Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à p est un fermé de Mn Mn(R)GLn(R) est fermé en tant que complémentaire d'un ouvert. Soit n ⩾ ...
I. Ouverts fermés
L'ensemble {1/n n ∈ N∗} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
Ouverts et fermés chapitre 11.2 I Ouverts
Exercice VI.4. On dit que X est un espace séparable si et seulement si il existe un sous ensemble A de X dense dans X et
TD 2. Ouverts et fermés applications continues
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/2M216/216-TD2x-2018.pdf
topologie-des-espaces-normés.pdf
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un sous
Exercices de licence
ensemble `a la fois ouvert et fermé et. B (x
Feuille 4 : Topologie dans Rn
Même question avec un fermé puis un compact. Exercice 3. Exemples. Parmi les ensembles suivants
I. Ouverts fermés
L'ensemble {1/n n ∈ N∗} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A n'est ni ouvert ni fermé. Déterminer l'adhérence A de A. Indication Τ. Correction Τ. [002620]. 2
Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
Feuille dexercices N. 1 : Topologie sur Rn
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
Normes boules
fermés.
Exercices de mathématiques - Exo7
1. Cette exercice justifie la terminologie “boule fermée”. Il s'agit de montrer que le complémentaire d'une boule fermée est un ensemble ouvert.
TD 2. Ouverts et fermés applications continues
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/2M216/216-TD2x-2018.pdf
Topologie
Exercice 1 [ 01103 ] [correction] Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : ... L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ?
Exercices de licence
(ii) Si F est un fermé contenant D alors F = X. (iii) D rencontre tout ouvert non vide de X. Montrer qu'un ensemble A ? X rencontre toute partie dense
I. Ouverts fermés
L'ensemble {1/n n ? N?} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
30/10/2013 Correction des exercices associés au cours sur les
30 oct. 2013 nombre fini des demi-plans qui sont des ensembles convexes. ... la droite 2x + y + 1 > 0
Quizz Exercice 1 – Ouverts fermés a) Lintervalle [0;1[ est-il ouvert
Exercice 4 a) Pour X un ensemble muni de la distance discr`ete décrire les boules ouvertes
[PDF] Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés Déterminer également les point intérieurs de ces ensembles ainsi que leur frontière
[PDF] Ouverts et fermés chapitre 112 - cpge paradise
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de (un) est fermé Exercice II 4 Soit E = l1(NC) muni de ? ? 1
Math spé : Exercices sur la topologie des espaces vectoriels normés
Ainsi cet ensemble est fermé mais pas ouvert (bien que ce soit une intersection d'ouverts!) Exercice 3 - Ouverts ou fermés dans l'espace des fonctions
[PDF] Chapitre 1 Révision de théorie des ensembles Exercice 1 Montrer
Exercice 17 Dans R2 muni de sa topologie usuelle les ensembles suivants sont-ils ouverts ? fermés ? A = {(1/n y) n ? N?y ? [0 1]} B = {(x
[PDF] Topologie des espaces normés - Xiffr
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction] Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un
[PDF] Fonctions et topologie élémentaire de R^n - Exo7
Indication ? Correction ? [002619] Exercice 5 Soit A = {(tsin 1 t) ? R2;t > 0} Montrer que A n'est ni ouvert ni fermé Déterminer l'adhérence A de A
[PDF] Topologie générale - Exo7 - Exercices de mathématiques
On va montrer que l'ensemble D des réels de la forme p+q boule ouverte B(ar) ne coincide pas nécessairement avec la boule fermée B (ar) (on pourra
[PDF] Exercices de licence
ouverts de R et les ensembles de la forme {x/x > a} ? {?} o`u a est réel Montrer que dans tout espace métrique (Ed) une boule fermée est un fermé
[PDF] TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1 Soit f - EPFL
Alors par définition les singletons sont fermés mais la topologie n'est pas discrète comme {01} ? N n'est pas ouvert D Pour un ensemble X
[PDF] Méthodes en topologie Montrer quune partie est ouverte
— On reprend l'ensemble S des matrices stochastiques de Mn(R) On sait que S est fermé Pour montrer que S est compact il suffit de montrer qu'il est borné car
Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n?1 ? X telle que xn ?? x ? O, il existe n0 tel que xn ? O pour tout n ? n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n?1 ? F on a limn?? xn ? F.Comment savoir si un ensemble est fermé ?
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en rempla?nt « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.Comment montrer que la boule ouverte est un ouvert ?
Soit U une partie d'un espace vectoriel normé E. On dit que U est un ouvert de E si l'une des assertions suivantes est vérifiée : i) Pour tout x?U, il existe r>0 tel que la boule ouverte B(x,r)?U. ii) Pour tout x?U, il existe r>0 tel que la boule fermée Bf(x,r)?U.- Dans ?, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ? définis par des inégalités strictes. De plus, les ouverts de ? sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.
Enoncés : M. Quéffelec
Corrections : A. BodinExo7
Topologie générale
Exercice 1
1.Rappeler les définitions d"une borne supérieure (inférieure) d"un ensemble de nombres réels. Si Aet
Bsont deux ensembles bornés non vides deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A[B), (iii) sup(A\B), (iv) inf(A[B), (v) inf(A\B). 2. Pour x2RnetARnon définitd(x;A) =infa2Ajjxajj. Trouverd(0;RQ),d(p2;Q),d(M;D)où M= (x;y;z)2R3etDest la droite de vecteur unitaire(a;b;c). 3. Pour A;BRnon définitd(A;B) =infa2A;b2Bjjabjj. Trouverd(A;B)lorsqueAest une branche de l"hyperbolef(x;y)2R2;xy=1getBune asymptote. 4. On définit diam A=supa;b2Ajjabjj. Quel est diam(]0;1[\Q)? diam([0;1]\RQ)?Montrer que tout ouvert deRest union dénombrable d"intervalles ouverts deux à deux disjoints. (Indication :
six2Oouvert, considérerJxqui est l"union des intervalles ouverts inclus dansOet contenantx). Énoncer un
résultat similaire pour les ouverts deRn. On va montrer que l"ensembleDdes réels de la formep+qp2 oùpetqdécriventZ, est dense dansR. 1. Remarquer que Dest stable par addition et multiplication. 2. Posons u=p21; montrer que pour tousaMontrer que dans tout espace métrique(E;d)une boule fermée est un fermé, mais que l"adhérence d"une
boule ouverteB(a;r)ne coincide pas nécessairement avec la boule ferméeB0(a;r)(on pourra considérer dans
(R2;jj:jj¥),E= [0;1]f0g[f0g[0;1]et la boule centrée en(12 ;0)de rayon 1=2). (E;jj:jj)un espace vectoriel normé. 1. Montrer que dans ce cas la boule fermée B0(a;r)est l"adhérence de la boule ouverteB(a;r). 2.Montrer que B(a;r)B(b;R)()r6Retjjabjj6Rr.
1 1. Si (x;y)2R2, on posejj(x;y)jj=max(jx+yj;jx2yj). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unité fermée. 2. Soit p;qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unités fermées. Montrer que B qBp()p6q:Que signifie
12BpBq2Bp? Exemples.
On noteX=l¥l"espace des suites réelles bornées, etY=c0l"espace des suites réelles tendant vers 0, tous
deux munis de la métrique (à vérifier)d(x;y) =supnjx(n)y(n)j. Montrer queYest fermé dansX. Montrer
que l"ensemble des suites nulles à partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.SoitE=ff2C1([0;1];R);f(0) =0g. On pose
jjfjj=sup06x61jf(x)+f0(x)j;etN(f) =sup
06x61jf(x)j+sup
06x61jf0(x)j:
Montrer que ce sont deux normes équivalentes surE. On désigne pard(a;b)la distance euclidienne usuelle dea;b2R2et on pose d(a;b) =d(a;b)sia;bsont alignés avec l"origineO d(0;a)+d(0;b)sinon 1. Montrer que dest une distance surR2("distance SNCF") plus fine que la distance usuelle. Dans la suite, on supposeR2muni de la topologie associée àd. 2. Soit Hle demi-planf(x;y);y>0g; montrer queHest un ouvert ; déterminerH. 3. Quelle est la topologie induite sur une droite v ectorielle;sur le cercle unité G? 4.Lesquelles des transformations sui vantessont continues : homothéti esde centre O; rotations de centre
O; translations ?
1.Montrer que jjfjj¥=sup06x61jf(x)jetjjfjj1=R1
0jf(t)jdtsont deux normes surC([0;1];R). Sont-elles
équivalentes ?
2. Les deux métriques associées sont-elles topologiquement équi valentes? 2SoitE=C1([0;1];R). ComparerlesnormesN1(f)=jjfjj¥;N2(f)=jjfjj¥+jjfjj1;N3(f)=jjf0jj¥+jjfjj¥;N4(f)=
jjf0jj1+jjfjj¥: Soit(xn)une suite d"un espace topologiqueXséparé; on noteAl"ensemblefx1;x2;:::g. 1.T outev aleurd"adhérence ade la suite est un point deA: donner un exemple oùaest un point isolé deA;
un exemple oùaest un point d"accumulation dansA; un exemple oùaest un point d"accumulation dansAnA.
2. Montrer que tout point d"accumulation de Aest valeur d"adhérence de la suite. SoitRnconsidéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. SoitGun sous-groupe deRn. 1.On suppose que 0 est isolé dans G. Montrer que tout point est isolé, queGest discret et fermé dansRn.
On se restreint maintenant au casn=1.
2. Montrer qu"alors, Gest soitf0g, soit de la formeaZ,a>0. 3.Montrer que si 0 est point d"accumulation, Gest partout dense dansR. En déduire ainsi les sous-groupes
fermés deR. 4. On considère a=2Q; montrer queZ+aZest un sous-groupe dense deR. En déduire les valeurs d"adhérence de la suite(e2ipna)n2Z.Indication pourl"exer cice1 NVérifier que :
1. sup (A+B) =supA+supB; 2. sup (A[B) =max(supA;supB); 3. max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; 4. inf (A[B) =min(infA;infB); 5.max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;Indication pourl"exer cice2 NMontrer queJxest un intervalle ouvert ; queJx=JyouJx\Jy=?. Et penser queQest dénombrable.Indication pourl"exer cice3 NPour trouverm, que prendriez-vous si on voulait seulementm2R?Indication pourl"exer cice4 NRevenir à la définition de ce qu"est un "ensemble fermé" et de ce qu"est une "boule fermée".
Indication pour
l"exer cice7 NUne suite del¥est notée(xp)p2N, pour chaquep>0,xpest elle même une suitexp= (xp(0);xp(1);xp(2);:::).Indication pourl"exer cice8 NMontrer
•kfk6N(f); •kf0k¥6kfk¥+kfk; •kfk¥6kfk.Indication pourl"exer cice10 N•Montrer kfk16kfk¥. P arun contre-e xemple,montrer qu"il n"e xisteaucune constante C>0 tel quekfk¥6Ckfk1pour tout f.Indication pourl"exer cice11 NLes seules relations sont : N16N262N162N462N3:4
Correction del"exer cice1 N1.Aune partie non vide deR, unmajorantdeAest un réelM2Rtel que8x2A x6M:
SiAest un partie non vide et majorée, alors par définition supAest le plus petit des majorants. On a les
propriétés suivantes : (a) sup (A+B) =supA+supB; (b) sup (A[B) =max(supA;supB); (c) max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; (d) inf (A[B) =min(infA;infB); (e) max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;Prouvons les deux premières égalités,
(a) sup (A+B) =supA+supB: pour touta2Aetb2Bon aa6supAetb6supBdonca+b6 supA+supB, donc supA+supBest un majorant deA+Bet comme sup(A+B)est le plus petit des majorants deA+Balors sup(A+B)6supA+supB. Réciproquement, il existe une suite (an)d"éléments deAtel que cette suite converge vers supA, de même il existe une suite(bn) d"éléments deBqui converge vers supB, la suite(an+bn)est une suite d"éléments deA+Bqui converge vers supA+supB, donc la borne supérieure deA+Best plus grande que supA+supB, soit sup(A+B)>supA+supB. D"où l"égalité. (b) sup (A[B) =max(supA;supB): Remarquons d"abord que siPQalors supP6supQ: en effet supQest un majorant deQdonc deP(par l"inclusionPQ), donc le plus petit des majorants, supP, pourPest plus petit que le majorant particulier supQ. Appliquons ceci àAA[Bdonc supA6sup(A[B)et pourBA[Bon obtient supB6sup(A[B). On vient de prouver sup(A[ B)>max(supA;supB). Pour l"autre inégalité : soitM=max(supA;supB). Pourx2A[Balors soitx2Aet alorsx6supA6M, ou soitx2Bet alorsx6supB6M; donc quelque soitx2A[B, x6MdoncMest un majorant deA[B, donc sup(A[B)6M=max(supA;supB). 2. (a) d(0;RnQ) =0, regarder des éléments du typep2 n , pourn2N. (b)d(p2;Q) =0, c"est la densité deQdansRou alors regarder la suite définie paru0=1;un+1= 12 (un+2u n);n2N, qui est une suite de rationnels convergeant versp2. (c) On suppose que Dpasse par l"origine, alorsd(M;D) =x2+y2+z2(ax+by+cz)2.3.d(A;B) =0.
4. diam (]0;1[\Q) =1=mathrmdiam([0;1]\(RnQ)).Correction del"exer cice2 N1.Jxest un ouvert non vide car c"est une union d"ouverts contenantx. De plusJxest un intervalle car c"est
une union d"intervalles contenant tous le pointx. DoncJxest un intervalle ouvert. On peut donc écrire
O=[x2OJx. Mais cette union n"est pas nécessairement dénombrable. Tout d"abord siz2JxalorsJx=Jz. En effet soitIun intervalle inclus dansOcontenantxetz. Six02Jx, soitJun intervalle inclus dansOcontenantxetx0. AlorsI[Jest un intervalle (carxest dans les deux intervallesIetJ),I[Jest inclus dansOet contientx0etz. Doncx02Jz. DoncJxJz. Enfin comme z2Jxon a aussix2Jz, donc on montrerait de mêmeJzJx. DoncJx=Jz. Pourx;y2OalorsJx=JyouJx\Jy=?. En effet supposons queJx\Jy6=?et soitz2Jx\Jy. Comme z2JxalorsJx=Jz, commez2JyalorsJy=Jz. DoncJx=Jy. 5 Pour chaque intervalle ouvertJxil existeq2Q\Jx, avec bien sûrJx=Jq. CommeQest dénombrableO\Ql"est aussi. On a ainsi écrit
O=[ q2O\QJ q; ce qui était demandé. 2.Pour Rnon peut montrer le résultat suivant : tout ouvertOdeRns"écrit comme l"union dénombrable de
boules ouverte. On considéreJxl"union des boules ouvertes de rayon rationnel centrées enx, ensuite on
regarde seulement lesxappartenant àO\Qn. Par contrer on autorise deux boules à s"intersecter.Correction del"exer cice3 N1.Soient d=p+qp2 etd0=p0+q0p2 deux éléments deD. Alorsd+d0= (p+p0)+(q+q0)p2 est un
élément deDetdd0= (pp0+2qq0)+(pq0+p0q)p2 aussi. 2. On a u<1 doncuktend vers 0 quandktend vers+¥. Donc poure=ba, il existen2Ntel que sik>n on aukboule fermée est un ensemble ouvert. Il est vivement conseillé de faire un dessin. SoitC=EnB0(a;r).
Soitx2C, on cherche une boule ouverteB(x;e)contenue dansC. Commex2C,x=2B0(a;r)donc d(a;x)>r. Soitetel que 0Et doncCest un ouvert.
2.Pour a=(12
;0)etr=12 on aB0(a;r)=[0;1]f0g[f0g[0;12 ],B(a;r)=]0;1[f0getB(a;r)=[0;1]f0g.Correction del"exer cice5 N1.On note B=B(a;r),B0=B0(a;r),¯B=B(a;r). Il faut montrerB0=¯B.B0est une boule fermée, donc un
fermé contenantB, alors que¯Best le plus petit fermé contenantB, donc¯BB0.Étudions l"inclusion inverse: soitx2B0, il faut montrerx2¯B. Six2Balorsx2¯B, supposons donc que
x=2B, alorskxak=r. SoitB(x;e)un boule centrée enx.xest adhérent àBsiB(x;e)\Best non vide quelque soite>0. Fixonse>0 et soit le point y=xe2 xakxak: Faire un dessin et placerysur ce dessin. D"une party2B(x;e)carkyxk=e=2Pour le sens). Soit
x=a+rabkabk; alorskxak=rdoncx2¯B(a;r), doncx2¯B(b;R), donckxbk6Rorkxbk=kabk+r(c"est le même calcul que pour la question précédente). Donckabk+r6R, soit 06kabk6Rret enparticulierr6R.Correction del"exer cice6 N1.(a) Si jj(x;y)jj=0 alors max(jx+yj;jx2yj) =0 doncx+y=0 etx2y=0 doncx=0 ety=0.
Réciproquementk(0;0)k=0.
(b)jjl:(x;y)jj=jj(lx;ly)jj=max(jlx+lyj;jlx2lyj) =jljmax(jx+yj;jx2yj) =jlj:jj(x;y)jj. yLa boule unité fermée centrée à l"origine est la région du plan comprise entre les droites d"équations
x+y= +1,x+y=1,x2y= +1,x2y=1. 2. Sens (: Six2Bqalorsq(x)61 doncp(x)61 doncx2Bp. Sens): Soitx2Rnnf0galorsq(xq(x))=1 donc xq(x)2Bqdoncxq(x)2Bpdoncp(xq(x))61 soirp(x)6q(x). Ceci étant aussi valable pourx=0. B q2Bpest équivalent àp(x)62q(x)pour toutx2Rn(attention au sens !). Et12BpBqest équivalent
12 q(x)6p(x). Si les deux inclusions sont vraies alors12 p6q62pet en particulier les normespetq sont équivalentes. Par exemple dansR2pour les normesk:k1,k:k2,k:k¥On a B1B2B¥2B12B2 Correction del"exer cice7 N1.Une suitedel¥estnotée(xp)p2N, pourchaquep>0,xpestellemêmeunesuitexp=(xp(0);xp(1);xp(2);:::).
(Il convient de garder la tête froide : on regarde des suites de suites !) Il faut montrer queYest fermé dans
X. Soit donc(xp)une suite deYqui converge versx2X. Il faut donc montrer qu"en faitx2Y, c"est-à- dire quex=(x(0);x(1);:::)est une suite tendant vers 0. Soite>0 commexp!xalors il existePtel que sip>Pon aitd(xp;x)Correction del"exer cice8 NPar l"inégalité triangulairejf(x)+f0(x)j6jf(x)j+jf0(x)jon obtientkfk6N(f). Pour une inégalité dans
l"autre sens décomposons le travail : •kf0k¥6kfk¥+kfk: en effet par l"inégalité triangulairejf0(x)j6jf(x)j+jf0(x)+f(x)j.•kfk¥6kfk: en effetfest continue sur[0;1]donc elle est bornée et atteint ses bornes. Soitx02[0;1]ce
point du maximum. Six02]0;1[alorsf0(x0)=0 donckfk¥=jf(x0)j=jf(x0)+f0(x0)j6kfk. Six0=1 alorsfetf0ont même signe sur un intervalle[1e;1]donc sur cet intervallejf(x)j6jf(x)+f0(x)jetdonckfk¥=jf(1)j6kfk. (Enfinf(0) =0 donc six0=0 alorsfest nulle et l"inégalité est triviale.)
Il reste à rassembler les e xpressions:
N(f) =kf0k¥+kfk¥6kfk¥+kfk+kfk¥63kfk:
(La première inégalité vient du premier point et la deuxième du second.)Les normeskfketN(f)sont équivalentes :
13 N(f)6kfk6N(f):Correction del"exer cice10 N1.kfk1=R10jf(t)jdt6R1
0kfk¥dt6kfk¥. Donckfk16kfk¥Par contre il n"existe aucune constante
C>0 tel quekfk¥6Ckfk1pour toutf. Pour montrer ceci par l"absurde, supposons qu"il existe une constanteC>0 telle quekfk¥6Ckfk1pour toutfdeC([0;1];R). Regardons les fonctionsfkdéfinies parfk(x) =2k(1kx)six2[0;1k ]etfk(x) =0 six>1k . Alorsfk2C([0;1];R)etkfkk¥=2kalors que kfkk1=1. On obtient 2k6C:1 ce qui est contradicoire pourkassez grand. Cela prouve que les normes ne sont pas équivalentes. 2.Comme les métriques sont définies par des normes et que les normes ne sont pas équi valentesalors les
métriques ne définissent pas la même topologie.Correction del"exer cice11 N1.On montre f acilement
N16N262N162N462N3:
2. P arcontre il n"e xistepas de constante C>0 telle queN36CN4ouN26CN4. On suppose qu"il existe C>0 telle queN36CN4on regardefkdéfinie parfk(x) =xk, après calcul on obtientN3(fk) =k+1 et N4(fk) =2, pourksuffisament grand on obtient une contradiction. CommeN1etN2sont équivalentes on
va prouver qu"il n"existe pas de constanteC>0 telle queN36CN1. On prendgk, définie pargk(x) =1+sin(2pkx). AlorsN1(gk) =2 etN3(gk) =4k, ce qui prouve le résultat souhaité.Correction del"exer cice12 N1.(a) P are xempleune suite constante xn=apour toutn.
(b)P are xemplexn=1n
eta=0. (c) Comme Qest dénombrable on peut trouver une suitexntelle queA=fx1;x2;:::g=Q. On prend a=p2 alorsa2¯AnA=RnQ. 82.C"est juste les définitions : un point d"accumulation de Aest toujours une valeur d"adhérence deA.Correction del"exer cice13 N1.(Correction pour n=1, pourn>1 remplacer les intervalles par des boules.) Comme 0 est isolé soit
I=]e;+e[un voisinage de 0 tel queI\G=f0g. Soitg2Get considéronsIg=g+I=]ge;g+e[. Supposons, par l"absurde, queIg\Gne soit pas réduit àg. Alors il existeg02Ig\G,g06=g. Mais ge. Donc comme g N2JgNalorsgn2JgNégalement, orJgNne contient qu"un seul élément deGdoncgn=gNpour tout
n>N. La suite est donc stationnaire (i.e. constante à partir d"un certain rang) donc la limitegvautgNet
en particulierg2G. 2. Supposons G6=f0g. Soita=infG\R+. Comme 0 est isolé alorsa>0. CommeGest fermé alors a2G. Soitg2G. Soitk=E(ga )alorsk6gaRet lesaZaveca>0.
4. Soit G=Z+aZ, c"est un sous-groupe de(R;+). SiGn"est pas dense dansRalors, par les questions précédentes, il existea>0 tel queG=aZ. En particulier 12Gdonc il existek2Ztel que 1=kade mêmea2Gdonc il existek02Ztel quea=k0a. Par divisiona=k0k . Ce qui contredita=2Q. DoncG=Z+aZest dense dansR.
DéfinissonsF:R!S1part7!e2ipt(S1est le cercle deCdes nombre complexes de module 1). Alors Fest continue et surjective. CommeFest continue alors pour tout ensembleARonF(¯A)F(A). Appliqué à l"ensembleG=Z+aZ, on a¯G=RdoncF(¯G) =S1carFest surjective ; d"autre part F(G) =fe2ipkajk2Zg. DoncS1=F(¯G)F(G) =fe2ipkag. L"adhérence defe2ipkajk2Zgest donc le cercleS1tout entier.9quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] ensemble fermé
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