Le Nombre dOr Exposé1
Une utilisation du Nombre d'Or dans l'architecture : les cathédrales. C'est au cours du XI° et du XII° siècles qu'un grand nombre de cathédrales et
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Nombre d'or divine proportion . ce n'est ni une mesure
Le nombre dor
Quelle est la suite logique des nombres précédents? Calculez les dix nombres suivants de cette suite. Leonardo Fibonacci (1175-1250). Cette suite est appelée
Le nombre dor - Celui des proportions harmonieuses
pyramide sur sa demi –base est voisin du nombre d'or. respectaient le nombre d'or et il l'utilisait dans ses tableaux. ... 34 and 21 of course
Le nombre dor
ED = EA = AB nombre d'or. Le rectangle d'or : C'est un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal
Le Nombre dOr : « Réalité ou vérités de conséquence » Introduction
7 déc. 2020 Harmonie Philosophie
LE NOMBRE DOR EN MATHÉMATIQUE Pierre de la Harpe 1er
1 nov. 2008 Le nombre d'or est la proportion ? telle que étant donné deux nombres positifs L et l tels que L>l> 0
Le nombre dor dans larchitecture grecque : mythe ou réalité ? Filles
Filles des nombres d'or. Fortes des lois du ciel
COURS DE FORTRAN 90
Le but de ce cours est d'apprendre `a programmer en fortran 90. Il est prévu Nombre de commandes présentées ici sont expliquées avec beaucoup plus de.
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Une famille de 3 vecteurs de ? dépendant d'un paramètre (cf. cours) Ce nombre connu depuis l'Antiquité
LE NOMBRE D'OR - maths-sciencesfr
Pour calculer l’inverse du nombre d’or il suffit de lui retirer 1 Le rectangle d’or Si on ajoute un carré de coté ? à un rectangle d’or de longueur ? et de largeur 1 on obtient un autre rectangle d’or de longueur ?+1 et de largeur ? ? ? 1 http://maths-sciences
LE NOMBRE D'OR - maths-sciencesfr
Le nombre d’or est une des curiosités mathématiques les plus connues de par son aspect mystique mais également car il apparait dans beaucoup de domaines mathématiquescommelagéométrieetl’arithmétique
TP nombre d'or - maths au quotidien
On retrouve une définition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve architecte romain au Ier siècle avant notre ère Sur un segment [AB] est placé un point C délimitant deux segments [AC] et [CB] Le nombre d’or est déterminé par une proportion : « Il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout
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ouvrages qui insistent sur l’importance du nombre d’or et établissent définitivement le mythe : - l’esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) - le nombre d’or : rites et rythmes phytagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931)
Comment calculer le nombre d’or ?
Construction du nombre d’or à la règle et au compas Pour cela, il suffit de tracer un carré de coté 1, de pointer le compas au centre d’un des cotés et de tracer le cercle qui passe par le sommet opposé. Le nombre d’or est donné par l’intersection du prolongement de ce coté du carré avec le cercle tracé.
Comment calculer le nombre d'or ?
Ce rapport est le nombre d'or que l'on retrouve dans les côtés du rectangle d'or. Ainsi, pour construire un segment de longueur le nombre d'or, on commence par tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1/2. Puis on reporte la longueur de l'hypoténuse sur la demi droite [AC) (voir figure ci-dessous).
Comment calculer le nombre d’or à la règle et au compas ?
Construction du nombre d’or à la règle et au compas . Pour cela, il suffit de tracer un carré de coté 1, de pointer le compas au centre d’un des cotés et de tracer le cercle qui passe par le sommet opposé. Le nombre d’or est donné par l’intersection du prolongement de ce coté du carré avec le cercle tracé.
Qui a inventé le nombre d’or ?
Alors que pour Léonard de Vinci, ce sera la « section dorée ». Il faudra attendre 1932, avec le prince Matila Ghyka, diplomate et ingénieur pour entendre le terme de « nombre d’or ». On retrouve des traces du nombre d’or bien avant les grecs.
1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿPar exemple, tout plan ܲ
à la fois !
Théorème : critère de somme directe
Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧLemme : Soient ܨ et ܧ ܩ
F G16 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨOn a ܧൌܩْܨ
Démonstration du lemme :
- 1er point à faire en exercice.Exemples :
- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.3. La formule de Grassmann
Pour conclure, on
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Théorème de Grassmann :
Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨܩܧ alors ܩתܨExemples :
- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !Démonstration géométrique :
Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩOn montre que ܨܩൌْܸܨ
- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸOn a donc ܨܩൌْܸܨ
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