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Chapitre II La théorie de la production et des coûts
Définition : Une fonction de production est une fonction f : ?l ? ? telle que b1) la fonction de demande conditionnelle du facteur r. Alors.
La minimisation du coût
Mar 27 2019 Les demandes conditionnelles des facteurs dépendent des paramètres du modèle. ... des coûts nous obtenons la fonction de coût:.
La minimisation du coût
Les solutions x1 et x2 sont appelé demande conditionnelle des facteur car conditionnels dans l'expression des coûts nous obtenons la fonction de coût:.
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La théorie de la production La production dune entreprise dune
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Synthèse de Microéconomie
6.5 Chemin d'expansion du prix et courbe de demande . Ce sont les fonctions de demande conditionnelle de facteurs. À ne surtout pas confondre avec les ...
1 Problème de minimisation du coût : une application numérique
1 Pour rappel la fonction de demande conditionnelle d'un input est obtenue par la minimisation du coût sous contrainte d'un certain niveau de production cible La maximisation du pro t permet quant à elle d'obtenir les fonctions de demande inconditionnelles de facteurs Par ailleurs une fonction est
TD 2 - Le choix du producteur - Paris School of Economics
En déduire les demandes conditionnelles1 de facteurs K(wrY ) et L(wrY ) 4 Dans le plan (KL) et à l’aide d’une isoquante et de lignes d’isocoût représenter graphiquement la manière dont s’opère le choix du producteur 5 Utiliser les demandes inconditionnelles de facteurs pour calculer la fonction de coût
DM 2 : Théorie du producteur - Paris School of Economics
2) qui a généré la fonction de pro t d'intérêt Nous allons essayer de voir ce que nous pouvons dire de cette fonction à partir de la seule connaissance de la forme de la fonction de pro t 3 Écrivez la fonction de pro t à partir de la fonction de production et des demandes de facteurs
Qu'est-ce que la fonction de demande conditionnelle d'un input?
1 Pour rappel, la fonction de demande conditionnelle d'un input est obtenue par la minimisation du coût sous contrainte d'un certain niveau de production cible. La maximisation du pro t permet quant à elle d'obtenir les fonctions de demande inconditionnelles de facteurs. Par ailleurs, une fonction est
Quels sont les facteurs déterminants de la demande ?
Quels sont les facteurs déterminants de la demande? Certains des déterminants de la demande ce sont le prix du produit, le revenu du consommateur, le prix des biens ou services complémentaires, le prix des produits de substitution ou le goût du consommateur, entre autres.
Quels sont les facteurs qui influencent la prévision de la demande?
Les autres facteurs qui influent sur la prévision de la demande découlent de contraintes d’exploitation liées à l’approvisionnement ainsi qu’au transport et à la distribution d’électricité. Hydro?Québec utilise avec rigueur ses différents moyens de gestion de la demande, dont la tarification dynamique.
Qu'est-ce que la fonction de demande?
A- La définition de la fonction de demande . La théorie microéconomique traditionnelle définit la fonction de demande comme étant la relation entre la quantité optimale demandée d'un bien et les valeurs possibles des variables qui la déterminent.
La minimisation du coût
Leçon III
(Varian Ch. 4)Federico Trionfetti
Aix-Marseille Université
Faculté d"Economie et Gestion
Aix-Marseille School of Economics
March 27, 2019
Table des matières
1L"objectif de recherche
2Minimisation du coût
Méthode mathématique
Représentation graphique
3Exemples
Cobb-Douglas
Leontief
C.E.S.
4Prix des facteurs et intensité factorielle optimale
Taux de substitution
Élasticité de substitution
5Prix des facteurs et part dans le coût total
Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 2 / 37
L"objectif de recherche
L"objectif de recherche
L"objectif est d"étudier le choix d"une firme qui désire minimiser le coût de production pour une quantité d"output donnée. Nous faisons cela pour deux raisons: premièrement, nous étudions un comportement que nous comparerons avec la celui de la maximisation du profit; deuxièmement, nous étudions un comportement qui est indépendant du comportement en matière de prix (status deprice takerouprice maker) car le prix de l"output ne joue aucun rôle dans la minimisation du coût.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 3 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Minimisation du coût
Le coût de production est:
w1x1w2x2(1)
L"objectif de l"entreprise est de minimiser les coûts pour un niveau de production donné: minimiser x1;x2pw1x1w2x2q;tel quefpxq y:(2) L"équationfpxq yest appelécontrainteet le problème ci-dessus s"appelle problème de minimisation sous contrainte. Pour résoudre ce problème nous utilisons la méthode de Lagrange. Cette méthode consiste à max- imiser sans contrainte une fonction appelée fonction lagrangienne ou sim- plement le lagrangien.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 4 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Le lagrangien du problème de minimisation est:
Lw1x1w2x2pfpxq yq;(3)
où la variableprend le nome de multiplicateur de Lagrange. Minimisons le lagrangien en égalisant à zéro les dérivées par rapport àx1,x2, et:BLBx10ùñw1BfpxqBx10(4)
BLBx20ùñw2BfpxqBx20(5)
BLB0ùñfpxq y0:(6)
Ce système d"équations prend le nom decondition du premier ordre de la minimisation du coût.11 Ce système constitue une condition nécessaire mais pas suffisante pour la min- imisation du coût. Nous n"aborderons pas les conditions suffisantes (dites conditions du second ordre). Nous nous limitons à faire l"hypothèse qu"elles soient satisfaite.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 5 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Comme d"habitude nous marquons avec un"astérisque les solutions des conditions du premier ordre :x1,x2et. Les solutionsx1etx2sont appelédemande conditionnelle des facteurcar elles expriment la quantité demandée de chaque facteur, conditionnelle à la production d"un niveau d"output égal àyet conditionnelle à dépenser le moins possible. Les demandes conditionnelles des facteurs dépendent des paramètres du modèle. Pour remarquer ce fait nous écrirons souvent x1pw1;w2;yq, etx2pw1;w2;yq.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 6 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Étant donné que le problème de la minimisation des coûts ne contient pas le prix de l"outputp, le comportement de minimisation des coûts est indépendant du comportement de l"entreprise en matière de prix. En remplaçant les demandes de facteurs conditionnels dans l"expression des coûts nous obtenons lafonction de coût: c w1x1pw1;w2;yq w2x2pw1;w2;yq(7) Vous voyez que le coût dépend, in fine, seulement des prix des facteurs et de la quantité d"output que la firme veut produire.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 7 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Quelque définition.Je réécris ici lafonction de coût: c w1x1pw1;w2;yq w2x2pw1;w2;yq Voici quelque définition importante.Definition 1Coût marginal :
BcBy (8)Coût moyen : cy (9)l"inputxidans le coût totale : w ixic ; i1;2:(10)Les fonctions à rendement d"échelle constant ont la propriété que le coût marginal est égale au coût moyen.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 8 / 37
Minimisation du coûtMéthode mathématique
Interprétation des conditions du premier ordre.Les conditions du premier ordre de la minimisation du coût ont une interprétation économique intéressante. Si nous divisonsBL{Bx1parBL{Bx2nous obtenons w1w2loomoon
T.S.É.
Bfpxq{Bx1Bfpxq{Bx2(11)
Le terme sur la gauche représente le taux auquel un facteur doit se sub- stituer à l"autre pour que le coût reste constant. On peut donc l"appeler Taux de Substitution ÉconomiqueouT.S.É.Puisque l"équation (11) est tirée des conditions de minimisation du coût on peut en conclure que si elle est satisfaite alors le coût est minimisé. Elle est donc une condition suffisante pour la minimisation du coût. Son interprétation économique est que si la productivité marginale relative d"un facteur est égale au prix relatif de ce même facteur (et que, bien évidemment, l"output est égaleày) alors le coût est minimisé.
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Minimisation du coûtMéthode mathématique
Rappelons-nous que le prix sont des données pour l"entreprise; donc pour minimiser le coût l"entreprise devra trouver les quantité d"inputs telles que la productivité marginale relative soit égale au prix relatif (et, bien évidemment, telles que l"output soit égale ày). Il est intéressant de remarqué ce qui suit. Reprenons la définition duTSTdéjà étudié dans la leçon I :
TSTdx2dx
1Isoquant
Rappelons-nous que les exercices sur leTST(exercices sur la leçon I) nous ont fait remarquer que leTSTest aussi égale au ratio des pro- ductivité marginales. Il en suit que l"équation (11) peut s"interpréter ainsi: w1w2loomoon
T.S.É.
Bfpxq{Bx1Bfpxq{Bx2loooooomoooooon
TST dx2dx 1Isoquantloooooomoooooon
TST(12)
Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 10 / 37
Minimisation du coûtReprésentation graphique Représentation graphique de la minimisation du coût.Nous connaissons déjà la représentation graphique de l"isoquant. Nous savons que graphiquement leTSTest représenté par la pente de l"isoquant car le TST est la dérivée de l"isoquant. Le coût de production (avant optimisation),c, estcw1x1w2x2. Nous pouvons donner une représentation graphique à cette formule. Pour ce faire nous devons d"abord l"écrire de manière à pouvoir la représenter dans le système cartésien. Nous la réécrivons ainsi: x 2cw 2w1w2x1(13)
Sur un système de coordonnées cartésien l"expression (13) est une ligne droite dont la pente estw1w2.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 11 / 37
Minimisation du coûtReprésentation graphique Le cas des fonctionslissescomme la Cobb-Douglas ou la C.E.S.(a)Droites d ecoût (b)Choix o ptimaleFigure 1
Choix minimisan tedu coût p ourdes fonctions lisses.Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 12 / 37
Minimisation du coûtReprésentation graphique Le cas de la Leontief(a)Droites d ecoût (b)Choix o ptimaleFigure 2
Choix minimisan tedu coût p ourla Leon tief.
Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 13 / 37
ExemplesCobb-Douglas
Examples
Example 1
Cobb-Douglas.
minimiser x1;x2pw1x1w2x2qtel quepx1q1px2q11y:(14)Lagrangien:Lw1x1w2x2px1q1px2q11y
:(15)Les conditions du premier ordre sont:
BLBx10ùñw11x11
1x112(16)
BLBx20ùñw2p11qx11x12(17)
BLB0ùñ px1q1px2q11y(18)Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 14 / 37
ExemplesCobb-Douglas
Pour résoudre les conditions du premier ordre on procède ainsi:1Résolvez l"équation (18) pourx1. Vous obtenezx1yx
11 2 11.2Substituez lex1ainsi obtenu à la place dex1dans l"équation (17)
et résolvez pourx2. Vous obtenezx2p11qy{w2.3Substituez lex2ainsi obtenu dans lex1que vous avez obtenu au
point 1 ci-dessus. Vous obtenezx1yrp11q{w2sp11q{1.4Substituez lex2obtenue au point 2 et lex1obtenu au point 3 dans
l"équation (16) et résolvez pour. Vous obtenez. CDw1 1 1w211 11 (19)5SubstituezCDdans lex1obtenu au point 3 ci-dessus et dans le x2obtenu au point 2 ci-dessus. Vous obtenez
x 1w21w 1p11q11y et x
2w1p11qw
211y(20)Federico Trionfetti (Aix-Marseille Université Faculté d"Economie et Gestion Aix-Marseille School of Economics)La minimisation du coûtMarch 27, 2019 15 / 37
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