[PDF] GEOMETRIE EN 3ème Démontrer quun point est le milieu dun

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COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS

GEOMETRIE EN 3ème

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment .......................................................................... 2

Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d'un triangle ......................................... 3

Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d'un triangle ................................................ 3

Démontrer que deux droites sont parallèles ..................................................................................... 4

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires .......................................................................... 5

Démontrer qu'une droite est une médiane ....................................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une hauteur ......................................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une tangente d'un cercle ..................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une médiatrice .................................................................................... 7

Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice ........................................................................... 8

Démontrer qu'un triangle est isocèle ................................................................................................ 9

Démontrer qu'un triangle est équilatéral .......................................................................................... 9

Démontrer qu'un triangle est rectangle ......................................................................................... 10

Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme ................................................................... 11

Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle .............................................................................. 12

Démontrer qu'un quadrilatère est un losange ................................................................................. 13

Démontrer qu'un quadrilatère est un carré .................................................................................... 14

Démontrer que deux segments ont la même longueur ................................................................... 15

Calculer la longueur d'un segment ................................................................................................ 16

Démontrer que deux angles ont la même mesure .......................................................................... 17

Calculer la mesure d'un angle ....................................................................................................... 18

Utiliser la trigonométrie ................................................................................................................. 19

Utiliser la symétrie par rapport à une droite .................................................................................. 20

Utiliser la symétrie par rapport à un point ..................................................................................... 20

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Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

Définition (6°)

Le milieu d'un segment est le point

du segment qui est équidistant de ses extrémitésI point de [AB]I est un point de [AB] et IA = IB Donc

I est le milieu de [AB]

Définition (5°)

Deux points A et B sont

symétriques par rapport à un point

O signifie que O est le milieux du

segment [AB]A et B sont symétriques par rapport au point O Donc

O est le milieu de [AB]

Définition (6°)

La médiatrice d'un segment est la

droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu (d) est la médiatrice de [AB]La droite (d) est la médiatrice du segment [AB] Donc (d) passe par le milieu de [AB]

Définition (5°)

Une médiane d'un triangle est une

droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. (d) est la médiane issue de CLa droite (d) est la médiane issue de C du triangle ABC Donc (d) passe par le milieu de [AB]

Propriété (5°)

Si un quadrilatère est un

parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. ABCD est un parallélogrammeLe quadrilatère ABCD est un parallélogramme Donc

Les diagonales [AC] et [BD] ont le

même milieu.

Théorème (4°)

Si une droite passe par le milieu

d'un côté d'un triangle parallèlement à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu(EF) // (BC)La droite (EF) passe par le milieu E de [AB] parallèlement à (BC) Donc

La droite (EF) passe par le milieu

de [AC]

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Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d'un triangle

Propriété (5°)

Le centre du cercle circonscrit

d'un triangle est le point de concours des médiatrices du triangleLes médiatrices des segments [AB] et [BC] sont sécantes en O Donc

O est le centre du cercle

circonscrit du triangle ABC

Propriété (4°)

Si un triangle est rectangle

alors le centre de son cercle circonscrit est milieu de l'hypoténuseLe triangle ABC est rectangle en A Donc

Le centre du cercle circonscrit du

triangle ABC est le milieu O de [BC] Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d'un triangle

Propriété (4°)

Le centre du cercle inscrit

dans un triangle est le point de concours des trois bissectrices du triangleLes bissectrices issues de A et B sont sécantes en I Donc

I est le centre du cercle inscrit

dans le triangle ABC

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Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété (6°)

Si deux droites sont parallèles

à une même droite alors elles

sont parallèles (d1) // (d3) et (d2) // (d3)(d1) // (d3) et (d2) // (d3) Donc (d1) // (d2)

Propriété (6°)

Si deux droites sont

perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles(d1) ┴ (d3) et (d2) ┴ (d3) Donc (d1) // (d2)

Propriété (5°)

Si deux droites coupées par

une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèlesa et bsont alternes-interneset a = b Donc (d1) // (d2)

Propriété (5°)

Si deux droites coupées par

une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles a et bsont correspondants et a = b Donc (d1) // (d2)

Définition (5°)

Un parallélogramme est un

quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles ABCD est un parallélogrammeABCD est un parallélogramme Donc (AB) // (DC)

Propriété (4°)

Si une droites passe par les

milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côtéI est le milieu de [AB]

J est le milieu de [AC]

Donc (IJ) // (BC)

Théorème (3°)

( Réciproque de Thalès )

Si les points A,M,B sont

alignés dans cet ordre si les points A,N,C sont alignés dans cet ordre si AM AB = AN

ACalors (MN) est parallèle à (BC)AM

AB = AN

ACA, M, B sont alignés dans cet ordre

A, N, C sont alignés dans cet ordre

AM

AB=....

AN

AC=......

On constate que

AM AB = AN

ACDonc (D'après la réciproque du

théorème de Thalès) (MN) // (BC)

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Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Propriété (6°)

Si deux droites sont parallèles et

qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre. (d1) // (d2)(d1) // (d2) (d3) ┴ (d1) Donc (d3) ┴ (d2)

Définition (6°)

La médiatrice d'un segment est la

droite perpendiculaire à ce segment en son milieu (d) est la médiatrice de [AB](d) est la médiatrice de [AB] Donc (d) ┴ (AB)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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