[PDF] France métropolitaine 2017. Enseignement spécifique

View - Download France métropolitaine 2017. Enseignement spécifique

Previous PDF

Next PDF

Francemétropolit aine2017.Enseignementspécifique EXERCICE4(5points)(ca ndi datsn' ayantpassuivil'en seignementdespécialit é)

Onét udieunmodèledepro pagati ond'unvirusdansun epopul ation,semainea prèssemaine.Chaquein dividudela

populationpeutêtre,àl'exclus iondetout eautrepossibilité: •soitsuscept ibled'êtreatteintparlevirus, ondiraqu'ilest"d ety peS»; •soitmalade (atteintparleviru s); •soitimmuni sé(nepeutplusêtreatte intparlev irus).

Unin dividuestimmunisélorsqu 'ilaétévac ciné,oulorsqu'ilag uér iaprèsavoirétéat teintparlevirus.

Pourtouten tiernatureln,lemodèledepropagationduvirusestdéfiniparlesrèglessuivantes: •Parmilesindi vidusdety peSensemainen,onobservequ'ensemainen+1:85%restentdetypeS, •Parmilesindiv idusmalad esensemainen,onobservequ'ensemainen+1:65%restentmalades,et35%sont guérisetdevie nnenti mmunisés. •Toutindivi duimmuniséensemainenresteimmunis éensemainen+1. Onch oisitauhasardunindivi dudan slapopulation.Oncon sidèrelesévè nementssuiv ants: S n :"l'individuestdetypeSensemainen»; M n :"l' individuestmaladeensemainen»; I n

Ense maine0,touslesindivid usson tconsidérés" detypeS», onad oncl esprobabilit éssuivante s:

P(S 0 )=1;P(M 0 )=0etP(I 0 )=0.

PartieA

Onét udiel'évolutionde l'épidémieaucoursdessemaines1et2.

1)Reproduiresurlacopieetco mpléte rl'arbr edeprobabilitésdonnéci-dessous:

S 0 S 1 M 1 I 1

2)MontrerqueP(I

2 )=0,2025 .

3)Sachantqu'unindividues timmuniséen semaine2,quellee stlapr obabilité,arrondieaumillième,qu'ilait été

maladeensemaine1?

PartieB

Onét udieàlongtermel'év olu tiondelamal adie.

Pourtoute ntiernaturel n,on:u

n =P(S n ),v n =p(M n )etw n =P(I n )lesprob abilitésrespectivesdesévènemen ts S n ,M n etI n

1)Justifierque,pourtoute ntiernaturel n,ona:u

n +v n +w n =1.

Onad metquelasuite(v

n )estdéfini eparv n+1 =0,65v n +0,05u n n ),(v n )et(w n http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2018.Tousdr oitsréservés. ABCD 1nu n v n w n 20100

310,85000,05000,1000

420,72250,07500,2025

530,61410,08490,3010

640,52200,08590,3921

750,44370,08190,4744

860,37710,07540,5474

20180,05360,01330,9330

21190,04560,01130,9431

22200,03880,00960,9516

Pourrépond reauxquestionsa)etb)suivantes,onutiliseralafeui llede calculreproduiteci-dessus. a)Quelleformule,s aisiedanslacelluleC3,per metparrecopieverslebas,decalculerlestermesdelasuite(v n b)Onad metquelestermes de(v n )augmentent,puisdiminuentàpartir d'unecertainran gN,appeléle

"picépidémique»:c'estl'indicedelasemainependantlaquellelaprob abilit éd'êtremaladepourunindividu

choisiauhasarde stlapl usgrande. Déterminerlavaleurdupicépid émique prévueparcemodèle.

3)a) Justifierque,pourtouten tiernaturel n,ona:u

n+1 =0,85u n

Endé duirel'expressiondeu

n enfo nctionden. b)Montrer,àl'aided'unraisonnementpa rré currenc e,q uepourtoutentiernatureln, v n 1 4 (0,85 n -0,65 n

4)Quepeu t-onendéduirequantàl' évolut iondel'épidémieprévueàlon gte rmeparcemodè le?

http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2018.Tousd roitsréservés. Francemétropolit aine2017.Enseignementspécifique

EXERCICE4:corrigé

PartieA

1)Ar brecomplété.

S 0 S 1 M 1 I 1 S 2 M 2 I 2 M 2 I 2 I 2 0 85
0,05 0 1 0 85
0,05 0 1 0 65
0 35
1

2)D'aprèslaformuledes probab ilitéstotales,

P(I 2 )=P(S 1 )×P S1 (I 2 )+P(M 1 )×P M1 (I 2 )+P(I 1 )×P I1 (I 2 =0,85×0,1+0,05×0,35+0 ,1×1=0,2025.

3)Lapr obabilitédemandéeestP

I2 (M 1 P I2 (M 1 P(M 1 ∩I 2 P(I 2 P(M 1 )×P M1 (I 2 P(I 2

0,05×0,35

0,2025

=0,086arrondieaumillièm e.

PartieB

1)Soitn∈N.(S

n ,M n ,I n )estunsy stèmeco mpletd'événementsetdoncu n +v n +w n =1.

2)a) Danslacase C3,ona écrit=0,65* C2+0,05*B 2.

b)Lava leurdupicépidémiqu eest4correspondantàuneprobabilitémaximu md' êtremalade égaleà0,0859.

3)a )D'aprèslaformuledes proba bilitéstotales,

u n+1 =P(S n+1 )=P(S n )×P Sn (S n+1 )+P(M n )×P Mn (S n+1 )+P(I n )×P In (S n+1 =u n

×0,85+v

n

×0+w

n

×0=0,85u

n

Ainsi,(u

n n∈N estlasu itegéom étriquedepremierter meu 0 =P(S 0 )=1etde raison q=0,85.Donc,pourtout entiernatureln,u n =u 0 ×q n =0,85 n b)Montronsparrécurrenceq uepourto utentiernatureln,v n 1 4 (0,85 n -0,65 n 1 4 0,85 0 -0,65 0 1 4 (1-1)=0 =v 0 etdo ncl'égalitéest vraiequandn=0. •Soitn!0.Supposonsquev n 1 4 (0,85 n -0,65 n ).Alors v n+1 =0,65v n +0,05u n 0,65 4 (0,85 n -0,65 n )+0,05×0,85 n (parhypo thèsederécurrence) 1 4 (0,65(0,85 n -0,65 n )+0,2×0,85 n 1 4

0,65×0,85

n -0,65 n+1 +0,2×0,85 n 1 4

0,85×0,85

n -0,65quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé - Math France

[PDF] Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé - Math France

[PDF] RÉUSSIR L 'ÉPREUVE DE PHYSIQUE Baccalauréat 2015 - MENFP

[PDF] Intégration et primitives - Lycée d 'Adultes

[PDF] Démonstration de la formule de conjugaison pour les dioptres

[PDF] La théorie de la relativité générale - UdPPC

[PDF] Méthode de contrôle du carburateur - Honda Engines

[PDF] France métropolitaine Septembre 2013 - Math France

[PDF] Démontrer qu 'un point est le milieu d 'un segment Démontrer que

[PDF] propriétés collège

[PDF] fonctions de reference - Maths-et-tiques

[PDF] Triangles isométriques - Labomath

[PDF] lien de parenté entre l 'homme et les singes - Académie de Clermont

[PDF] Nombres complexes - Logamathsfr

[PDF] Polynésie septembre 2015 Enseignement de spécialité - Math France