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j . On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses respectives -2 ; -1 ; 0 ; 1 et 3. 4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k. b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution α et une seule. Prouver que α appartient à l'intervalle [- 2 ; - 1]. c. Montrer que α vérifie la relation 21 2 .eαα= - - Correction 2( ) ( 1)xg x xe-= +. 1. 2( ) 2( 1)( 1) () ( 1) (21) ( 1)(1 )xxxxg xx exex exxx e----′= ++ + - = +- - = + -. 2. a. 22lim ( ) limlimxXxxxg xx eX e-→-∞→-∞→+∞=== +∞. b. 22lim ( ) limlim0xXxxxg xx eX e-→+∞→+∞→-∞===. C a une asymptote horizontale en +∞.

4. a. Si k < 0, pas de solutions ; si k = 0, une seule solution : x = -1, si 0< k < 4/e, 3 solutions, si k = 4/e : deux solutions dont x = 1, enfin si k > 4/e, une seule solution. b. Si x > -1, f(x) est toujours inférieur ou égal à 4/e (<2), donc f(x) = 2 n'a pas de solution sur [1 ; +∞[. Lorsque x < -1, f est continue monotone strictement croissante de ]-∞ ; -1[ vers ]0 ; +∞[. Comme 2 est dans cet intervalle, il existe une seule valeur de x pour laquelle f(x) = 2.

11 Claculons f(-2)=7,39 et f(-1)=0 ; comme 0 < 2 < 7,39 on a -2 < α< -1. c. Nous savons que 221 2( ) 2 ( 1)2 ( 1) 212efeeeααααααααα-+ == ⇔ + = ⇔ + = ⇔+ = - ; comme α< -1 on choisit la racine négative, soit 21 2 .eαα= - - 1. 11. Un exercice standard Soit kf la famille de fonctions définies sur [0, [+∞ par 2( )xkf x kx e-= + où k est un réel strictement positif quelconque et kg la famille de fonctions également définies sur [0, [+∞ par ( ) 2xkg xkx e-= -. On note Ck la courbe représentative de kf dans le repère orthonormal (); ,O i j , unité graphique : 2 cm. 1. Sens de variation de kg a. Calculer la dérivée kg′ de kg ; vérifier que ( )kg x′ est toujours strictement positif. b. Calculer la limite de ( )kg x quand x tend vers +∞. c. Déduire de ce qui précède l'existence et l'unicité d'un nombre réel 0kα> tel que ( ) 0k kgα=. Donner une valeur approchée à 10-1 près de 1α et de 2α. d. Étudier le signe de ( )kg x sur [0, +∞[. e. Montrer que ( )( )kkf x g x′= ; en déduire le sens de variation de kf. 2. Comportement asymptotique de kf en +∞ a. Déterminer la limite de ( )kf x en +∞. b. Déterminer le signe de 2( )kf x kx- et sa limite en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat ; on note kP la courbe d'équation 2y kx=. 3. Construction de kf. a. Dresser le tableau de variation de kf. Préciser le signe de kf. b. Préciser l'équation de la tangente T à Ck au point d'abscisse 0. c. Prouver que ( )(2)k kk kfkα α α=+. d. On prend k = 1 : montrer que le point de coordonnées ()1 1 1; ( )fα α appartient à une parabole 1Q dont on donnera l'équation. Tracer dans le même repère T, 1P, 1Q et 1C. Correction 2( )xkf x kx e-= +, ( ) 2xkg xkx e-= -. 1. Sens de variation de kg a. ( ) 2xkg xk e-′= + est toujours >0 puisque xe- l'est ainsi que 2k. b. Comme xe- tend vers 0 en +∞ la fonction ( )kg x se comporte comme 2kx et tend donc vers +∞. c. On a 0(0) 01kge-= - = - qui est négatif et lim( )kxg x→+∞= +∞ qui est positif ; comme gk est continue, monotone strictement croissante elle s'annule une seule fois. Calculons des valeurs approchées de 1α, solution de 20xx e-- = : on a 10,3510,352α< <. x g1(x) x g2(x) 0,35172775-1,612E-050,20335079-0,002588810,351832460,000266960,204188480,00144524

12 De même on obtient la solution de 40xx e-- = : 20,2030,205α< <. d. Comme gk est croissante, on a ( )( ) 0kkk kxg x gαα< ⇒<= et ( )( ) 0kkk kxg x gαα> ⇒>= e. Il est immédiat que ( ) 2( )xkkf xkx eg x-′= - = ; fk est donc décroissante avant kα et croissante après. 2. Comportement asymptotique de kf en +∞ a. Là encore xe- tend vers 0 en +∞ donc fk se comporte comme 2kx et tend donc vers +∞. b. Comme 2( )xkf x kx e-- =, cette expression est positive et tend vers 0 à linfini. La courbe Pk est donc asymptote de Ck et Ck est au dessus de Pk. 3. Construction de kf. a. Comme 2kx est positif ainsi que xe-, ( )kf x est positive. b. On a (0) 1kf′= - et (0) 1kf= d'où la tangente : 1y x= - +. c. ( ) 02kk kkgekααα-= ⇔ = donc 2( )2(2)k kkkk kfkkkα α α α α= +=+. d. k = 1 : 21 111( )2fα α α= + donc ()1 1 1; ( )fα α appartient à la parabole d'équation 22y xx= +.

Vous pouvez changer la valeur de k et voir également ce que fait fk lorsque k est négatif... 1. 12. Une suite de fonctions Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction kf définie sur [[0 ;+∞ par ()( ) lnxkf xe kx x=+ -. Soit kC la courbe représentative de kf dans un repère orthogonal ( ; , )O i j (unités : 5 cm sur l'axe des abscisses, 10 cm sur celui des ordonnées). x fk 0 0 kα +∞ fk' + - ( )k kfα 1 +∞

Sur la figure la courbe la plus basse correspond à k = 1, la plus haute à k = 10. 1. 13. ln et exp D'après Paris, Bac C, 1974 Soit f la fonction numérique définie sur R par : 2( ) ln(1)x xf xee=- + le symbole ln désignant le logarithme népérien. 1. Montrer que 21xxee- + est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f. Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f. 2. Préciser les limites de f en +∞ et -∞ 3. Vérifier que 2( ) 2ln(1)xxf xxee--- = - + et montrer que f(x) - 2x tend vers une limite lorsque x tend vers +∞. En déduire l'asymptote correspondante de (C). 4. Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d'ordonnée nulle). 5. Déterminer, en utilisant la courbe (C), le nombre de solutions réelles de l'équation d'inconnue x : 2718xxee- + = a. par le calcul, b. en utilisant la courbe (C). Correction 1. 2211xxe eX X- + = - + en posant xX e=. On a alors 3 0∆ = - < donc le trinômes est positif ainsi que 21x xee- +.

1. 14. Recherche de fonction Sur la feuille ci-jointe, figurent la courbe représentative (C) dans le repère orthonormé ( ; , )O i j d'une fonction f définie et dérivable sur ℝ ainsi que son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d'abscisse O. On sait que le point J(0 ; 1) est le centre de symétrie de la courbe (C), que l'asymptote (D) passe par les points K(-1 ; 0) et J et que la tangente (T) a pour équation y = (1 - e)x + 1. 1. Déterminer une équation de (D). 2. On suppose qu'il existe deux réels m et p et une fonction ϕ définie sur ℝ telle que, pour tout réel x, x f -∞ 0 -ln2 +∞ f' + - ln(3/4) 0 +∞

17 f(x) = mx + p + ϕ(x) avec lim ( ) 0xxϕ→+∞=. a. Démontrer que m = p = 1. b. En utilisant le point J, montrer que, pour tout réel x, on a f(x) + f(-x) = 2. c. En déduire, après avoir exprimé f(x) et f(-x), que la fonction ϕ est impaire. d. Déduire de la question b. que f ', dérivée de f, est paire. 3. On suppose maintenant que, pour tout réel x, 2( ) ()xx ax b eϕ-= + où a et b sont des réels. a. En utilisant la parité de ϕ, démontrer que b = 0. b. Calculer f '(x). c. En utilisant le coefficient directeur de (T), démontrer que a = -e. d. Démontrer que 21( )1xf x xxe- += + -.

Correction 1. La droite (D) passe par les points J(0 ; 1) et K(-1 ; 0), une équation est donc y = x + 1. 2. a. lim ( ) 0lim ( ) () 0xxxf x mx pϕ→+∞→+∞= ⇔- + =, c'est-à-dire que la droite d'équation y = mx + p est asymptote à la courbe en +∞, c'est la droite (D). Donc m = p = 1.

18 b. Le point J est centre de symétrie de la courbe, on a donc la relation : f(xJ + x) - yJ = yJ - f(xJ - x) , ou encore : () ()2JJJf x x f x xy+ +-= En remplaçant par les coordonnées de J, on obtient : f(0 + x) - 1 = 1 - f(0 - x) ou encore f(x) + f(-x) = 2. Ωx0xxy0f x x( + )0f x -()0x c. f(x) = x + 1 + ϕ(x), f(-x) = -x + 1 + ϕ(-x) donc f(x) + f(-x) = 2 + ϕ(x) + ϕ(-x). Or, on sait que f(x) + f(-x) = 2, on en déduit que ϕ(x) + ϕ(-x) = 0, ou encore que ϕ(x) = - ϕ(-x), c'est-à-dire que la fonction ϕ est impaire. d. f(x) + f(-x) = 2, donc, en dérivant chaque terme : f '(x) - f '(-x) = 0, soit f '(x) = f '(-x). Conclusion f ' est paire. Attention, la dérivée de f(-x) est - f '(-x) (dérivation des fonctions composées). 2. a. 22( ) ()( ) ()xxx ax b exax b eϕϕ--= +⇒ - = - + ; comme ϕ est impaire, on a ax + b = -ax + b, soit b = 0. b. 22222( )1 ( )1( ) 1( ) 1( )( 2 )1 (1 2 )xxxxf x xx xaxef xxaeaxx eax eϕϕ----′′= + + = + +⇒= += ++ -= + -. c. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0, soit J, est f '(0) = (1 - e) (équation de (T)). On a donc l'égalité : '(0) 11fae a e= + = - ⇒ = -. d. Il reste à conclure : 22( )11xxf x xaxexexe--= + += + -. 1. 15. Etude de fonction hyperbolique Soit f l'application de ][0 ;+∞ dans ℝ définie par 1 1( ) 221xxef xxe+= +-, et g l'application de ℝ dans ℝ définie par 2( ) 252xxg xee=- +. Partie A 1. Montrer que, pour tout x de ][0 ;+∞, on a 1 1( ) 221xf xxe= + +-. 2. Montrer que pour tout x de ][0 ;+∞ on a 1( ) 221xxef xxe= - +-. 3. Résoudre l'équation g(x) = 0 puis factoriser g(x). Partie B : Etude de f 1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. 2. a. Montrer que la droite (D) d'équation 122y x= + est asymptote à la courbe (C) représentative de f. b. Etudier la position de (C) par rapport à (D). 3. Montrer que la fonction dérivée de f est du signe de la fonction g de la partie A et dresser le tableau de variation de f. 4. Réprésenter (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) 5. a. Etudier graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, l'intersection de (C) et de la droite (Dm) d'équation y = 2x + m. b. Démontrer par le calcul ces résultats (on pourra utiliser le A.1.).

19 Partie C : Calcul d'aire 1. En reconnaissant la forme '( )( )u xu x, déterminer les primitives sur ][0 ;+∞ de la fonction 1xxexe-quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1