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Théorie du consommateur

Edmond Baranes

Microéconomie

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 1 / 38

Plan du cours

Chapitre1:La théorie du consommateur (compléments)

Chapitre 2 :Optimum et équilibre général

Chapitre 3 :Externalités et biens publics

Chapitre 4 :Microéconomie de l"incertain

Chapitre 5 :Concurrence imparfaiteUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 2 / 38

Quelques références

Varian H.,Analyse microéconomique, De Boeck, 2008 Varian H.,Introduction à la micréconomie, de Boeck, 2006

Mas Colell, Whinston et Green,Microeconomic theory, 1995Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 3 / 38

Plan du chapitre

1. Rappels sur l"équilibre du consommateur

2. La dualité

3. Equations de SLUTSKY

4. Les variations de Bien-Etre

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 4 / 38

1. Rappels sur l"équilibre du consommateur : La fonction

d"utilitéFonction d"utilité :u(x) = (x1,x2,...xi..xn)

Taux Marginal de Substitution :

dxjdx j=∂u(x)∂xi∂u(x)∂xj Transformation monotone (croissante) deu(avec(v(u)) alors le TMS est inchangé : dx jdx j=v

0(u)∂u(x)∂xiv

0(u)∂u(x)∂xj=∂u(x)∂xi∂u(x)∂xjUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 5 / 38

Le comportement du consommateur

Vecteur de consommation :x= (x1,x2...xi...xn)

Vecteur de prix :p= (p1,p2,...pi...pn)

Ensemble budgétaire :B=fx2X,pxRg, oùRest le revenu du consommateur

Le programme de maximisation :

maxu(x) s.c.pxR x2X

Le Lagrangien :

maxx,λL=u(x)λ(pxR)

Les demandes marshaliennes :xi=xi(p,R)avecx=x(p,R)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 6 / 38

Le cas 2 biens

∂u(x)∂xi∂u(x)∂xj= pip

jpouri,j=1,...,nUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 7 / 38

La fonction d"utilité indirecte

v(p,R) =u(x(p,R)) Les propriétés de la fonction d"utilité indirecte :

1.v(p,R)est non croissante par rapport àpet non décroissante par

rapport àR sip0palorsv(p0,R)v(p,R)

2.v(p,R)est homogène de degré 0 par rapport à(p,R)

si8t>0 on av(tp,tR) =t0v(p,R) =v(p,R)

3.v(p,R)est quasi-convexe par rapport àp

4.v(p,R)est continue8p>>0 etR>0

Rq : on peut inverserv(p,R)par rapport àRet donc exprimerRen

fonction du niveau d"utilité ==>fonction de dépensee(p,u)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 8 / 38

2. La dualité

La fonction de dépense

Coût minimum pour atteindre un niveau d"utilitéu: e(p,u) =minpx tel queu(x)u Les demandes hicksiennes (ou demandes compensées) : h

i=hi(p,u)eth=h(p,u) = (h1,...,hn)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 9 / 38

Les propriétés de la fonction de dépense :

1.e(p,u)est non décroissante par rapport àp

2.e(p,u)est homogène de degré 1 par rapport àp

3.e(p,u)est concave par rapport àp

4.e(p,u)est continue par rapport àp,8p>>0

5.h(p,u)est tel quehi(p,u) =∂e(p,u)∂pipouri=1...nUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 10 / 38

Conséquence :

La matrice des termes (de substitution)(∂hi(p,u)/∂pj) =∂2e(p,u)∂pi∂pjest symétrique, semi-dé...nie négative ==>Les demandes hicksiennes sont décroissantes par rapport au prix : ∂hi(p,u)∂pi=∂2e(p,u)∂p2i0 Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 11 / 38

Le cas 2 biens

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 12 / 38

Les identités importantes

Entre fonction de dépense, fonction d"utilité indirecte, demandes marchaliennes et demandes hicksiennes

Maximisation de l"utilité :

v(p,R) =maxu(x) s.c.pxR

Minimisation de la dépense :

e(p,u) =minpx

s.c.u(x)uUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 13 / 38

Les 4 identités

1.e(p,v(p,R))R: la dépense minimum nécessaire pour atteindre

l"utilitév(p,R)estR

2.v(p,e(p,u))u

3.xi(p,R)hi(p,v(p,R)): la demande marshalienne pour le revenuR

est égale à la demande hicksienne pour l"utilitév(p,R)

4.hi(p,u)xi(p,e(p,u))Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 14 / 38

L"identité de ROY

Soitx(p,R)la fonction de demande marshalienne alors, x

i(p,R) =∂v(p,R)∂pi∂v(p,R)∂R8i=1,...,net∂v(p,R)∂R6=0Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 15 / 38

Preuve:

Supposons quex(p,R)h(p,u)

D"après l"Identité 2 on a :uv(p,e(p,u))

En dérivant par rapport àpion a :

∂v(p,R)∂pi+∂v(p,R)∂R∂e(p,u)∂pi=0 qui se réécrit :

∂e(p,u)∂pi=∂v(p,R)/∂pi∂v(p,R)/∂R=hi(p,u)xi(p,R)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 16 / 38

Exemple d"application : Cobb-Douglas

U(x1,x2) =xα1x1α2==>u(x1,x2) =α.Ln(x1)+(1α).Ln(x2)

L(x1,x2,λ) =u(x1,x2)λ(p1x1+p2x2R)

Conditions de premier ordre (cso véri...ées) : αx

1λp1=0 et1αx

2λp2=0

d"où αp

1x1=1αp

2x2et avecp1x1+p2x2=RUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 17 / 38

Exemple d"application : Cobb-Douglas

on a : x

1=x1(p,R) =αRp

1etx2=x2(p,R) =(1α)Rp

2 v(p,R) =Ln(R)αLn(p1)(1α)Ln(p2)

==>V(p,R) =R/(pα1p1α2)uUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 18 / 38

Exemple d"application : Cobb-Douglas

En inversant la fonction d"utilité indirecte on obtient : R/(pα1.p1α2) =u,R=u.pα1.p1α2,e(p,u) =u.pα1.p1α2 d"où les demandes hicksiennes : h

1=h1(p,u) =∂e(p,u)∂p1=u.α.pα11.p1α2=u.α.p2p

1 1α h

2=h2(p,u) =∂e(p,u)∂p2=u.(1α).pα1.pα2=u.(1α).p1p

2 αUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 19 / 38

3. Equations de SLUTSKY

Statique comparative du comportement du consommateur =>modi...cation de la demande lorsque les prix et le revenu varient ? =>Décomposition de Hicks (ES - ER) : ES à utilité constante Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 20 / 38

Comportement du consommateur au voisinage de

l"équilibreVecteur des demandes marshaliennes :x=x(p,R) dx =∂x∂pdp+∂x∂RdR

avecR=pxd"où :dR=p0dx+x0dpUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 21 / 38

En substituant :

dx =∂x∂pdp+∂x∂R(p0dx+x0dp) =∂x∂p+∂x∂Rx0 dp+∂x∂Rp0dx=S.dp+∂x∂Rp0dx oùSmatrice de Slutsky,∂x∂Rvecteur des ER etp0dxvar. revenu réel Si var. du revenu réel nulle (p0dx=0) :dx=S.dp)S=dxdp p0dx=0Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 22 / 38

Le cas 2 biens

Le système des équations de Slutsky est :

dx1dx2 =2 6

4∂x1∂p1+∂x1∂Rx1∂x1∂p2+∂x1∂Rx2

∂x2∂p1+∂x2∂Rx1∂x2∂p2+∂x1∂Rx23 7 5dp1 dp 2 Equation de Slutsky pour le bien 2 et une variation dep1: dx 2dp 1 p0dx=0=∂x2∂p1+∂x2∂R.x1(p,R) qui se réécrit : ∂x2(p,R)∂p1=∂h2(p,v(p,R))∂p1|{z}

ES (<0)

∂x2(p,R)∂R.x1(p,R) |{z}

ER (>0 six2est un bien normal)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 23 / 38

Illustration graphique

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 24 / 38

Exemple Cobb-Douglas : variation du prix bien 1

u(x1,x2) =xα1x1α2on a :8 >>>:v(p,R) =R.pα1.pα12) e(p,u) =u.pα1.p1α2 x

1(p,R) =αRp

1h

1(p,u) =u.α.p1α2.pa11∂x1(p,R)∂p1=αRp

21
∂h1(p,v(p,R))∂p1=α(α1)pα21p1α2.(R.pα1.pα12) =α(α1)p21.R ∂x1(p,R)∂R.x1(p,R) =αp

1αRp

1 ∂h1(p,v(p,R))∂p1∂x1(p,R)∂R.x1(p,R) =αRp

21=∂x1(p,R)∂p1

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 25 / 38

Introduction des dotations

Vecteur des dotations :ω= (ω1,...,ωn)avecp.ωR

Demandes marshaliennes :x=x(p,pω)

Demande nette en bieni:xiωi?0

dx i(p,pω)dp j=∂xi(p,pω)∂pj

pω=cst+∂xi(p,pω)∂R.ωjUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 26 / 38

Or, : ∂xi(p,pω)∂pj pω=cst=∂hi∂pj∂xi∂R.xj(p,R)(Equation de Slutsky)

On obtient :

dx i(p,pω)dp

j=∂hi∂pj+∂xi(p,pω)∂R.(ωjxj)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 27 / 38

4. Les variations de Bien-Etre du consommateur

Rappel :Le Surplus du consommateur

SC=Rp1

p

0x(p)dpavecp0>p1

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 28 / 38

Rappel :

Identité de Roy :x(p,R) =∂v(p,R)∂pi∂v(p,R)∂R avec ∂v(p,R)∂R=λ(Um du revenu) d"où :x(p,R) =1λ .∂v(p,R)∂piet en insérant dansSC:

SC=1λ

R p1 p

0∂v(p,R)∂pidp

=1λ [v(p,R)]p1 p

0=1λ

v(p1,R)v(p0,R) Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 29 / 38 Equivalent monétaire de la fonction d"utilité La fonction d"utilité en équivalent monétaire :

R(p,x)e(p,u(x)) =minp.z

s.c.u(z)u(x) Pourpdonné,R(p,x)est une transformation croissante de la fonction d"utilité La fonction d"utilité indirecte en équivalent monétaire :

μ(p;q,R)e(p;v(q,R)) =minp.z

s.c.u(z)v(q,R) oùμ(p;q,R)est la somme qu"il serait nécessaire au prixppour avoir le

même niveau de satisfaction qu"avec le prixqet le revenuRUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 30 / 38

Application Cobb-Douglas : cas 2 biens

Fonction de dépense :e(p1,p2,u) =pα1p1α2.u d"où :

R(p,x) =pα1p1α2.u(x1,x2)

=pα1p1α2.xα1,x1α2

Fonction d"utilité indirecte :v(p1,p2,R) =Rp

α1p1α2d"où :

μ(p;q,R) =pα1p1α2.v(q1,q2,R)

=pα1p1α2.qα1,qα12.RUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 31 / 38

Variation Equivalente et Variation Compensatoire

On considère 2 budgets :(p0,R0)et(p1,R1)

On pose :u0v(p0,R0)etu1v(p1,R1)

Objectif : mesurer en équivalent monétaire la perte/le gain en utilité

Variation Equivalente :

VE=μ(p0;p1,R1)μ(p0;p0,R0)

=e(p0;u1)e(p0;u0) =e(p0;u1)R0 Interprétation :si on donne au consommateur le revenuR+VE(au lieu

deR), les prix étantp0, il obtient l"utilitév(p1,R1)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 32 / 38

Variation Equivalente et Variation Compensatoire

Variation Compensatoire :

VC=μ(p1;p1,R1)μ(p1;p0,R0)

=e(p1;u1)e(p1;u0) =R1e(p1;u0) Interprétation :si on donne au consommateur le revenuR1VC(au

lieu deR1), les prix étantp1, il obtient l"utilitév(p0,R0)Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 33 / 38

Illustration graphique

Cas baisse du prix du bien 1

Variation Equivalente Variation Compensatoire

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 34 / 38 Variation Compensatoire, Variation Equivalente et Surplus du consommateur (1)On suppose que seul le prix du bien 1 varie dep0àp1et que le revenu reste constantR=R0=R1

On a alors :

VE=e(p0;u1)e(p0;u0)|{z}

R

0=R=e(p0;u1)e(p1;u1)|{z}

R 1=R =Rp0 p

1h(p,u1)dpetVC=e(p1;u1)|{z}

R

1=Re(p1;u0)

=e(p0;u0)|{z} R

0=Re(p1;u0)

Rp0 p

1h(p,u0)dp

Ici :p0>p1)u0

VE=Rp0

p

1h(p,u1)dp>VC=Rp0

p

1h(p,u0)dpUniversité de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 35 / 38

Variation Compensatoir, Variation Equivalente et Surplus du consommateur (2)L"équation de Slutsky donne : ∂h(p,u)∂p=∂x(p,R)∂p+∂x(p,R)∂R.x(p,R) Dans le cas d"un bien normal (∂x(p,R)/∂R>0), on a donc : ∂h(p,u)∂p>∂x(p,R)∂p avec :

h(p,u0) Variation Compensatoire, Variation Equivalente et Surplus du consommateur (3) Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 37 / 38

A savoir....

Programme du consommateur et demandes marshaliennes Programme dual et les identités importantes (dont identité de Roy)

Equations de Slutsky

Variations de Bien-Etre : VA, VC et SC

Université de Montpellier, Licence 2 ()Théorie du consommateurMicroéconomie 38 / 38quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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