[PDF] Triangles semblables et bissectrice

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Triangles semblables et bissectrice

ABC est un triangle inscrit dans un cercle C.

La bissectrice de l'angle BAC coupe [BC] en I et le cercle C en A'.

1) a) D

émontrer que les triangles A'IC et A'AC sont semblables, puis en déduire que A'C

² = IA' × AA'.

IA'C=AA'C car ces angles sont confondus.

BCA'=BAA' car ces angles inscrits dans le cercle interceptent le même arc BA'; de plus

BAA'=CAA' car (AA') est la bissectrice de BAC; on a ainsi BCA'=CAA', soit

ICA'=CAA'. Ainsi les deux triangles A'IC et A'AC ont deux angles

égaux deux à deux, ils sont donc

semblables.

Des triangles semblables ont leurs c

ôtés proportionnels, doncA'C

A'I=A'A

A'C, soit, en utilisant la r

ègle du produit en croix, A'C² = A'I × A'A. b) D émontrer de même que A'B² = IA' × AA'.

Consid

érons les triangles A'IB et A'AB. On montre qu'ils sont semblables comme dans la question a) et on en d

éduit que A'B

A'I=A'A

A'B, soit A'B² = A'I × A'A.

c) En d

éduire que BA' = CA' Les deux questions pr

écédentes montrent que A'C² = A'I × A'A = A'B². Comme A'C

² = A'B², on a bien BA' = CA'.KB 1 sur 2

2) a) Démontrer que les triangles AA'B et ACI sont semblables, puis en déduire que BA'

IC=AB AI. BAA'=CAI car (AA') est la bissectrice de BAC;

ACI=AA'B car ces angles inscrits dans le cercle interceptent le même arc AB.Ainsi les deux triangles AA'B et ACI ont deux angles

égaux deux à deux, ils sont donc

semblables.

Des triangles semblables ont leurs c

ôtés proportionnels, donc BA'

IC=AB AI b) D

émontrer de même que CA'

IB=AC AI.

Consid

érons les triangles AA'C et ABI. On montre comme dans la question précédente que ces triangles sont semblables, donc que leurs c ôtés sont proportionnels, c'est à dire que CA' IB=AC AI. c) En utilisant les deux

égalités précédentes, montrer que IB

IC=AB AC.

Divisons membre

à membre les deux égalités démontrées précédemment, BA' IC=AB AI et CA' IB=AC

AI. Cela donne

BA'

IC×IB

CA'=AB

AI×AI

AC, soit, en simplifiant par AI et par BA' et CA'

qui sont

égaux d'après la question 1), IB

IC=AB AC. Les longueurs IB et IC sont proportionnelles aux longueurs AB et AC, d'o ù le théorème :Dans un triangle, la bissectrice d'un angle coupe le c

ôté opposé proportionnellement aux deux

c

ôtés de l'angle.3) Application num

érique :On suppose que AB=7, BC=8 et CA=9.

Pr éciser la position de I sur [BC] en calculant BI. On sait que IB IC=AB AC=7

9, et que IB + IC = BC = 8, donc que IC = 8 - IB.

Cela donne IB

8-IB=7

9, soit 9 × IB = 56 - 7 × IB,

d'o

ù 16 × IB = 56 et finalement IB=56

16=7 2.

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