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Géométrie dans l"espace: Exercices corrigésSeconde

Exercice 1Seconde/Espace/exo-016/texte

ABCDEFGHest un cube de4m de côté.IetJsont les milieux respectifs des segments[BF]et[AB]. A B E FCD GHI J

1.Que peut-on dire des droites(IJ)et(AF)? des longueursIJetAF? Justifier.

2.Trois fourmis se déplacent sur le cube afin d"effectuer le trajet deAversGsuivant les modalités suivantes :

n o1 :AI+IF+FG; n o2 :AF+FG; n o3 :AJ+JI+IG.

Calculer la distance exacte parcourue par chacune des fourmis puis endonner une valeur approchée arrondie au centimètre

près.

.On veillera à ne calculer que ce qui est nécessaire. Par exemple,on pourra remarquer queAI=IGet ainsi faire l"économie

du calcul deIG.

3.a) Réaliser un patron du cube à l"échelle1/200e.

b) En déduire la longueur du trajet le plus court pour aller deAàG.

Exercice 2Seconde/Espace/exo-049/texte

Une bobine de fil

1est enroulée autour de l"assemblage en bois d"un cylindre surmonté dedeux troncs de cône identiques

(figureb). Les troncs de cône sont obtenus en " coupant » un cône de génératriceSF= 13,5cm par un plan parallèle à sa

base (figurea).

1.Démontrer queSO= 8,1cm.

2.Calculer l"arrondi au degré de la mesure de l"angle"OSF.

3.Calculer le volumeV1, en cm3, du cône1de sommetSet de base le disque de rayon[OF].

On donnera un résultat exact en fonction deπ.

4.a) En remarquant que(IE)est parallèle à(OF), montrer queIE= 4,8cm.

b) En déduire le volumeV2, en cm3, du cône2de sommetSet de base le disque de rayon[IE]. On donnera un résultat exact en fonction deπ.

5.Montrer que le volume exact du tronc de cône estV= 287,28πcm3.

En déduire, au cm

3près, le volume de bois nécessaire à la réalisation d"une bobine.

1. D"après une idée originale de Sésamath

Géométrie dans l"espace: Exercices corrigésSeconde

Exercice 3Seconde/Espace/exo-050/texte

Sur la figure ci-contre, on a représenté en perspective cavalièreune pyramide à base carréeSABCDde hauteur[SA]. Le triangleSABest rectangle enA,AB= 9cm etSA= 12cm. EFGHest la section de la pyramideSABCDpar le plan parallèle à la base et telle queSE= 4cm

1.Donner la liste des segments qui devraient être représentés enpointillés sur la figure.

2.a) CalculerSB.

b) Démontrer queEF= 3cm.

3.Calculer le volume du tronc de pyramideABCDEFGH.

.On rappelle que le volume d"une pyramide est donné parV=13×B×h oùBethdésignent respectivement l"aire de la base et la hauteur de la pyramide. A BC D S EFGH Géométrie dans l"espace: Exercices corrigésSeconde

Exercice 1Seconde/Espace/exo-016/corrige

1.Théorème de la droite des milieux : Si un segment a pour extrémitésles milieux de deux des trois côtés d"un triangle

alors il est parallèle au troisième côté et sa longueur est égale à la moitiéde celle de ce troisième côté.

Dans le triangleABF,Iest le milieu de[BF]etJle milieu de[AB]donc les droites(IJ)et(AF)sont parallèles et

IJ=AF 2.

2.En appliquant le théorème de Pythagore dans les trianglesABIetABFtous deux rectangles enB, il vient :

AI

2=AB2+BI2

= 4 2+ 22 = 16 + 4 = 20

AF2=AB2+BF2

= 4 2+ 42 = 16 + 16 = 32 CommeAI?0, on aAI=⎷20soit encoreAI= 2⎷5.

CommeAF?0, on aAF=⎷

32soit encoreAF= 4⎷2.

Par ailleurs,IJ=AF

2doncIJ= 2⎷2.

•Longueur du trajet de la fourmi no1 :

AI+IF+FG= 2⎷

5 + 2 + 4

= 2⎷ 5 + 6 ≈10,47 soit environ10,47m à1cm près. •Longueur du trajet de la fourmi no2 :

AF+FG= 4⎷

2 + 4 ≈9,66 soit environ9,66m à1cm près. •Longueur du trajet de la fourmi no3 :

AJ+JI+IG= 2 + 2⎷

2 + 2⎷5

≈9,30 soit environ9,30m à1cm près.

3.a) Le patron est à l"échelle1/200esi, et seulement si, chaque arête du cube mesure2cm sur celui-ci.

A B E FCD GHIJ

b) En réalisant le patron, on constate que le trajet le plus court (lignedroite) pour aller deAàGest le trajet "A-I-G»

de longueurAI+IG.

AI+IG= 2⎷

5 + 2⎷5

= 4⎷ 5 ≈8,94 soit environ8,94m à1cm près.

Exercice 2Seconde/Espace/exo-049/corrige

1.En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangleSOFrectangle enO, on obtient :

Géométrie dans l"espace: Exercices corrigésSeconde

SO2=SF2-OF2

= 13,52-10,82 = 182,25-116,64 = 65,61

Or,SO?0doncSO=⎷

65,61 = 8,1.

Conclusion :SO= 8,1cm.

2.Dans le triangleSOFrectangle enO:

sin "OSF=OF SF =10,8 13,5 = 0,8 donc "OSF= arcsin0,8et, à l"aide de la calculatrice, on obtient"OSF≈53◦(à1◦près).

3.V1=1

3×π×OF2×OS

1

3×π×10,82×8,1

= 314,928π

Conclusion :V1= 314,928πcm3

4.a)(IE)est parallèle à(OF)car ces droites sont toutes deux parallèles à(OS).

Par ailleurs, les droites(IO)et(EF)sont sécantes enSdonc, d"après le théorème de Thalès :

SI

SO=SESF=IEOF

L"égalité entre le premier et le troisième rapport permet d"obtenir :

IE=OF×SI

SO =10,8×(8,1-4,5) 8,1 = 4,8

Conclusion :IE= 4,8cm.

b)V2=1

3×π×IE2×SI

1

3×π×4,82×(8,1-4,5)

= 27,648π

Conclusion :V2= 27,648πcm3

5.V=V1-V2

= 314,928π-27,648π = 287,28π Conclusion : Le volume exact du tronc de cône estV= 287,28πcm3.

La bobine est constituée de deux troncs de cône identiques et d"uncylindre de hauteur10cm et de base le disque de rayon

[IE]. Le volume de bois nécessaire à la réalisation d"une bobine est donc donné, en cm3, par :

V b= 2×V+π×IE2×10 = 2×287,28π+ 230,4π = 804,96π doncVb≈2529cm3(à1cm3près).

Exercice 3Seconde/Espace/exo-050/corrige

1.Les segments qui devraient être représentés en pointillés sur la figure sont[DA],[DC],[DS],[EH]et[HG].

A BC D S EFGH Géométrie dans l"espace: Exercices corrigésSeconde

2.a) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangleSAB, rectangle enA, on obtient :

SB

2=SA2+AB2

= 12 2+ 92 = 144 + 81 = 225

Or,SB?0doncSB=⎷

225 = 15.

Conclusion :SB= 15cm.

b) Les droites(EF)et(AB)sont parallèles et les droites(AE)et(BF)sont sécantes enSdonc, d"après le théorème de

Thalès :SE

SA=SFSB=EFAB

L"égalité entre le premier et le troisième rapport permet d"obtenir :

EF=AB×SE

SA =9×4 12= 3

Conclusion :EF= 3cm.

3.NotonsVle volume du tronc de pyramideABCDEFGH.

Méthode1:

V=VSABCD-VSEFGH

=1

3×AABCD×SA-13×AEFGH×SE

1

3×AB2×SA-13×EF2×SE

1

3×92×12-13×32×4

= 324-12 = 312

Méthode2:

La pyramideSEFGHest une réduction de la pyramideSABCDet le coefficient de réduction correspondant est13.

Ainsi :VSEFGH=Å1

3ã 4

×VSABCD

1

27×VSABCD

donc :V=VSABCD-VSEFGH =VSABCD-1

27×VSABCD

=Å27

27-127ã

×VSABCD

26

27×13×AABCD×SA

26

27×13×92×12

= 312 Conclusion : Le volume du tronc de pyramideABCDEFGHest312cm3.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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