[PDF] Sur le déferlement des vagues

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Pomeau Y.

1, Le Bars M.2, Le Gal P.2, Jamin T.2, Le Berre M.3, Guyenne Ph.4, Grilli S.5& Audoly B.6

1 Los Alamos National Lab, CNLS, Los Alamos, NM 87545, USA

2IRPHE, 49 rue F. Joliot Curie, 13384 Marseille

4Department of Mathematics, University of Delaware, Newark DE 19716-2553, USA

5Department of Ocean Engineering, University of Rhode Island, Narragansett, RI 02882, USA

legal@irphe.univ-mrs.fr par un batteur et se propagent sur un fond horizontal.

Abstract.

Wave breaking can be seen as the manifestation of a singularity in the solution of the equations for the

dynamics of the °uid surface. The analysis of the scaling laws coming from the appearance of this singularity in a

single spatial dimension is known. These results are ¯rst extended by a theoretical analysis of the two-dimensional

Burgers equation then of the shallow water equations. From the onset of breaking (t=0) the crest of the wave

extends laterally ast1=2together with the thickness of the wave that grows ast3=2. This generic behavior is

deduced from pure geometrical considerations and leads to a description of the dynamics of the breaking where

non linear e®ects are dominant. Our theoretical predictions are then con¯rmed by numerical simulations of the

3D Euler equations for the case of waves that break on an inclined bottom and by an experimental study where

waves are generated by a wave maker and progress on an horizontal bottom.

1 Introduction

seule dimension d'espacex:@u @t +u@u @x = 0:(1) u(x;t) =u0(x¡ut);(2)

2 Pomeau Y. & al.

f(u(x;t)) =x¡ut;(3)

appara^³t dans le temps, se manifeste au point d'in°exion deu(x;t). Ainsi, au voisinage de ce point - que

0 =u3+x¡ut:(4)

t surface libre d'un °uide. @u @t +u@u @x +v@u @y = 0;(5) et @v @t +u@v @x +v@v @y = 0:(6) du cas uni-dimensionnel (3) : x¡tu(x;y;t) =F(u;v);(7) et y¡tv(x;y;t) =G(u;v):(8)

J(t) =µ@G

@v @u

¡@G

@u @F @v :(9)

J(t) =at+bu2+cv2+ 2duv+:::;(10)

@u = 0,@F @v = 0 et@G @u = 0 pouru=v=t= 0. Ceci

0 =u3+x¡u(t¡y2):(11)

4 Pomeau Y. & al.

selon l'axey, c'est-µa-dire le long de la cr^ete des vagues, enp des vagues en eau peu profonde.

Plut^ot que de ¯lmer des vagues le long d'une plage, a¯n de mieux contr^oler les paramµetres du

2m 1.4 m

0.5 mFlat transparent platea)

b) Wave maker Foam

Screen

Lamp

45° Mirror

High speed camera

Foam xy rapide. a) b) c) d'observation est de 32.5 cmx32.5 cm. a)

X (cm)

Y (cm)

24681012140

4 8 12 16 20 24
28
32
b)

101102103

101
102

Time (a.u.)

Y - Y0 (a.u.)

Slope = 1/2

portionnel au temps. La profondeur de la couche d'eau est de 17:4mmet la hauteur de la vague est 8mm. b)

t. en eau peu profonde. Les vagues se propagent vers lesxpositifs et la hauteur d'eauz=¡h0est tout

une pente de 1=5 dans la partie centrale et une modulation transverse de formesech2(ky) (les variables

h

0=g). Avec un tel fond, la

6 Pomeau Y. & al.

a) b) a)00.20.40.60.811.21.41.61.820 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t1/2 t

Δ yB

Elargissement lateral

b)

00.20.40.60.811.21.41.61.820

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t3/2 t

Δ xB

Epaisseur longitudinale

5 Conclusion

1. 2. Ya.B. Zel'dovich, Astrophysics,6(1970), pp 319-335. 3. Y. Pomeau, T. Jamin, M. Le Bars, P. Le Gal and B. Audoly, Law of Spreading of the crest of a 4. Y. Pomeau, M. Le Berre, P. Guyenne and S.T. Grilli, Wave breaking and generic singularities of nonlinear hyperbolic equations, (preprint, 2008). 5. P. Guyenne and S.T. Grilli, Numerical study of three-dimensionnal overtuning waves in shallow water,

Journal of Fluid Mech.,547, 361-388 (2006).

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