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LIC¸˜AO7

FUNC¸˜AO COMPOSTA E FUNC¸˜AO INVERSA

Na lic¸˜ao anterior, vimos que uma func¸˜ao ´e uma relac¸˜oes que satisfaz a se-

guinte propriedade: qualquer elemento do dom´ınio est´a associado `a um ´unico elemento do contra dom´ınio. Nesta lic¸˜ao, transportaremos os con- ceitos de composta e inversa de relac¸˜oes para func¸˜oes. Al´em disso, estuda- remos condic¸˜oes que garantem que o resultado da composta ou a inversa de uma func¸˜ao ´e tamb´em uma func¸˜ao.

7.1 Composta de Fun¸c˜oes

Sejam f A→B e g : B→C duas func¸˜oes. Essas duas func¸˜oes podem ser interpretadas respectivamente como relac¸˜oes f ⊆A×B e g⊆B×C. Dessa forma, podemos definir a relac¸˜ao composta g ◦f⊆A×C como segue: g ◦f= {(x,z) ∈A×C :∃y∈B com(x,y) ∈f e(y,z) ∈g}(7.1)

O seguinte teorema garante que

g ◦f ´e tamb´em uma func¸˜ao.

Teorema 7.1.

Se f A →B e g : B→C, ent˜ao a rela¸c˜ao composta g◦f dada pela equa¸c˜ao (7.1)

´e uma fun¸c˜ao de A em C.

Demonstra¸c˜ao.

Devemos provar que a relac¸˜ao

g ◦f de A em C satisfaz as duas condic¸˜oes da Definic¸˜ao 6.1 na lic¸˜ao anterior. 63
(a)Para todo x∈A, existe z∈D tal que(x,z) ∈g◦f.

Hip´otese: x

∈A, Tese:

Existe

z ∈D tal que(x,z) ∈g◦f. Seja x ∈A. Como f ´e uma func¸˜ao de A em B, segue que, existe y∈B tal que (x,y) ∈f. Similarmente, como g ´e uma func¸˜ao e y∈B, existe z ∈C tal que g(y) =z, isto ´e,(y,z) ∈g. Sabendo que(x,y) ∈f e (y,z) ∈g, conclu´ımos que(x,z) ∈g◦f. (b)Se(x,z 1 ∈g◦f e(x,z 2 ∈g◦f, ent˜ao z 1 =z 2

Hip´otese:

(x,z 1 ∈g◦f e(x,z 2 ∈g◦f,

Tese: z

1 =z 2

Suponha que

(x,z 1 ∈g◦f e(x,z 2 ∈g◦f. Segue da definic¸˜ao da relac¸˜ao composta g ◦f que existem y 1 y 2 ∈B tais que�(x,y 1 f e(y 1 z 1 ∈g�e�(x,y 2 ∈f e(y 2 z 2 ∈g�. Uma vezque�(x,y 1 f e(x,y 2 ∈f�e f : A→B ´e uma func¸˜ao, conclu´ımos que y 1 =y 2

Deste modo,

(y 1 z 1 ∈g e(y 1 z 2 ∈g. Como g : B→C tamb´em ´e uma func¸˜ao, segue que z 1 =z 2

Combinado os itens

(a)e(b), conclu´ımos que a relac¸˜ao g◦f ´e uma func¸˜ao de A em C

Observe que a func¸˜ao

g◦f pode ser expressa diretamente em termos da aplicac¸˜ao das func¸˜oes f e g , respectivamente. Com efeito, valem as seguintes equivalˆencias l´ogicas: (x,y) ∈f⇔y=f(x), (7.2) (y,z) ∈g⇔z=g(y), (7.3) (x,z) ∈g◦f⇔z=g◦f(x). (7.4) Combinando esses fatos com (7.1), conclu´ımos que z =g◦f(x)se e so- mente se existe y ∈B tal que f(x) =y e g(y) =z. Finalmente, identifi- cando os termos iguais a z , podemos formular a seguinte definic¸˜ao:

Defini¸c˜ao 7.1

(Func¸˜ao Composta)

Sejam f

A →B e g : B→C. A fun¸c˜ao g ◦f : A→C dada pela a equa¸c˜ao g ◦f(x) =g�f(x) ∀x∈A, (7.5)

´e denominada de

func¸˜ao composta de g por f. 64

Exemplo 7.1. Considere as func¸˜oes:

(a) f {a,e,i,o,u} → {1,2,...,26}em que f(a) =1, f(e) =2, f(i) =3, f (o) =4, f(u) =5, e (b) g {1,2,...,26} → {a,b,c,..., x,y,z}tal que g(1) =a, g(2) =b, g (3) =c, ... , g(26) =z.

A composta

g ◦f ´e uma func¸˜ao de{a,e,i,o,u}em{a,b,c,...,z}que satis- faz as seguintes equac¸˜oes: g ◦f(a) =g(f(a)) =g(1) =a g ◦f(e) =g(f(e)) =g(2) =b g ◦f(i) =g(f(i)) =g(3) =c g ◦f(o) =g(f(o)) =g(4) =d g ◦f(u) =g(f(u)) =g(5) =e

Note que

Cdom (g) = {a,b,... ,z} �⊂ {a,e,i,o,u} =Dom(f), sendo assim, n˜ao ´e poss´ıvel definir a func¸˜ao f ◦g.

Exemplo 7.2.

Considere as func¸˜oes

f R →R, com f(x) =2x, e g : R →R tal que g(x) =2x+1. Note que Cdom(f) =Dom(g)e, portanto, teremos a func¸˜ao g ◦f : R→R dada por g ◦f(x) =g(f(x)) =g(2x) =4x+1,∀x∈R. (7.6)

Similarmente, como

Cdom (g) =Dom(f), teremos a func¸˜ao f◦g : R→R dada pela seguinte equac¸˜ao para todo x ∈R: f ◦g(x) =f(g(x)) =f(2x+1) =4x+2. (7.7)

Uma vezque

g ◦f(0) =1 e f◦g(0) =2, segue que, g◦f�=f◦g. Portanto, a propriedade comutativa da composta de func¸˜oes n˜ao ´e v´alida.

Exemplo 7.3.

Sejam f -1,1] →R tal que f(x) =x 2 e g R →R dada pela equac¸˜ao teremos a func¸˜ao g ◦f :[-1,1] →R dada porquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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