[PDF] Correction Baccalauréat S - Obligatoire Métropole - Jeudi 20 Juin

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Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

Correction Baccalauréat S - Obligatoire

Métropole - Jeudi 20 Juin 2013

www.math93.com Pour les candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité maths

Exercice 1.4 pointsCommun à tous les candidats

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.35%P

H1(C)AE80%P

H1(F)AE20%25%P

H2(C)AE50%P

H2(F)AE50%40%

P

H3(C)AE30%P

H3(F)AE70%H

1C F H 2C F H 3C F

b. Calculer la probabilité que l"arbre choisi soit un conifère acheté chez l"horticulteurH3.

On cherche à calculerP(H3\C).

P (H3\C)AEPH3(C)£P(H3). P (H3\C)AE30%£40%. P (H3\C)AE12%. c. Justifier que la probabilité de l"évènement C est égale à 0,525.

Les trois évènementsH1,H2etH3forment une partition de l"univers donc d"après la formule des pro-

babilités totales on a :

P(C)AEP(H1\C)ÅP(H2\C)ÅP(H3\C)

P(C)AE80%£35%Å50%£25%Å12%

P(C)AE28%Å12,5%Å12%

P(C)AE52,5%

La probabilité de l"évènement C est égale à 0,525 soitP(C)AE52,5%.

d. L"arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu"il ait été acheté chez l"horticulteurH1? On

arrondira à10¡3.

On cherche doncPC(H1).

P

C(H1)AEP(H1\C)P(C)AEPH1(C)£P(H1)P(C)

P

C(H1)AE80%£35%52,5%

P

C(H1)AE28%52,5%

¼53,33%

On a donc, à 10

Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

2.On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock

est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans

le stock. On appelleXla variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l"échantillon choisi.

a. Justifier queXsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

cès est le fait de choisir un conifère. On sait queP(C)AE52,5% doncXla variable aléatoire qui donne le

nombredeconifèresdel"échantillonchoisisuitdoncune loi binomiale de paramètresnAE10 etpAEP(C)AE52,5%.

b. Quelle est la probabilité que l"échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? On arrondira

à10¡3.

On aXsB(nAE10 ;pAE52,5%) donc

P(XAEk)AECknpk(1¡p)n¡k

P(XAE5)AEC5100,5255(0,475)5

On obtient alorsP(XAE5)¼0,243.

c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? La probabilité

demandée est celle de l"événementX·8, qui est l"événement contraire de la réunion des événements

disjointsXAE9 etXAE10. On a alors : La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est de 98,4% à 10

¡3près.

Exercice 2.7 pointsCommun à tous les candidats

On dispose des informations suivantes :

- les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2); - la courbeCpasse par le point B et la droite (BC) est tangente àCen B; - il existe deux réels positifsaetbtels que pour tout réel strictement positifx; f(x)AEaÅblnxx

1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs def(1)etf0(1).

- L"image de 1 parfestf(1)AE2; - La tangente à la courbe au point d"abscisse 1 est horizontale doncf0(1)AE0. b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x,f0(x)AE(b¡a)¡blnxx 2.

La fonctionfest de la formeuv

avecu(x)AEaÅblnxetv(x)AEx. Doncfest dérivable sur ]0 ;Å1[ comme quotient de fonctions qui le sont sur cet intervalle. On a doncf0(x)AEu0(x)v(x)¡u(x)v0(x)v(x)2, avecu0(x)AEbx etv0(x)AE1. f

0(x)AEbx

£x¡(aÅblnx)£1x

2AEb¡a¡blnxx

2.

Donc8x2]0 ;Å1[, on a :f0(x)AE(b¡a)¡blnxx

2. c. En déduire les réelsaetb. -f(1)AE2 doncf(1)AEaÅbln11

AE2 soitaAE2;

-f0(1)AE0 doncf0(1)AE(b¡a)¡bln11

2AE0 d"oùb¡2AE0.

On a de ce faitaAE2AEb.

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On a donc :f(x)AE2Å2lnxxetf0(x)AE¡2lnxx

22. a. Justifier que pour tout réelxappartenant à l" intervalle]0 ;Å1[,f0(x)a le même signe que?lnx.

Sur ]0 ;Å1[,f0(x)AE¡2lnxx

2doncf0(x) est du signe de¡2lnxdonc de¡lnx.

b. Déterminer les limite defen0et enÅ1. -Limite defen0. f(x)AE2Å2lnxx

AE(2Å2lnx)£1x

or8 :lim n!0Å2Å2lnxAE¡1 lim n!0Å1x

AEÅ1

Donc lim

n!0Åf(x)AE¡1,Cprésente une asymptote verticale d"équationxAE0; -Limite defenÅ1. f(x)AE2x

Å2lnxx

or8 :lim n!Å12x AE0 lim n!Å1lnxx AE0 d"après le théorème des croissances comparées

Donc lim

n!Å1f(x)AE0,Cprésente une asymptote horizontale d"équationyAE0 enÅ1. c. En déduire le tableau de variations def. On a montré que sur ]0 ;Å1[,f0(x) est du signe de¡lnx. Doncf0(x) est positif sur ]0 ; 1[, nul en 1, et négatif sur ]1 ;Å1[.x0

1Å1f

0(x)Å

0¡f

¡12

0

3. a. Démontrer que l"équationf(x)AE1admet une unique solution®sur l"intervalle ]0; 1].

- La fonctionfestcontinueetstrictement croissantesur l"intervalle ]0; 1]; - L"image parfde l"intervalle ]0; 1] est ]¡1; 2] d"après le tableau de variations. - Le réelkAE1 appartient à l"intervalle image ]¡1; 2].

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x)AEkAE1 admet

une solution unique®sur l"intervalle ]0; 1]. -Non demandé. Pour avoir un encadrement de®, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice. Avec un pas de¢AE0,1 on obtient :½f(0,4)¼0,42Ç1 f(0,5)¼1,23È1, donc 0,4·®·0,5. Avec un pas de¢AE0,01 on obtient :½f(0,46)¼0,97Ç1 f(0,47)¼1,04È1, donc 0,46·®·0,47. b. Parunraisonnementanalogue,ondémontrequ"ilexisteununiqueréel¯del"intervalle]1;Å1],tel quef(¯)AE1. Déterminer l"entierntel quenǯÇnÅ1. Pour avoir un encadrement de¯, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice. Avec un pas de¢AE1 on obtient :½f(5)¼1,043 f(6)¼0,93, donc 5·¯·6. De ce fait, l"entierntel quenǯÇnÅ1 estnAE5. www.math93.com3/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

4.On donne l"algorithme si dessous.Variables :a,betmsont des réels.Initialisation : Affecter àala valeur 0Affecter àbla valeur 1Traitement : Tant queb¡aÈ0,1Affecter àmla valeur12

(aÅb)Sif(m)Ç1 alors Affecter àala valeurmSinon Affecter àbla valeurmFin de Si

Fin de tant que

Sortie : AfficheraAfficherba. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l"on recopiera sur la copie.étape 1étape 2étape 3étape 4étape 5

a000,250,3750,4375 b10,50,50,50,5 b¡a10,50,250,1250,0625

m0,50,250,3750,4375Sortie carb¡aÇ0,1b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?

Cet algorithme permet de trouver un encadrement de®d"amplitude inférieure à 0,1 par la méthode

dite de dichotomie. L"étape 5 permet de trouver que : 0,4375Ç®Ç0,5.

c. Modifier l"algorithme ci-dessus pour qu"il affiche les deux bornes d"un encadrement de¯d"ampli-

tude 0,1.

On pourrait l"intégrer dans l"algorithme mais plus simplement, on choisit les bornes de départs ainsi :½f(1)AE2È1

f(10)¼0,66Ç1, donc on sait queaAE1ǯÇ10AEb.

Attention, la fonctionfest décroissante sur [1; 10] donc il va falloir inverser le test Sif(m)È1.

Cela donne :Variables :a,betmsont des réels.Initialisation : Affecter àala valeur 1Affecter àbla valeur 10Traitement : Tant queb¡aÈ0,1Affecter àmla valeur12

(aÅb)Sif(m)È1alors Affecter àala valeurmSinon Affecter àbla valeurmFin de Si

Fin de tant que

Sortie : AfficheraAfficherbwww.math93.com4/11

Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

5.Le but de cette question est de démontrer que la courbeCpartage le rectangle OABC en deux domaines

d"aires égales. a. Justifier que cela revient à démontrer :Z 1 1e f(x)dxAE1. -Montrons déjà que : La courbeCpartage le rectangle OABC en deux parties. - L"image de ]0;1] parfest ]¡1; 2] donc la courbeCest sous la droite (BC); - La fonctionfs"annule une seule fois sur ]0;1], en1e carf(x)AE0()2Å2lnxAE0()xAE1e - La courbeCcoupe donc l"axe des abscisses en un pointEµ1e - Sur l"intervalle 0 ;1e , la courbeCest en dessous de l"axe (Ox), elle n"est donc pas incluse dans le rectangle OABC; - Sur l"intervalle·1e ; 0¸ , la courbeCest donc strictement incluse dans le rectangle OABC; La courbeCpartage donc le rectangle OABC en 2 parties. -Aire sous la courbe. fest bien positive sur l"intervalle·1e ; 0¸ . L"aire sous la courbeCvaut donc en u.a. :Z 1 1e f(x)dx. -Aire du rectangle.

Le rectangle OABC a une aire de 2£1AE2 u.a.

-Conclusion

Cela revient donc à démontrer :

Z 1 1e f(x)dxAE1b. En remarquant que l"expression def(x)peut s"écriref(x)AE2x

Å2£1x

£lnxterminer la démonstra-

tion. Z 1 1e f(x)dxAEZ 1 1e 2x

Å2£1x

dx, et par linéarité de l"intégrale on obtient Z 1 1e f(x)dxAE2Z 1 1e 1x dxÅZ 1 1e

2£1x

£lnxdx

- Or une primitive dex7!1x , estx7!lnx; - Or une primitive dex7!2£1x

£lnx, estx7!(lnx)2.

On a donc :

Z 1 1e 1e

On a bien montré que

Z 1 1e f(x)dxAE1et donc que la courbeCpartage le rectangle OABC en deux domaines d"aires égales.www.math93.com5/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

Exercice 3.4 pointsCommun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est

attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n"est pas prise en compte.

Une absence de réponse n"est pas pénalisée.

1. Proposition 1:VRAIE. Dans le plan muni d"un repère orthonormé, l"ensemble des points M dont l"affixez

vérifie l"égalitéjz¡ıjAEjzÅ1jest une droite.

Si on considère les pointsM(z),A(ı) etB(1), l"équation proposée se traduit en distances par :AMAEBMet

donc l"ensemble des pointsM(z) dont l"affixezvérifie l"égalitéjz¡ij AE jzÅ1j ()AMAEBM, est la média-

trice du segment [AB]. C"est bien une droite.

2. Proposition 2:FAUSSE. Le nombre complexe¡1Åip3

¢4est un nombre réel.

L"écriture exponentielle de¡1Åip3

¢est 2ei¼3

donc :¡1Åip3

¢4AE³

2ei¼3

´4AE24ei4¼3

Deux arguments au choix pour conclure :

- L"argument de 2

4ei4¼3

est4¼3

6AE0Åk¼,k2Z.

L"argument n"est pas congru à 0 modulo¼, donc le nombre n"est pas un réel. - On peut aussi écrire la forme algébrique du nombre. 2

4ei4¼3

AE16¡cos¡4¼3

¢Åisin¡4¼3

¢¢AE16Ã

¡8¡ip3

2 ÝR

3. Proposition 3:VRAIE. Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.

Le piège ici est de confondre perpendicularité et orthogonalité dans l"espace.Rappel de cours

- On dit que deux droites sont perpendiculaires (donc sécantes) lorsqu"elles se coupent en formant un angle droit.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont sécantes, donc coplanaires.- On dit que deux droites sont orthogonales si l"une d"elles est parallèle à une droite perpendiculaire à l"autre.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont orthogonales.

Calculons le produit scalaire des vecteurs

¡¡!EC et de¡¡!BG .¡¡!EC¢¡¡!BGAE³¡!EAÅ¡¡!ABÅ¡¡!BC´

¢³¡!BFÅ¡¡!FG´

Or ²¡!EA est orthogonal à¡¡!FG car (FG) est perpendiculaire au plan (AEFB);

²¡¡!AB est orthogonal à¡!BF et¡¡!FG car (AB) est perpendiculaire au plan (BCGF);

²¡¡!BC est orthogonal à¡!BF .

Donc il ne reste que deux produit scalaires non nuls après développement :

De plus

²¡!EAAE¡¡!BF ;

²¡¡!BCAE¡¡!FG .

Donc¡¡!EC¢¡¡!BGAE¡BF2ÅBC2¡¡!EC¢¡¡!BGAE0 car BFAEBC

Les droites (EC) et (BG) sont bien orthogonales.

L"espace est muni d"un repère orthonormé. Soit le plan P d"équation cartésiennexÅyÅ3zÅ4AE0. On note

S le point de coordonnées (1 , -2, -2).www.math93.com6/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013

4. Proposition 4:VRAIE.

La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au planPa pour représentation paramétrique :

8< :xAE2Åt yAE ¡1Åt zAE1Å3t,8t2R

Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de la droite. D"après l"équation cartésienne du plan, un

vecteur normal est¡!n(1 ; 1 ; 3).

Unereprésentationparamétriquedeladroitedevecteurdirecteur¡!n(1; 1; 3)etpassantparlepointS(1,¡2,¡2)

s"obtient en écrivant que pourM(x,y,z), on a¡¡!SM (x¡1 ;yÅ2 ;zÅ2)AEk£¡!n(1 ; 1 ; 3)8k2R.

Donc une équation de la droite est :8<

:x¡1AEk yÅ2AEk zÅ2AE3k,8k2R Soit 8< :xAE1Åk yAE ¡2Åk zAE ¡2Å3k,8k2R Par la suite, en prenantkAE1Åton obtient bien l"équation paramétrique proposée. 8< :xAE2Åt yAE ¡1Åt zAE1Å3t,8t2Rwww.math93.com7/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - 20 Juin 2013 Exercice 4.4 pointsCandidats n"ayant pas suivi la spécialité

Soit la suite numérique

(un)définie surNpar : u

0AE2 et pour tout entier natureln,unÅ1AE23

unÅ13 nÅ1.

1. a. Calculeru1,u2,u3etu4. On pourra en donner des valeurs approchées à10¡2près.

u 0AE2 u 1AE23 u0Å13

£0Å1¼2,33

u 2AE23 u1Å13

£1Å1¼2,89

u 3AE23 u2Å13

£2Å1¼3,59

u 4AE23 u3Å13

£3Å1¼4,40

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

La suite

(un)semble êtrecroissante.

2. a. Démontrer que pour tout entier natureln,un6nÅ3.

Démontrons la propriété

(Pn):un6nÅ3 par récurrence. -Initialisation. PournAE0, on au0AE2·0Å3AE3 la propriété est vraie au rangnAE0. -Hérédité. Supposons la propriété vraie au rangn:un6nÅ3.

Alors pournentier naturel :

u nÅ1AE23 unÅ13 nÅ1 u nÅ1·23 (nÅ3)Å13 nÅ1 u nÅ1·23 nÅ2Å13 nÅ1AEnÅ3quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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