[PDF] TD no 3 : Fonctions dune variable réelle

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L1 Parcours Sp´ecialMath´ematiques

TD n o

3 : Fonctions d'une variable r´eelle

Limites

Exercice

3.1 1. Soit x 0 R . Montrer que x x x0 x 0 , x 2 x x0 x 20 et 1 -1 x-----→x→+∞ 1 2.

Montrer que l'application

x cos( x ) n'admet pas de limite en +

Exercice

3.2

Soient

I un intervalle de R f une fonction de I dans R a

¯I et l ∈ R.

1.

Montrer que

f tend vers l en a si et seulement si l'une des assertions suivantes est v´eri fi

´ee :

0 0 x I, x a f x l (1) 0 0 x I, x a f x l 2(2) 0 0 x I, x a f x l (3) 2. Montrer que ce n'est pas le cas avec les assertions suivantes : 0 0 x I, x a f x l (4) 0 0 x I, x a f x l (5)

Exercice

3.3 Soit

0. Soit

f :]0 R une fonction qui tend vers en 0. Montrer qu'il existe

0 tel que

f x

0 pour tout

x ]0

Exercice

3.4 ´Etudier l'existence et, le cas ´ech´eant, la valeur des limites suivantes : 1 lim x 4 x 5 + 4 x 3 x 2 3 x 2 + 50 x2. limx→0 4 x 5 + 4 x 3 x 2 3 x 2 + 50 x3. limx→3 4 x 5 + 4 x 3 x 2 3 x 2 + 50 x 4 lim x 0 x 2 1 x 3 + 4 x 2 x5. limx→8 1 x

86. limx→0

x 2 x x 7 lim x x + 3 x 0 1 + x 2 x

Exercice

3.5

On note

E la fonction qui `a un r´eel x associe sa partie enti`ere ( E x ) est le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `a x 1. ´Etudier les limites ´eventuelles de E en 0, +∞ et -∞.

2.´Etudier la limite ´eventuelle en 0 de la fonction x �→ xE�

1 x

Exercice

3.6

Soient

f et g deux fonctions de R dans R . On suppose qu'il existe a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 R et deux fonctions 1 et 2 de R dans R tels que 1 et 2 tendent vers 0 en 0 et pour tout x R on a f x a 0 a 1 x a 2 x 2 x 2 1 x ) et g x b 0 b 1 x b 2 x 2 x 2 2 x 1.

Montrer qu'il existe

c 0 ,c 1 ,c 2 R et une fonction de R dans R qui tend vers 0 en 0 tels que pour tout x R f g x c 0 c 1 x c 2 x 2 x 2 x 2.

Mˆeme question en rempla¸cant

f g par fg Exercice 3.7. Soit f une fonction de R dans R. On suppose qu'il existe a 0 ,a 1 ,a 2 R et R R une fonction qui tend vers 0 en 0 tels que pour tout x R on a f x a 0 a 1 x a 2 x 2 x 2 x 1.

On suppose que

a 0 = 0. Montrer qu'il existe

0 tel que pour tout

x f x ) a mˆeme signe que aquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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