1 Géométrie analytique du plan PDF

CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE. PLAN. 1) Repères cartésiens du plan On fixe trois points non alignés O I

Géométrie analytique plan métrique

Produit scalaire de deux vecteurs - Vecteurs orthogonaux - Repère orthonormé. 2. Distance de deux points. 3. Equation normale d'une droite.

4. Géométrie analytique du plan

Deux droites du plan sont parallèles si les vecteurs directeurs sont colinéaires. Si ce n'est pas le cas elles sont sécantes (on dit aussi concourantes). Elles

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B) Géométrie analytique dans le plan (rappels)………………… page 9. 1) Repères du plan … 1) Points droites

1 Géométrie analytique du plan

GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN ET DE L'ESPACE. 1 Géométrie analytique du plan. 1. Coordonnées cartesiennes des points et des vecteurs du plan :.

Géométrie vectorielle et analytique dans le plan

5 févr. 2019 Géométrie vectorielle et analytique dans le plan. Plan vectoriel. Définition vecteur. Opérations sur les vecteurs. Colinéarité.

Les origines de notre enseignement de la géométrie analytique

Soit P un point du plan. Notons ei (i =1 2

GEOMETRIE ANALYTIQUE ET VECTORIELLE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ANALYTIQUE ET VECTORIELLE DANS LE PLAN. 1. Introduction. L'étude de la géométrie fit un grand pas en avant lorsqu'on constata que les points.

Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace

Définition On appelle traces d'une droite les points d'intersection de cette droite avec les plans de référence Oxy Oxz et Oyz. La plupart du temps

Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan

3Mstand/renf géométrie analytique. Exercice 3.1: Les équations suivantes sont-elles des équations développées de cercle ? Si oui préciser le centre et le

Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 S1 - UE TMB

Annee 2009-2010Responsable : Alessandra Frabetti

Automne 2010 http ://math.univ-lyon1.fr/frabetti/TMB/

GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN ET DE L'ESPACE

1 Geometrie analytique du plan

1.Coordonnees cartesiennes des points et des vecteurs du plan :

Repere cartesienouorthonormal direct (o.n.d.): (O;~;~) =- ~6 ~q

O, avec~?~etk~k=k~k= 1.

L'ensemblef~;~gforme unebasede l'espace vectoriel des vecteurs du plan appliques enO, donc tout vecteur

~v=!OPest combinaison lineaire de~et~. Coordonnees cartesiennes :P= (x;y)2R2()~v=!OP=x~+y~x y ou 8 :x=k!OP0k y=k!OP00k= longueur des projections orthogonales de~vdans les directions~et~:xy *~v q Oq P qP0qP00 Plan + repere cartesienR2, car tout pointPvecteur!OP= deux coordonneesxety.

Attention:Vecteur ane :!PQ=P+!OQ!OP=P+~u,

ou~u= (xQxP)~+ (yQyP)~q O1qP qQ H

HHY!PQ

H HHY~u2.Calcul vectoriel en coordonnees cartesiennes :si~v=x y ,~v0=x0 y 0 ett2R, alors addition:~v+~v0=x+x0 y+y0 , ex.1 2 +3 4 =4 6 produit par scalaire:t~v=tx ty , ex. 31 2 =3 6 produit scalaire:~v~v0=xx0+yy0, ex.2 3 1 2 =2 + 6 = 4 longueur:k~vk=px

2+y2, ex.

1 2 =p1 + 2 2=p5 vecteurs orthogonaux:~v?~v0,xx0+yy0= 0, ex.1 2 ?2 1 vecteurs paralleles:~vk~v0,x0=tx y

0=tyt6= 0,xx

0=yy

0, ex.1

2 k3 6 projection orthogonale: Pr~v(~v0) =x0x+y0yx

2+y2~v, ex. Pr~5

1 =51101

2+ 02~= 5~=5

0 1

3.Droite (ane): =n

P= (x;y)jax+by+c= 0o

avec (a;b)6= (0;0).

Sib6= 0 alorsy=ab

xcb =m x+poum= tan-6 p AK

Sia6= 0 alorsx=ba

yca

Attention: une droite est un espace vectoriel de dimension 1 si et seulement si elle passe parO, i.e.c= 0.

Vecteur directeurde =b

Vecteur orthogonalounormala =a

Droite passante parA= (a1;a2)et?~u=u1

u 2 :!AP~u= 0 n (x;y)ju1(xa1) +u2(ya2) = 0o ()u1x+u2y(u1a1+u2a2) = 0.AAK~u q A qP

Droite passante parA= (a1;a2)etk~v=v1

v 2 :!APk~v n

P= (x;y)j!OP=!OA+t~v; t2Ro

x=a1+tv1 y=a2+tv2eq. parametriquede parametret2R xa1v

1=ya2v

2eq. cartesienne

*~v q A qP Droite passante parA= (a1;a2)etB= (b1;b2) :!APk!AB n (x;y)jxa1b

1a1=ya2b

2a2oqA

q Bq

PPPPPPPPPPP

4.Distance: dist(P;P0) =k!PP0k=k!OP0!OPk=p(xx0)2+ (yy0)2.

SiP0est la projection orthogonale dePsur la droite , alors dist(P;) = dist(P;P0) =jax+by+cjpa

2+b2.q

P q P0

5.Aire du parallelogrammede sommetsA,B,C,D=j!AB!AD?j.

Si !AB=x y et!AD=x0 y 0 , alors!AD?=y0 x 0 et Aire =jxy0yx0j. PPPPP

PPPqAq

BqCq D

6.Conique= intersection d'un c^one de l'espace avec un plan :

C=n (x;y)jax2+bxy+cy2+dx+ey+f= 0o ou (a;b;c)6= (0;0;0).

Exemples :

Cercle: (xa)2+ (yb)2=r2, centre (a;b), rayonr.

Ellipse:x2a

2+y2b

2= 1, centre (0;0), axes~et~.

Hyperbole:x2a

2y2b

2= 1, centre (0;0), axes~et~, droites asymptotesy=ba

x, ou bien :y=ax , centre (0;0), droites asymptotes~et~, axes = bisectrices des quadrants.

Parabole:y=ax2+bx+c, axe~

ou bien :x=ay2+by+c, axe~. 2

2 Geometrie analytique de l'espace

1.Coordonnees cartesiennes des points et des vecteurs de l'espace :

Repere cartesienouorthonormal direct (o.n.d.)de l'espace : (O;~;~~k) =PPPq~ 1~6 ~k >q O, avec~?~?~k?~etk~k=k~k=k~kk= 1. L'ensemblef~;~;~kgforme unebasede l'espace vectoriel des vecteurs de l'espace appliques enO, donc tout vecteur~v=!OPest combinaison lineaire de~,~et~k.

Coordonnees cartesiennes :

P= (x;y;z)2R3()~v=!OP=x~+y~+z~k0

@x y z1 A ou 8 >:x=k!OP0k y=k!OP00k z=k!OP000k=quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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